Prisma (geometria) - Prism (geometry)

Conjunto de prismas n -igonais uniformes
Hexagonal Prism BC.svg
Exemplo de prisma hexagonal uniforme
Modelo uniforme no sentido de poliedro semirregular
Notação de poliedro de Conway P n
Rostos 2 { n } + n {4}
Arestas 3 n
Vértices 2 n
Símbolo Schläfli { n } × {} ou t {2,  n }
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel n.pngCDel node.png
Configuração do vértice 4,4. n
Grupo de simetria D n h , [ n , 2], (* n 22), ordem 4 n
Grupo de rotação D n , [ n , 2] + , ( n 22), ordem 2 n
Poliedro duplo convexa dupla uniforme n -gonal bipirâmide
Propriedades convexas, faces poligonais regulares , vértice transitivo , bases transladadas, lados ⊥ bases
Prisim generalizado net.svg
Exemplo de rede de prisma eneagonal uniforme ( n = 9)

Em geometria , um prisma é um poliedro que compreende uma base poligonal de n lados , uma segunda base que é uma cópia transladada (movida rigidamente sem rotação) da primeira e n outras faces , necessariamente todos paralelogramos , unindo os lados correspondentes das duas bases . Todas as seções transversais paralelas às bases são translações das bases. Os prismas têm o nome de suas bases; exemplo: um prisma com base pentagonal é denominado prisma pentagonal. Os prismas são uma subclasse dos prismatoides .

Como muitos termos geométricos básicos, a palavra prisma ( grego : πρίσμα , romanizedprisma , lit. 'algo serrado') foi usado pela primeira vez nos Elementos de Euclides . Euclides definiu o termo no Livro XI como “uma figura sólida contida por dois planos opostos, iguais e paralelos, enquanto o resto são paralelogramos”. No entanto, essa definição foi criticada por não ser específica o suficiente em relação à natureza das bases, o que causou confusão entre os escritores de geometria posteriores.

Prisma oblíquo

Um prisma oblíquo é um prisma no qual as arestas e faces de união não são perpendiculares às faces da base.

Exemplo: um paralelepípedo é um prisma oblíquo cuja base é um paralelogramo , ou equivalentemente um poliedro com seis faces que são todas paralelogramos.

Prisma direito, prisma uniforme

Prisma direito

Um prisma direito é um prisma no qual as arestas e faces de união são perpendiculares às faces de base. Isso se aplica se todas as faces de união forem retangulares .

A dupla de um certo n -prism é um direito n - bipirâmide .

Um prisma direito (com lados retangulares) com bases regulares de n -gon tem o símbolo de Schläfli {} × { n }. Ele se aproxima de um sólido cilíndrico conforme n se aproxima do infinito .

Casos especiais

  • Um prisma retangular direito (com uma base retangular) também é chamado de cubóide ou, informalmente, de caixa retangular . Um prisma retangular direito possui o símbolo Schläfli {} × {} × {}.
  • Um prisma quadrado direito (com uma base quadrada) também é chamado de cubóide quadrado ou, informalmente, de caixa quadrada .

Nota: alguns textos podem aplicar o termo prisma retangular ou prisma quadrado tanto a um prisma de base retangular direito quanto a um prisma de base quadrada direita.

Prisma uniforme

Um prisma uniforme ou prisma semiregular é um prisma direito com bases regulares e lados quadrados , uma vez que tais prismas estão no conjunto de poliedros uniformes .

Um prisma n- diagonal uniforme possui o símbolo de Schläfli t {2, n }.

Os prismas direitos com bases regulares e comprimentos de borda iguais formam uma das duas séries infinitas de poliedros semiregulares , sendo a outra série antiprismas .

Família de prismas n -igonais uniformes
Nome do prisma Prisma digonal (Trigonal)
Prisma triangular
(Tetragonal)
Prisma quadrado
Prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma eneagonal Prisma decagonal Prisma Hendecagonal Prisma dodecagonal ... Prisma apeirogonal
Imagem poliedro Yellow square.gif Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png ...
Imagem de ladrilho esférico Tetragonal dihedron.png Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png Spherical decagonal prism.png Imagem de ladrilho plano Infinite prism.svg
Vertex config. 2.4.4 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ... ∞.4.4
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png ... CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png

Volume

O volume de um prisma é o produto da área da base e a distância entre as duas faces da base, ou a altura (no caso de um prisma não direito, observe que isso significa a distância perpendicular).

O volume é, portanto:

onde B é a área da base eh é a altura. O volume de um prisma cuja base é um polígono regular de n lados com comprimento de lado s é, portanto:

Superfície

A área de superfície de um prisma direito é:

onde B é a área da base, h a altura e P o perímetro da base .

A área de superfície de um prisma direito cuja base é um polígono regular de n lados com comprimento lateral s e altura h é, portanto:

Diagramas de Schlegel

Triangular prismatic graph.png
P3
Cubical graph.png
P4
Pentagonal prismatic graph.png
P5
Hexagonal prismatic graph.png
P6
Heptagonal prismatic graph.png
P7
Octagonal prismatic graph.png
P8

Simetria

O grupo de simetria de um prisma de n lados direito com base regular é D n h de ordem 4 n , exceto no caso de um cubo, que tem o maior grupo de simetria O h de ordem 48, que tem três versões de D 4h como subgrupos . O grupo de rotação é D n de ordem 2 n , exceto no caso de um cubo, que possui o maior grupo de simetria O de ordem 24, que possui três versões de D 4 como subgrupos.

O grupo de simetria D n h contém inversão se n for par.

O hosoedro e o diedro também possuem simetria diédrica, e um prisma n- diagonal pode ser construído por meio do truncamento geométrico de um hosoedro n- diagonal, bem como através da cantelação ou expansão de um diédro n- diagonal.

Prisma truncado

Um prisma truncado é um prisma com faces superior e inferior não paralelas .

Exemplo de prisma triangular truncado. Sua face superior é truncada em um ângulo oblíquo, mas NÃO é um prisma oblíquo !

Prisma torcido

Um prisma torcido é um poliedro não convexo construído a partir de um n- prisma uniforme com cada face lateral dividida na diagonal quadrada, torcendo o topo, geralmente porπ/n radianos (180/n graus) na mesma direção, fazendo com que os lados sejam côncavos.

Um prisma torcido não pode ser dissecado em tetraedros sem adicionar novos vértices. O menor caso: a forma triangular, é chamado de poliedro de Schönhardt .

Um prisma torcido n- diagonal é topologicamente idêntico ao antiprisma uniforme n -gonal , mas tem metade do grupo de simetria : D n , [ n , 2] + , ordem 2 n . Pode ser visto como um antiprisma não convexo, com tetraedros removidos entre pares de triângulos.

3-gonal 4-gonal 12 gonal
Schönhardt polyhedron.svg
Poliedro de Schönhardt
Twisted square antiprism.png
Prisma quadrado torcido
Square antiprism.png
Antiprisma quadrado
Twisted dodecagonal antiprism.png
Antiprisma dodecagonal torcido

Tronco

Um tronco é uma construção semelhante a um prisma, com faces laterais trapezoidais e polígonos superior e inferior de tamanhos diferentes.

Exemplo de tronco pentagonal

Prisma estrela

Um prisma em estrela é um poliedro não convexo construído por duas faces poligonais de estrela idênticas na parte superior e na parte inferior, sendo paralelas e deslocadas por uma distância e conectadas por faces retangulares. Um prisma de estrela uniforme terá o símbolo Schläfli { p / q } × {}, com retângulo p e 2 faces { p / q }. É topologicamente idêntico a um prisma p -gonal.

Exemplos
{} × {} 180 × {} t a {3} × {} {5/2} × {} {7/2} × {} {7/3} × {} {8/3} × {}
D 2h , pedido 8 D 3h , pedido 12 D 5h , pedido 20 D 7h , pedido 28 D 8h , pedido 32
Crossed-square prism.png Crossed hexagonal prism.png Crossed-desigual hexagonal prism.png Pentagrammic prism.png Prisma heptagrama 7-2.png Heptagrammic prism 7-3.png Prism 8-3.png

Prisma cruzado

Um prisma cruzado é um poliedro não convexo construído a partir de um prisma, onde os vértices de uma base são invertidos em torno do centro dessa base (ou girados em 180 °). Isso transforma as faces retangulares laterais em retângulos cruzados . Para uma base poligonal regular, a aparência é um n -gonal vidro horas . Todas as bordas oblíquas passam por um único centro de corpo. Nota: nenhum vértice está neste centro do corpo. Um prisma cruzado é topologicamente idêntico a um prisma n- diagonal.

Exemplos
{} × {} 180 × {} 180 t a {3} × {} 180 {3} × {} 180 {4} × {} 180 {5} × {} 180 {5/2} × {} 180 {6} × {} 180
D 2h , pedido 8 D 3d , pedido 12 D 4h , pedido 16 D 5d , pedido 20 D 6d , pedido 24
Prisma quadrado cruzado cruzado.png Prisma hexagonal cruzado cruzado.png Prisma hexagonal cruzado cruzado desigual.png Crossed triangular prism.png Crossed cube.png Crossed pentagonal prism.png Crossed pentagrammic prism.png Crossed2 hexagonal prism.png

Prisma toroidal

Um prisma toroidal é um poliedro não convexo como um prisma cruzado , mas sem as faces inferior e superior da base e com faces laterais retangulares simples que fecham o poliedro. Isso só pode ser feito para polígonos de base com lados iguais. Estes são toros topológicos, com característica de Euler igual a zero. A rede poliédrica topológica pode ser cortada de duas fileiras de um ladrilho quadrado (com configuração de vértice 4.4.4.4 ): uma faixa de n quadrados, cada um anexado a um retângulo cruzado . Um prisma toroidal n -gonal tem 2 n vértices, 2 n faces: n quadrados e n retângulos cruzados e 4 n arestas. É topologicamente autodual .

Exemplos
D 4h , pedido 16 D 6h , pedido 24
v = 8, e = 16, f = 8 v = 12, e = 24, f = 12
Toroidal square prism.png Toroidal hexagonal prism.png

Politopo prismático

Um politopo prismático é uma generalização de dimensão superior de um prisma. Um politopo prismático n- dimensional é construído a partir de dois politopos ( n -1 ) -dimensionais, traduzidos para a próxima dimensão.

Os elementos prismáticos n -polítopo são duplicados a partir dos elementos ( n - 1 ) -polítopo e, em seguida, são criados novos elementos a partir do próximo elemento inferior.

Pegue um n- polítopo com elementos f i i- face ( i = 0, ..., n ). Seu prisma ( n + 1 ) -polítopo terá 2 elementos f i + f i −1 i- face. (Com f −1 = 0 , f n = 1. )

Por dimensão:

  • Pegue um polígono com n vértices e n arestas. Seu prisma possui 2 n vértices, 3 n arestas e 2 + n faces.
  • Tome um poliedro com v vértices, e bordas, e f rostos. Seu prisma tem 2 vértices v , 2 arestas e + v , 2 faces f + e e células 2 + f .
  • Pegue um policoro com v vértices, arestas e , faces f e células c . Seu prisma tem 2 vértices v , 2 arestas e + v , 2 faces f + e , 2 células c + f e 2 + c hipercélulas.

Politopo prismático uniforme

Um n- polítopo regular representado pelo símbolo Schläfli { p , q , ...,  t } pode formar um ( n + 1 ) -polítopo prismático uniforme representado por um produto cartesiano de dois símbolos Schläfli : { p , q , ... ,  t } × {}.

Por dimensão:

  • Um prisma politópico 0 é um segmento de linha , representado por um símbolo Schläfli vazio {}.
    • Gráfico completo K2.svg
  • Um prisma 1 politópico é um retângulo , feito de 2 segmentos de linha traduzidos. É representado como o símbolo do produto Schläfli {} × {}. Se for quadrado , a simetria pode ser reduzida: {} × {} = {4}.
    • Square diagonals.svgExemplo: Quadrado, {} × {}, dois segmentos de linha paralelos, conectados por dois lados de segmento de linha .
  • Um prisma poligonal é um prisma tridimensional feito de dois polígonos traduzidos conectados por retângulos. Um polígono regular { p } pode construir um prisma n -gonal uniforme representado pelo produto { p } × {}. Se p = 4 , com simetria de lados quadrados torna-se um cubo : {4} × {} = {4, 3}.
  • Um prisma poliédrico é um prisma quadridimensional feito de dois poliedros transladados conectados por células prismáticas tridimensionais. Um poliedro regular { pq } pode construir o prisma policórico uniforme, representado pelo produto { pq } × {}. Se o poliedro for um cubo e os lados forem cubos, ele se torna um tesserato : {4, 3} × {} = {4, 3, 3}.
  • ...

Os politopos prismáticos de ordem superior também existem como produtos cartesianos de quaisquer dois politopos. A dimensão de um politopo de produto é o produto das dimensões de seus elementos. Os primeiros exemplos deles existem no espaço de 4 dimensões; eles são chamados de duoprismas como o produto de dois polígonos. Duoprismas regulares são representados como { p } × { q }.

Veja também

Referências

  • Anthony Pugh (1976). Poliedros: uma abordagem visual . Califórnia: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 2: poliedros arquimedianos, prisma e antiprismas

links externos