Produto cruzado de sete dimensões - Seven-dimensional cross product

Em matemática , o produto vetorial de sete dimensões é uma operação bilinear em vetores no espaço euclidiano de sete dimensões . Ele atribui a quaisquer dois vetores a , b em um vetor a × b também em . Como o produto vetorial em três dimensões, o produto de sete dimensões é anticommutativo e a × b é ortogonal tanto a a quanto a b . Ao contrário das três dimensões, ele não satisfaz a identidade Jacobi e, embora o produto cruzado tridimensional seja único até um sinal, existem muitos produtos cruzados sete dimensionais. O produto vetorial sete dimensional tem a mesma relação com as octonions que o produto tridimensional tem com os quatérnions . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$

O produto vetorial de sete dimensões é uma maneira de generalizar o produto vetorial para outras dimensões além de três dimensões, e é o único outro produto bilinear de dois vetores que tem valor vetorial, ortogonal e tem a mesma magnitude que no caso 3D. Em outras dimensões, existem produtos com valor vetorial de três ou mais vetores que satisfazem essas condições e produtos binários com resultados bivetores .

Tabela de multiplicação

×	$e 1$	$e 2$	$e 3$	$e 4$	$e 5$	$e 6$	$e 7$
$e 1$	$0$	$e 3$	$- e 2$	$e 5$	$- e 4$	$- e 7$	$e 6$
$e 2$	$- e 3$	$0$	$e 1$	$e 6$	$e 7$	$- e 4$	$- e 5$
$e 3$	$e 2$	$- e 1$	$0$	$e 7$	$- e 6$	$e 5$	$- e 4$
$e 4$	$- e 5$	$- e 6$	$- e 7$	$0$	$e 1$	$e 2$	$e 3$
$e 5$	$e 4$	$- e 7$	$e 6$	$- e 1$	$0$	$- e 3$	$e 2$
$e 6$	$e 7$	$e 4$	$- e 5$	$- e 2$	$e 3$	$0$	$- e 1$
$e 7$	$- e 6$	$e 5$	$e 4$	$- e 3$	$- e 2$	$e 1$	$0$

O produto pode ser dado por uma tabuada de multiplicação, como esta aqui. Esta tabela, devido a Cayley, fornece o produto dos vetores de base ortonormal e _i e e _j para cada i , j de 1 a 7. Por exemplo, da tabela

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} \ times \ mathbf {e} _ {2} = \ mathbf {e} _ {3} = - \ mathbf {e} _ {2} \ times \ mathbf {e } _ {1}}

A tabela pode ser usada para calcular o produto de quaisquer dois vetores. Por exemplo, para calcular o componente e ₁ de x × y, os vetores de base que se multiplicam para produzir e ₁ podem ser escolhidos para fornecer

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {x \ times y} \ right) _ {1} = x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2} + x_ {4} y_ {5} -x_ {5} y_ {4} + x_ {7} y_ {6} -x_ {6} y_ {7}.}

Isso pode ser repetido para os outros seis componentes.

Existem 480 dessas tabelas, uma para cada um dos produtos que atendem à definição. Esta tabela pode ser resumida pela relação

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ mathbf {\ times} \ mathbf {e} _ {j} = \ varepsilon _ {ijk} \ mathbf {e} _ {k},}

onde é um tensor completamente antissimétrico com um valor positivo +1 quando ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {ijk}}$

O canto superior esquerdo 3 × 3 desta tabela fornece o produto vetorial em três dimensões.

Definição

O produto em cruz um espaço euclidiano V é um mapa bilinear de V × V para V , vectores de mapeamento x e y em V de um outro vector x x y também em V , onde x x y tem as propriedades

ortogonalidade :

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) = (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) \ cdot \ mathbf {y} = 0,}

magnitude :

{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} | ^ {2} = | \ mathbf {x} | ^ {2} | \ mathbf {y} | ^ {2} - (\ mathbf {x } \ cdot \ mathbf {y}) ^ {2}}

onde ( x · y ) é o produto escalar euclidiano e | x | é a norma euclidiana . A primeira propriedade afirma que o produto é perpendicular aos seus argumentos, enquanto a segunda propriedade fornece a magnitude do produto. Uma expressão equivalente em termos do ângulo θ entre os vetores é

{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | \ sin \ theta,}

que é a área do paralelogramo no plano de X e Y com os dois vectores como os lados. Uma terceira declaração da condição de magnitude é

{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | ~ {\ mbox {if}} \ \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} \ right) = 0,}

se x × x = 0 é assumido como um axioma separado.

Consequências das propriedades definidoras

Dadas as propriedades de bilinearidade, ortogonalidade e magnitude, um produto vetorial diferente de zero existe apenas em três e sete dimensões. Isso pode ser mostrado postulando as propriedades necessárias para o produto vetorial e, em seguida, deduzindo uma equação que só é satisfeita quando a dimensão é 0, 1, 3 ou 7. Em dimensões zero, há apenas o vetor zero, enquanto em uma dimensão todos os vetores são paralelos, portanto, em ambos os casos, o produto deve ser igual a zero.

A restrição para 0, 1, 3 e 7 dimensões está relacionada ao teorema de Hurwitz , de que as álgebras de divisão normada só são possíveis em 1, 2, 4 e 8 dimensões. O produto vetorial é formado a partir do produto da álgebra de divisão normada, restringindo-o às 0, 1, 3 ou 7 dimensões imaginárias da álgebra, dando produtos diferentes de zero em apenas três e sete dimensões.

Em contraste com o produto cruzado tridimensional, que é único (além do sinal), existem muitos produtos cruzados binários possíveis em sete dimensões. Uma maneira de ver isso é notar que dado qualquer par de vetores x e y e qualquer vetor v de magnitude | v | = | x || y | pecado θ no espaço de cinco dimensões perpendicular ao plano gerado por x e y , é possível encontrar um produto cruzada com uma tabela de multiplicação (e associado um conjunto de vectores de base) de tal modo que x x y = v . Ao contrário, em três dimensões, x x y = um × b não implica que um e b situam-se no mesmo plano que x e y . ${\ displaystyle \ in \ mathbb {R} ^ {7}}$

Outras propriedades seguem da definição, incluindo as seguintes identidades:

Anti - mutatividade :
${\ displaystyle \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ times \ mathbf {x}}$
Produto escalar triplo :
${\ displaystyle \ mathbf {x} \ cdot (\ mathbf {y} \ times \ mathbf {z}) = \ mathbf {y} \ cdot (\ mathbf {z} \ times \ mathbf {x}) = \ mathbf { z} \ cdot (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y})}$
Identidade Malcev :

${\ displaystyle (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) \ times (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {z}) = ((\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) \ times \ mathbf {z}) \ times \ mathbf {x} + ((\ mathbf {y} \ times \ mathbf {z}) \ times \ mathbf {x}) \ times \ mathbf {x} + ((\ mathbf {z} \ times \ mathbf {x}) \ times \ mathbf {x}) \ times \ mathbf {y}}$

${\ displaystyle \ mathbf {x} \ times (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) = - | \ mathbf {x} | ^ {2} \ mathbf {y} + (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}) \ mathbf {x}.}$

Outras propriedades seguem apenas no caso tridimensional e não são satisfeitas pelo produto vetorial de sete dimensões, notavelmente,

Produto triplo de vetor :
${\ displaystyle \ mathbf {x} \ times (\ mathbf {y} \ times \ mathbf {z}) \ neq (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {z}) \ mathbf {y} - (\ mathbf { x} \ cdot \ mathbf {y}) \ mathbf {z}}$
Identidade Jacobi :
${\ displaystyle \ mathbf {x} \ times (\ mathbf {y} \ times \ mathbf {z}) + \ mathbf {y} \ times (\ mathbf {z} \ times \ mathbf {x}) + \ mathbf { z} \ times (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) \ neq 0}$

Como a identidade de Jacobi não é satisfeita, o produto vetorial sete-dimensional não dá a R ⁷ a estrutura de uma álgebra de Lie .

Expressões coordenadas

Para definir um produto vetorial específico, uma base ortonormal { e _j } pode ser selecionada e uma tabela de multiplicação fornecida que determina todos os produtos { e _i × e _j }. Uma possível tabela de multiplicação é descrita na seção Exemplo , mas não é única. Ao contrário das três dimensões, há muitas tabelas porque cada par de vetores unitários é perpendicular a cinco outros vetores unitários, permitindo muitas opções para cada produto vetorial.

Uma vez que nós estabelecemos uma tabela de multiplicação, é então aplicada a vetores gerais x e y expressando x e y em termos de base e expansão x × y através bilinearity.

×	$e 1$	$e 2$	$e 3$	$e 4$	$e 5$	$e 6$	$e 7$
$e 1$	$0$	$e 4$	$e 7$	$- e 2$	$e 6$	$- e 5$	$- e 3$
$e 2$	$- e 4$	$0$	$e 5$	$e 1$	$- e 3$	$e 7$	$- e 6$
$e 3$	$- e 7$	$- e 5$	$0$	$e 6$	$e 2$	$- e 4$	$e 1$
$e 4$	$e 2$	$- e 1$	$- e 6$	$0$	$e 7$	$e 3$	$- e 5$
$e 5$	$- e 6$	$e 3$	$- e 2$	$- e 7$	$0$	$e 1$	$e 4$
$e 6$	$e 5$	$- e 7$	$e 4$	$- e 3$	$- e 1$	$0$	$e 2$
$e 7$	$e 3$	$e 6$	$- e 1$	$e 5$	$- e 4$	$- e 2$	$0$

Usando e ₁ a e ₇ para os vetores de base, uma tabuada de multiplicação diferente daquela na Introdução, levando a um produto vetorial diferente, é dada com anticomutatividade por

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1} \ times \ mathbf {e} _ {2} = \ mathbf {e} _ {4}, \ quad \ mathbf {e} _ {2} \ times \ mathbf { e} _ {4} = \ mathbf {e} _ {1}, \ quad \ mathbf {e} _ {4} \ times \ mathbf {e} _ {1} = \ mathbf {e} _ {2}, }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {2} \ times \ mathbf {e} _ {3} = \ mathbf {e} _ {5}, \ quad \ mathbf {e} _ {3} \ times \ mathbf { e} _ {5} = \ mathbf {e} _ {2}, \ quad \ mathbf {e} _ {5} \ times \ mathbf {e} _ {2} = \ mathbf {e} _ {3}, }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3} \ times \ mathbf {e} _ {4} = \ mathbf {e} _ {6}, \ quad \ mathbf {e} _ {4} \ times \ mathbf { e} _ {6} = \ mathbf {e} _ {3}, \ quad \ mathbf {e} _ {6} \ times \ mathbf {e} _ {3} = \ mathbf {e} _ {4}, }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {4} \ times \ mathbf {e} _ {5} = \ mathbf {e} _ {7}, \ quad \ mathbf {e} _ {5} \ times \ mathbf { e} _ {7} = \ mathbf {e} _ {4}, \ quad \ mathbf {e} _ {7} \ times \ mathbf {e} _ {4} = \ mathbf {e} _ {5}, }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {5} \ times \ mathbf {e} _ {6} = \ mathbf {e} _ {1}, \ quad \ mathbf {e} _ {6} \ times \ mathbf { e} _ {1} = \ mathbf {e} _ {5}, \ quad \ mathbf {e} _ {1} \ times \ mathbf {e} _ {5} = \ mathbf {e} _ {6}, }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {6} \ times \ mathbf {e} _ {7} = \ mathbf {e} _ {2}, \ quad \ mathbf {e} _ {7} \ times \ mathbf { e} _ {2} = \ mathbf {e} _ {6}, \ quad \ mathbf {e} _ {2} \ times \ mathbf {e} _ {6} = \ mathbf {e} _ {7}, }

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {7} \ times \ mathbf {e} _ {1} = \ mathbf {e} _ {3}, \ quad \ mathbf {e} _ {1} \ times \ mathbf { e} _ {3} = \ mathbf {e} _ {7}, \ quad \ mathbf {e} _ {3} \ times \ mathbf {e} _ {7} = \ mathbf {e} _ {1}. }

De forma mais compacta, esta regra pode ser escrita como

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ times \ mathbf {e} _ {i + 1} = \ mathbf {e} _ {i + 3}}

com i = 1 ... 7 módulo 7 e os índices i , i + 1 e i + 3 permitidos para permutar uniformemente. Junto com a anticomutatividade, isso gera o produto. Esta regra produz diretamente as duas diagonais imediatamente adjacentes à diagonal de zeros na tabela. Além disso, a partir de uma identidade na subseção sobre consequências ,

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i} \ times \ left (\ mathbf {e} _ {i} \ times \ mathbf {e} _ {i + 1} \ right) = - \ mathbf {e} _ {i + 1} = \ mathbf {e} _ {i} \ times \ mathbf {e} _ {i + 3} \,}

que produz diagonais mais para fora, e assim por diante.

O componente e _j do produto vetorial x × y é dado selecionando todas as ocorrências de e _j na tabela e coletando os componentes correspondentes de x da coluna esquerda e de y da linha superior. O resultado é:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} = (x_ {2} y_ {4} -x_ {4} y_ {2} + x_ {3} y_ {7} - x_ {7} y_ {3} + x_ {5} y_ {6} -x_ {6} y_ {5}) \, & \ mathbf {e} _ {1} \\ {} + (x_ {3} y_ {5} -x_ {5} y_ {3} + x_ {4} y_ {1} -x_ {1} y_ {4} + x_ {6} y_ {7} -x_ {7} y_ {6}) \ , & \ mathbf {e} _ {2} \\ {} + (x_ {4} y_ {6} -x_ {6} y_ {4} + x_ {5} y_ {2} -x_ {2} y_ { 5} + x_ {7} y_ {1} -x_ {1} y_ {7}) \, & \ mathbf {e} _ {3} \\ {} + (x_ {5} y_ {7} -x_ { 7} y_ {5} + x_ {6} y_ {3} -x_ {3} y_ {6} + x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}) \, & \ mathbf {e } _ {4} \\ {} + (x_ {6} y_ {1} -x_ {1} y_ {6} + x_ {7} y_ {4} -x_ {4} y_ {7} + x_ {2 } y_ {3} -x_ {3} y_ {2}) \, & \ mathbf {e} _ {5} \\ {} + (x_ {7} y_ {2} -x_ {2} y_ {7} + x_ {1} y_ {5} -x_ {5} y_ {1} + x_ {3} y_ {4} -x_ {4} y_ {3}) \, & \ mathbf {e} _ {6} \ \ {} + (x_ {1} y_ {3} -x_ {3} y_ {1} + x_ {2} y_ {6} -x_ {6} y_ {2} + x_ {4} y_ {5} - x_ {5} y_ {4}) \, & \ mathbf {e} _ {7}. \ end {alinhado}}}

Como o produto vetorial é bilinear, o operador x × - pode ser escrito como uma matriz, que assume a forma

{\ displaystyle T _ {\ mathbf {x}} = {\ begin {bmatrix} 0 & -x_ {4} & - x_ {7} & x_ {2} & - x_ {6} & x_ {5} & x_ {3} \\ x_ {4} & 0 & -x_ {5} & - x_ {1} & x_ {3} & - x_ {7} & x_ {6} \\ x_ {7} & x_ {5} & 0 & -x_ {6} & - x_ { 2} & x_ {4} & - x_ {1} \\ - x_ {2} & x_ {1} & x_ {6} & 0 & -x_ {7} & - x_ {3} & x_ {5} \\ x_ {6} & -x_ {3} & x_ {2} & x_ {7} & 0 & -x_ {1} & - x_ {4} \\ - x_ {5} & x_ {7} & - x_ {4} & x_ {3} & x_ {1} & 0 & -x_ {2} \\ - x_ {3} & - x_ {6} & x_ {1} & - x_ {5} & x_ {4} & x_ {2} & 0 \ end {bmatrix}}.}

O produto vetorial é então dado por

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} = T _ {\ mathbf {x}} \ mathbf {y}.}

Tabuadas de multiplicação diferentes

Planos de Fano para as duas tabuadas de multiplicação usadas aqui.

Duas tabelas de multiplicação diferentes foram usadas neste artigo, e há mais. Essas tabelas de multiplicação são caracterizadas pelo plano Fano e são mostradas na figura para as duas tabelas usadas aqui: no topo, a descrita por Sabinin, Sbitneva e Shestakov, e na parte inferior a descrita por Lounesto. Os números sob os diagramas de Fano (o conjunto de linhas no diagrama) indicam um conjunto de índices para sete produtos independentes em cada caso, interpretados como ijk → e _i × e _j = e _k . A tabuada é recuperada do diagrama de Fano seguindo a linha reta conectando quaisquer três pontos, ou o círculo no centro, com um sinal dado pelas setas. Por exemplo, a primeira linha de multiplicações resultando em e ₁ na lista acima é obtida seguindo os três caminhos conectados a e ₁ no diagrama de Fano inferior: o caminho circular e ₂ × e ₄ , o caminho diagonal e ₃ × e ₇ , e o caminho da borda e ₆ × e ₁ = e ₅ reorganizado usando uma das identidades acima como:

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {6} \ times \ left (\ mathbf {e} _ {6} \ times \ mathbf {e} _ {1} \ right) = - \ mathbf {e} _ {1 } = \ mathbf {e} _ {6} \ times \ mathbf {e} _ {5},}

ou

{\ displaystyle \ mathbf {e} _ {5} \ times \ mathbf {e} _ {6} = \ mathbf {e} _ {1},}

também obtido diretamente do diagrama com a regra de que quaisquer dois vetores unitários em uma linha reta são conectados por multiplicação ao terceiro vetor unitário nessa linha reta com sinais de acordo com as setas (sinal da permutação que ordena os vetores unitários).

Pode-se ver que ambas as regras de multiplicação seguem do mesmo diagrama de Fano simplesmente renomeando os vetores unitários e mudando o sentido do vetor unitário central. Considerando todas as permutações possíveis da base, existem 480 tabuadas de multiplicação e, portanto, 480 produtos cruzados como este.

Usando álgebra geométrica

O produto também pode ser calculado usando álgebra geométrica . O produto começa com o produto exterior , um produto com valor bivetor de dois vetores:

{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = {\ frac {1} {2}} (\ mathbf {xy} - \ mathbf {yx}).}

Este é bilinear, alternado, tem a magnitude desejada, mas não tem valor vetorial. O vetor, e portanto o produto vetorial, vem do produto desse bivetor com um trivetor . Em três dimensões até um fator de escala há apenas um trivetor, o pseudoescalar do espaço, e um produto do bivetor acima e um dos dois trivetores unitários dá o resultado vetorial, o dual do bivetor.

Um cálculo semelhante é feito em sete dimensões, exceto como os trivetores formam um espaço 35-dimensional, há muitos trivetores que podem ser usados, embora não seja qualquer um deles. O trivector que fornece o mesmo produto que a transformação da coordenada acima é

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {e} _ {124} + \ mathbf {e} _ {235} + \ mathbf {e} _ {346} + \ mathbf {e} _ {457} + \ mathbf {e} _ {561} + \ mathbf {e} _ {672} + \ mathbf {e} _ {713}.}

Isso é combinado com o produto externo para dar o produto vetorial

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} = - (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) ~ \ lrcorner ~ \ mathbf {v}}

onde está o operador de contração esquerdo da álgebra geométrica. ${\ displaystyle \ lrcorner}$

Relação com as octonions

Assim como o produto vetorial tridimensional pode ser expresso em termos de quatérnions , o produto vetorial 7-dimensional pode ser expresso em termos de octonions . Depois de identificar com as octonions imaginárias (o complemento ortogonal da linha real em ), o produto vetorial é dado em termos de multiplicação de octonion por ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {7}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {O}}$

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} = \ mathrm {Im} (\ mathbf {xy}) = {\ frac {1} {2}} (\ mathbf {xy} - \ mathbf {yx }).}

Por outro lado, suponha que V seja um espaço euclidiano de 7 dimensões com um determinado produto vetorial. Então, pode-se definir uma multiplicação bilinear da seguinte forma: ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ oplus V}$

{\ displaystyle (a, \ mathbf {x}) (b, \ mathbf {y}) = (ab- \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y}, a \ mathbf {y} + b \ mathbf {x } + \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}).}

O espaço com esta multiplicação é então isomórfico às octonions. ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ oplus V}$

O produto vetorial existe apenas em três e sete dimensões, pois sempre se pode definir uma multiplicação em um espaço de uma dimensão superior como acima, e este espaço pode ser mostrado como uma álgebra de divisão normada . Pelo teorema de Hurwitz, tais álgebras só existem em uma, duas, quatro e oito dimensões, então o produto vetorial deve estar em zero, uma, três ou sete dimensões. Os produtos em zero e uma dimensão são triviais, portanto, produtos cruzados não triviais existem apenas em três e sete dimensões.

O fracasso do produto cruzado de 7 dimensões em satisfazer a identidade de Jacobi é devido à não associatividade das octonions. Na verdade,

{\ displaystyle \ mathbf {x} \ times (\ mathbf {y} \ times \ mathbf {z}) + \ mathbf {y} \ times (\ mathbf {z} \ times \ mathbf {x}) + \ mathbf { z} \ times (\ mathbf {x} \ times \ mathbf {y}) = - {\ frac {3} {2}} [\ mathbf {x}, \ mathbf {y}, \ mathbf {z}]}

onde [ x , y , z ] é o associador .

Rotações

Em três dimensões do produto cruzado é invariante sob a acção do grupo de rotação, SO (3) , de modo que o produto passe de X e Y depois de serem rodados é a imagem de x x y sob a rotação. Mas essa invariância não é verdadeira em sete dimensões; ou seja, o produto vetorial não é invariante sob o grupo de rotações em sete dimensões, SO (7) . Em vez disso, é invariante sob o grupo de Lie excepcional G ₂ , um subgrupo de SO (7).

Generalizações

Produtos cruzados binários diferentes de zero existem apenas em três e sete dimensões. Outros produtos são possíveis ao retirar a restrição de que deve ser um produto binário. Exigimos que o produto seja multi-linear , alternado , com valor vetorial e ortogonal a cada um dos vetores de entrada a _i . O requisito de ortogonalidade implica que em n dimensões, não mais do que n - 1 vetores podem ser usados. A magnitude do produto deve ser igual ao volume do paralelotopo com os vetores como arestas, que podem ser calculados usando o determinante de Gram . As condições são

ortogonalidade:

{\ displaystyle \ left (\ mathbf {a} _ {1} \ times \ \ cdots \ \ times \ mathbf {a} _ {k} \ right) \ cdot \ mathbf {a} _ {i} = 0}

para .

{\ displaystyle i = 1, \ \ dots \, k}

o determinante de Gram:

{\ displaystyle | \ mathbf {a} _ {1} \ times \ cdots \ times \ mathbf {a} _ {k} | ^ {2} = \ det (\ mathbf {a} _ {i} \ cdot \ mathbf {a} _ {j}) = {\ begin {vmatrix} \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {a} _ {1} & \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf { a} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {a} _ {1} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \\\ mathbf {a} _ {2} \ cdot \ mathbf {a} _ { 1} & \ mathbf {a} _ {2} \ cdot \ mathbf {a} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {a} _ {2} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\\ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {1} & \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {2} & \ cdots & \ mathbf {a} _ {k} \ cdot \ mathbf {a} _ {k} \\\ end {vmatrix}}}

O determinante Gram é o volume quadrado do parallelotope com um ₁ , ..., a _k como bordas.

Com essas condições, um produto cruzado não trivial só existe:

como um produto binário em três e sete dimensões
como um produto de n - 1 vetores em n ≥ 3 dimensões, sendo o Hodge dual do produto exterior dos vetores
como um produto de três vetores em oito dimensões

Uma versão do produto de três vetores em oito dimensões é dada por

{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} \ times \ mathbf {c} = (\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {c}) ~ \ lrcorner ~ (\ mathbf {w} - \ mathbf {ve} _ {8})}

onde v é o mesmo trivector usado em sete dimensões, é novamente a contração à esquerda e w = - ve _{12 ... 7} é um vetor 4. ${\ displaystyle \ lrcorner}$

Também existem produtos triviais. Como já observado , um produto binário só existe em 7, 3, 1 e 0 dimensões, sendo as duas últimas identicamente zero. Um outro 'produto' trivial surge em dimensões pares, que pega um único vetor e produz um vetor de mesma magnitude ortogonal a ele através da contração esquerda com um bivetor adequado. Em duas dimensões, é uma rotação em um ângulo reto.

Como uma generalização adicional, podemos afrouxar os requisitos de multilinearidade e magnitude, e considerar uma função contínua geral (onde é dotada com o produto interno euclidiano ) que só é necessária para satisfazer as duas propriedades a seguir: ${\ displaystyle V ^ {d} \ a V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle d \ geq 2}$

O produto vetorial é sempre ortogonal a todos os vetores de entrada.
Se os vetores de entrada forem linearmente independentes, o produto vetorial será diferente de zero.

De acordo com esses requisitos, o produto vetorial existe apenas (I) para , (II) para , (III) para e (IV) para qualquer um . ${\ displaystyle n = 3, d = 2}$ ${\ displaystyle n = 7, d = 3}$ ${\ displaystyle n = 8, d = 3}$ ${\ displaystyle d = n-1}$

Veja também

Álgebra de composição

Notas

Referências

Brown, Robert B .; Gray, Alfred (1967). "Produtos cruzados vetoriais". Commentarii Mathematici Helvetici . 42 (1): 222–236. doi : 10.1007 / BF02564418 . S2CID 121135913 .
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