Símbolo Schläfli - Schläfli symbol

Em geometria , o símbolo Schläfli é uma notação da forma que define politopos regulares e tesselações . ${\ displaystyle \ {p, q, r, ... \}}$

O símbolo Schläfli deve o seu nome ao matemático suíço do século XIX Ludwig Schläfli , que generalizou a geometria euclidiana para mais de três dimensões e descobriu todos os seus politopos regulares convexos, incluindo os seis que ocorrem em quatro dimensões.

Definição

O símbolo de Schläfli é uma descrição recursiva , começando com { p } para um polígono regular de lado p que é convexo . Por exemplo, {3} é um triângulo equilátero , {4} é um quadrado , {5} um pentágono regular convexo e assim por diante.

Os polígonos regulares em estrela não são convexos e seus símbolos Schläfli { ^p / _q } contêm frações irredutíveis ^p / _q , onde p é o número de vértices e q é o número de rotação . Equivalentemente, { ^p / _q } é criado a partir dos vértices de { p }, conectado a cada q . Por exemplo, { 5 ⁄ 2 } é um pentagrama ; { 5 ⁄ 1 } é um pentágono .

Um poliedro regular com q faces poligonais regulares de lados p em torno de cada vértice é representado por { p , q }. Por exemplo, o cubo tem 3 quadrados ao redor de cada vértice e é representado por {4,3}.

Um politopo 4-dimensional regular , com r { p , q } células poliédricas regulares ao redor de cada aresta é representado por { p , q , r }. Por exemplo, um tesseracto , {4,3,3}, tem 3 cubos , {4,3}, em torno de uma aresta.

Em geral, um politopo regular { p , q , r , ..., y , z } tem facetas z { p , q , r , ..., y } em torno de cada pico , onde um pico é um vértice em um poliedro , uma borda em um 4-politopo, uma face em um 5-politopo, uma célula em um 6-politopo e uma ( n -3) -face em um n- politopo.

Propriedades

Um politopo regular tem uma figura de vértice regular . A figura do vértice de um politopo regular { p , q , r , ..., y , z } é { q , r , ..., y , z }.

Os politopos regulares podem ter elementos de polígonos estrelados , como o pentagrama , com o símbolo { 5 ⁄ 2 }, representado pelos vértices de um pentágono, mas conectados alternadamente.

O símbolo Schläfli pode representar um poliedro convexo finito , uma tesselação infinita do espaço euclidiano ou uma tesselação infinita do espaço hiperbólico , dependendo do defeito do ângulo da construção. Um defeito de ângulo positivo permite que a figura do vértice se dobre em uma dimensão mais alta e se enrole em si mesma como um politopo. Um defeito de ângulo zero tessellates espaço da mesma dimensão que as facetas. Um defeito de ângulo negativo não pode existir no espaço comum, mas pode ser construído no espaço hiperbólico.

Normalmente, uma faceta ou figura de vértice é considerada um politopo finito, mas às vezes pode ser considerada uma tesselação.

Um politopo regular também tem um politopo duplo , representado pelos elementos do símbolo Schläfli em ordem reversa. Um politopo regular autodual terá um símbolo Schläfli simétrico.

Além de descrever politopos euclidianos, os símbolos de Schläfli podem ser usados ​​para descrever politopos esféricos ou favos de mel esféricos.

História e variações

O trabalho de Schläfli era quase desconhecido em sua vida, e sua notação para descrever politopos foi redescoberta de forma independente por vários outros. Em particular, Thorold Gosset redescobriu o símbolo Schläfli que ele escreveu como | p | q | r | ... | z | ao invés de colchetes e vírgulas como Schläfli fez.

A forma de Gosset tem maior simetria, então o número de dimensões é o número de barras verticais, e o símbolo inclui exatamente os sub-símbolos para figura de faceta e vértice. Gosset considerado | p como um operador, que pode ser aplicado a | q | ... | z | para produzir um politopo com faces p -gonais cuja figura do vértice é | q | ... | z |.

Estojos

Grupos de simetria

Os símbolos de Schläfli estão intimamente relacionados a grupos de simetria de reflexão (finitos) , que correspondem precisamente aos grupos de Coxeter finitos e são especificados com os mesmos índices, mas em vez disso, colchetes [ p , q , r , ...]. Esses grupos são freqüentemente nomeados pelos politopos regulares que eles geram. Por exemplo, [3,3] é o grupo Coxeter para simetria tetraédrica reflexiva , [3,4] é simetria octaédrica reflexiva e [3,5] é simetria icosaédrica reflexiva .

Polígonos regulares (plano)

O símbolo Schläfli de um polígono regular (convexo) com p arestas é { p }. Por exemplo, um pentágono regular é representado por {5}.

Para polígonos de estrela (não convexos) , a notação construtiva { p ⁄ q } é usada, onde p é o número de vértices e q −1 é o número de vértices ignorados ao desenhar cada aresta da estrela. Por exemplo, { 5 ⁄ 2 } representa o pentagrama .

Poliedros regulares (3 dimensões)

O símbolo Schläfli de um poliedro regular é { p , q } se suas faces são p -gons, e cada vértice é cercado por q faces (a figura do vértice é um q -gon).

Por exemplo, {5,3} é o dodecaedro regular . Possui faces pentagonais (5 arestas) e 3 pentágonos ao redor de cada vértice.

Veja os 5 sólidos platônicos convexos , os 4 poliedros Kepler-Poinsot não convexos .

Topologicamente, um mosaico bidimensional regular pode ser considerado semelhante a um poliedro (tridimensional), mas tal que o defeito angular é zero. Assim, os símbolos Schläfli também pode ser definido por regulares pavimentações de euclidiana ou hiperbólica espaço em uma maneira similar como para poliedros. A analogia é válida para dimensões superiores.

Por exemplo, o ladrilho hexagonal é representado por {6,3}.

4 politopos regulares (4 dimensões)

O símbolo Schläfli de um 4-politopo regular tem a forma { p , q , r }. Suas faces (bidimensionais) são p- pontos regulares ({ p }), as células são poliedros regulares do tipo { p , q }, as figuras do vértice são poliedros regulares do tipo { q , r }, e as figuras das bordas são r -gons regulares (tipo { r }).

Veja os seis politopos de 4 estrelas regulares convexos e 10 regulares .

Por exemplo, a célula 120 é representada por {5,3,3}. É feito de células dodecaedro {5,3} e possui 3 células ao redor de cada borda.

Há um mosaico regular de 3 espaços euclidianos: o favo de mel cúbico , com um símbolo Schläfli de {4,3,4}, feito de células cúbicas e 4 cubos ao redor de cada aresta.

Existem também 4 tesselações hiperbólicas compactas regulares, incluindo {5,3,4}, o pequeno favo de mel hiperbólico dodecaédrico , que preenche o espaço com células dodecaedro .

N- polítopos regulares (dimensões mais altas)

Para politopos regulares de dimensão superior , o símbolo de Schläfli é definido recursivamente como { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 1} } se as facetas têm o símbolo de Schläfli { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 2} } e as figuras dos vértices têm o símbolo de Schläfli { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n  - 1} }.

Uma figura de vértice de uma faceta de um politopo e uma faceta de uma figura de vértice do mesmo politopo são iguais: { p ₂ , p ₃ , ..., p _{n  - 2} }.

Existem apenas 3 politopos regulares em 5 dimensões e acima: o simplex , {3,3,3, ..., 3}; o politopo cruzado , {3,3, ..., 3,4}; e o hipercubo , {4,3,3, ..., 3}. Não há politopos regulares não convexos acima de 4 dimensões.

Politopos duplos

Se um politopo de dimensão n ≥ 2 tem o símbolo de Schläfli { p ₁ , p ₂ , ..., p _{n  - 1} } então seu dual tem o símbolo de Schläfli { p _{n  - 1} , ..., p ₂ , p ₁ }.

Se a sequência for palíndrômica , ou seja, a mesma para a frente e para trás, o politopo é autodual . Todo politopo regular em 2 dimensões (polígono) é autodual.

Politopos prismáticos

Os politopos prismáticos uniformes podem ser definidos e nomeados como um produto cartesiano (com o operador "×") de politopos regulares de dimensão inferior.

• Em 0D, um ponto é representado por (). Seu diagrama de Coxeter está vazio. Sua simetria de notação de Coxeter é] [.
• Em 1D, um segmento de linha é representado por {}. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [].
• Em 2D, um retângulo é representado como {} × {}. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [2].
• Em 3D, um prisma p -gonal é representado como {} × { p }. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [2, p ].
• Em 4D, um prisma { p , q } -édrico uniforme é representado como {} × { p , q }. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [2, p , q ].
• Em 4D, um uniforme p - q duoprism é representado como { p } × { q }. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [ p , 2, q ].

Os duais prismáticos, ou bipiramidas, podem ser representados como símbolos compostos, mas com o operador de adição , "+".

• Em 2D, um losango é representado como {} + {}. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [2].
• Em 3D, uma bipiramide p -gonal é representada como {} + { p }. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [2, p ].
• Em 4D, uma bipiramide { p , q } -édrica é representada como {} + { p , q }. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [ p , q ].
• Em 4D, uma p - q duopiramide é representada como { p } + { q }. Seu diagrama de Coxeter é. Sua simetria é [ p , 2, q ].

Os politopos piramidais contendo vértices deslocados ortogonalmente podem ser representados usando um operador de junção, "∨". Cada par de vértices entre as figuras unidas são conectados por arestas.

Em 2D, um triângulo isósceles pode ser representado como () ∨ {} = () ∨ [() ∨ ()].

Em 3D:

• Um disfenóide digonal pode ser representado como {} ∨ {} = [() ∨ ()] ∨ [() ∨ ()].
• Uma pirâmide p-gonal é representada como () ∨ { p }.

Em 4D:

• Uma pirâmide pq-hédrica é representada como () ∨ { p , q }.
• Uma célula de 5 é representada como () ∨ [() ∨ {3}] ou [() ∨ ()] ∨ {3} = {} ∨ {3}.
• Uma pirâmide piramidal quadrada é representada como () ∨ [() ∨ {4}] ou [() ∨ ()] ∨ {4} = {} ∨ {4}.

Ao misturar operadores, a ordem das operações do maior para o menor é ×, +, ∨.

Os politopos axiais contendo vértices em hiperplanos paralelos deslocados podem ser representados por || operador. Um prisma uniforme é { n } || { n } e antiprisma { n } || r { n }.

Extensão dos símbolos Schläfli

Polígonos e círculos

Um polígono regular truncado dobra nos lados. Um polígono regular com lados pares pode ser dividido pela metade. Um 2n-gon regular de lados pares alterado gera um composto de figura de estrela , 2 {n}.

Forma	Símbolo Schläfli	Simetria	Diagrama de Coxeter		Exemplo, {6}
Regular	{p}	[p]				Hexágono
Truncado	t {p} = {2p}	[[p]] = [2p]	=			Hexágono truncado (dodecágono)	=
Alterado e Holosnubbed	a {2p} = β {p}	[2p]	=			Hexágono alterado (hexagrama)	=
Meio e esnobado	h {2p} = s {p} = {p}	[1 + , 2p] = [p]	= =			Meio hexágono (Triângulo)	= =

Poliedros e telhas

Coxeter expandiu seu uso do símbolo Schläfli para poliedros quase regulares , adicionando uma dimensão vertical ao símbolo. Foi um ponto de partida para o diagrama de Coxeter mais geral . Norman Johnson simplificou a notação para símbolos verticais com um prefixo r . A notação t é a mais geral e corresponde diretamente aos anéis do diagrama de Coxeter. Os símbolos têm uma alternância correspondente , substituindo anéis por orifícios em um diagrama de Coxeter e o prefixo h representando a metade , construção limitada pela exigência de que os ramos vizinhos sejam ordenados uniformemente e corta a ordem de simetria pela metade. Um operador relacionado, a para alterado , é mostrado com dois orifícios aninhados, representa um poliedro composto com ambas as metades alternadas, mantendo a simetria total original. Um snub é uma meia forma de um truncamento, e um holosnub é as duas metades de um truncamento alternado.

Forma	Símbolos Schläfli			Simetria	Diagrama de Coxeter		Exemplo, {4,3}
Regular	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	{p, q}	t 0 {p, q}	[p, q] ou [(p, q, 2)]				Cubo
Truncado	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	t {p, q}	t 0,1 {p, q}					Cubo truncado
Bitruncamento (dual truncado)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	2t {p, q}	t 1,2 {p, q}					Octaedro truncado
Retificado ( Quasirregular )	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	r {p, q}	t 1 {p, q}					Cuboctaedro
Birectificação (regular dual)	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} q, p \ end {Bmatrix}}}$	2r {p, q}	t 2 {p, q}					Octaedro
Cantelado ( retificado retificado )	${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	rr {p, q}	t 0,2 {p, q}					Rombicuboctaedro
Cantitruncado (Truncado retificado)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	tr {p, q}	t 0,1,2 {p, q}					Cuboctaedro truncado

Alternações, trimestres e desprezos

As alternâncias têm metade da simetria dos grupos de Coxeter e são representadas por anéis não preenchidos. Existem duas opções possíveis em que metade dos vértices são escolhidos, mas o símbolo não indica qual. As formas trimestrais são mostradas aqui com um + dentro de um anel oco para indicar que são duas alternâncias independentes.

Alternações

Forma	Símbolos Schläfli			Simetria	Diagrama de Coxeter		Exemplo, {4,3}
Alternado (meio) regular	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} 2p, q \ end {Bmatrix}}}$	h {2p, q}	ht 0 {2p, q}	[1 + , 2p, q]	=			Demicube ( tetraedro )
Snub regular	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p, 2q \ end {Bmatrix}}}$	s {p, 2q}	ht 0,1 {p, 2q}	[p + , 2q]
Snub dual regular	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} q, 2p \ end {Bmatrix}}}$	s {q, 2p}	ht 1,2 {2p, q}	[2p, q + ]				Snub octaedro ( Icosaedro )
Retificado alternado (p e q são pares)	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	hr {p, q}	ht 1 {p, q}	[p, 1 + , q]
Retificado alternado retificado (p e q são pares)	${\ displaystyle hr {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	hrr {p, q}	ht 0,2 {p, q}	[(p, q, 2 + )]
Esquartejado (p e q são pares)	${\ displaystyle q {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	q {p, q}	ht 0 ht 2 {p, q}	[1 + , p, q, 1 + ]
Snub retificado Snub quasiregular	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	sr {p, q}	ht 0,1,2 {p, q}	[p, q] +				Cuboctaedro Snub (cubo Snub)

Alterado e holosnubbed

As formas alteradas e holosnubbed têm a simetria completa do grupo Coxeter e são representadas por anéis duplos vazios, mas podem ser representados como compostos.

Alterado e holosnubbed

Forma	Símbolos Schläfli			Simetria	Diagrama de Coxeter		Exemplo, {4,3}
Regular alterado	${\ displaystyle a {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	a {p, q}	em 0 {p, q}	[p, q]	= ∪			Octaedro estrelado
Holosnub dual regular	ß { q , p }	ß {q, p}	a 0,1 {q, p}	[p, q]				Composto de dois icosaedra

ß , semelhante à letra grega beta (β), é a letra do alfabeto alemão eszett .

Polychora e favos de mel

Famílias lineares

Forma	Símbolo Schläfli			Diagrama de Coxeter		Exemplo, {4,3,3}
Regular	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	{p, q, r}	t 0 {p, q, r}				Tesseract
Truncado	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	t {p, q, r}	t 0,1 {p, q, r}				Tesserato truncado
Retificado	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	r {p, q, r}	t 1 {p, q, r}				Tesserato retificado	=
Bitruncado		2t {p, q, r}	t 1,2 {p, q, r}				Tesserato Bitruncado
Birectificado (dual retificado)	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} q, p \\ r \ end {array}} \ right \}}$	2r {p, q, r} = r {r, q, p}	t 2 {p, q, r}				16 células retificadas	=
Tritruncado (duplo truncado)	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} r, q, p \ end {Bmatrix}}}$	3t {p, q, r} = t {r, q, p}	t 2,3 {p, q, r}				Tesserato Bitruncado
Trirecionado (Dual)	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} r, q, p \ end {Bmatrix}}}$	3r {p, q, r} = {r, q, p}	t 3 {p, q, r} = {r, q, p}				16 células
Cantelado	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	rr {p, q, r}	t 0,2 {p, q, r}				Tesserato cantelado	=
Cantitruncado	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	tr {p, q, r}	t 0,1,2 {p, q, r}				Tesserato cantitruncado	=
Runcinado ( expandido )	${\ displaystyle e_ {3} {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	e 3 {p, q, r}	t 0,3 {p, q, r}				Tesserato Runcinado
Runcitruncado			t 0,1,3 {p, q, r}				Tesserato Runcitruncado
Omnitruncado			t 0,1,2,3 {p, q, r}				Tesserato omnitruncado

Alternações, trimestres e desprezos

Alternações

Forma	Símbolo Schläfli			Diagrama de Coxeter		Exemplo, {4,3,3}
Alternações
Meio p par	${\ displaystyle h {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	h {p, q, r}	ht 0 {p, q, r}				16 células
Quarto p e r par	${\ displaystyle q {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	q {p, q, r}	ht 0 ht 3 {p, q, r}
Esnobe q mesmo	${\ displaystyle s {\ begin {Bmatrix} p, q, r \ end {Bmatrix}}}$	s {p, q, r}	ht 0,1 {p, q, r}				Snub de 24 células
Snub retificado r even	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q, r \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, q, r}	ht 0,1,2 {p, q, r}				Snub de 24 células	=
Duoprisma alternado		s {p} s {q}	ht 0,1,2,3 {p, 2, q}				Grande duoantiprismo

Famílias bifurcadas

Famílias bifurcadas

Forma	Símbolo estendido de Schläfli			Diagrama de Coxeter		Exemplos
Quasi-regular	${\ displaystyle \ left \ {p, {q \ atop q} \ right \}}$	{p, q 1,1 }	t 0 {p, q 1,1 }				16 células
Truncado	${\ displaystyle t \ left \ {p, {q \ atop q} \ right \}}$	t {p, q 1,1 }	t 0,1 {p, q 1,1 }				16 células truncadas
Retificado	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	r {p, q 1,1 }	t 1 {p, q 1,1 }				24 células
Cantelado	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	rr {p, q 1,1 }	t 0,2,3 {p, q 1,1 }				16 células canteladas
Cantitruncado	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	tr {p, q 1,1 }	t 0,1,2,3 {p, q 1,1 }				16 células cantitruncadas
Snub retificado	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ q \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, q 1,1 }	ht 0,1,2,3 {p, q 1,1 }				Snub de 24 células
Quasi-regular	${\ displaystyle \ left \ {r, {p \ atop q} \ right \}}$	{r, / q \, p}	t 0 {r, / q \, p}
Truncado	${\ displaystyle t \ left \ {r, {p \ atop q} \ right \}}$	t {r, / q \, p}	t 0,1 {r, / q \, p}
Retificado	${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	r {r, / q \, p}	t 1 {r, / q \, p}
Cantelado	${\ displaystyle r \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	rr {r, / q \, p}	t 0,2,3 {r, / q \, p}
Cantitruncado	${\ displaystyle t \ left \ {{\ begin {array} {l} r \\ p \\ q \ end {array}} \ right \}}$	tr {r, / q \, p}	t 0,1,2,3 {r, / q \, p}
Snub retificado	${\ displaystyle s \ left \ {{\ begin {array} {l} p \\ q \\ r \ end {array}} \ right \}}$	sr {p, / q, \ r}	ht 0,1,2,3 {p, / q \, r}

Tesselações

Esférico

Regular

Semi-regular

Hiperbólico

Referências

Origens

• Coxeter, Harold Scott MacDonald (1973) [1948]. Regular Polytopes (3ª ed.). Publicações de Dover. pp.  14 , 69, 149. ISBN 0-486-61480-8. OCLC  798003 . Polytopes regulares.
• Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C .; Weiss, Asia Ivic, eds. (1995). Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
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links externos

• Weisstein, Eric W. "Símbolo Schläfli" . MathWorld . Recuperado em 28 de dezembro de 2019 .
• Starck, Maurice (13 de abril de 2012). "Nomes e notações poliédricas" . Uma viagem pelo mundo dos poliedros . Recuperado em 28 de dezembro de 2019 .