Triângulo isósceles - Isosceles triangle

Triângulo isósceles
Triangle.Isosceles.svg
Triângulo isósceles com eixo vertical de simetria
Modelo triângulo
Arestas e vértices 3
Símbolo Schläfli () ∨ {}
Grupo de simetria Dih 2 , [], (*), pedido 2
Polígono duplo Autoduplicado
Propriedades convexo , cíclico

Em geometria , um triângulo isósceles é um triângulo que tem dois lados de comprimento igual. Às vezes é especificado como tendo exatamente dois lados de igual comprimento, e às vezes como tendo pelo menos dois lados de igual comprimento, a última versão incluindo o triângulo equilátero como um caso especial . Exemplos de triângulos isósceles incluem o triângulo retângulo isósceles , o triângulo dourado e as faces das bipiramidas e de certos sólidos catalães .

O estudo matemático dos triângulos isósceles remonta à antiga matemática egípcia e à matemática babilônica . Os triângulos isósceles têm sido usados ​​como decoração ainda mais cedo e aparecem com frequência na arquitetura e no design, por exemplo, nos frontões e frontões dos edifícios.

Os dois lados iguais são chamados de pernas e o terceiro lado é chamado de base do triângulo. As outras dimensões do triângulo, como altura, área e perímetro, podem ser calculadas por fórmulas simples a partir do comprimento das pernas e da base. Todo triângulo isósceles tem um eixo de simetria ao longo da bissetriz perpendicular de sua base. Os dois ângulos opostos às pernas são iguais e sempre agudos , de modo que a classificação do triângulo como agudo, direito ou obtuso depende apenas do ângulo entre suas duas pernas.

Terminologia, classificação e exemplos

Euclides definiu um triângulo isósceles como um triângulo com exatamente dois lados iguais, mas os tratamentos modernos preferem definir triângulos isósceles como tendo pelo menos dois lados iguais. A diferença entre essas duas definições é que a versão moderna faz dos triângulos equiláteros (com três lados iguais) um caso especial de triângulos isósceles. Um triângulo que não é isósceles (com três lados desiguais) é denominado escaleno . "Isósceles" é feito das raízes gregas "isos" (igual) e "skelos" (perna). A mesma palavra é usada, por exemplo, para trapézios isósceles , trapézios com dois lados iguais e para conjuntos isósceles , conjuntos de pontos a cada três dos quais formam um triângulo isósceles.

Em um triângulo isósceles que tem exatamente dois lados iguais, os lados iguais são chamados de pernas e o terceiro lado é chamado de base . O ângulo incluído pelas pernas é chamado de ângulo do vértice e os ângulos que têm a base como um de seus lados são chamados de ângulos da base . O vértice oposto à base é chamado de vértice . No caso do triângulo equilátero, como todos os lados são iguais, qualquer lado pode ser chamado de base.

Triângulos isósceles especiais
Três quadrados inscritos congruentes no triângulo de Calabi
Um triângulo dourado subdividido em um triângulo dourado menor e um gnômon dourado

Se um triângulo isósceles é agudo, direito ou obtuso, depende apenas do ângulo em seu ápice. Na geometria euclidiana , os ângulos de base não podem ser obtusos (maiores que 90 °) ou direitos (iguais a 90 °) porque suas medidas somariam pelo menos 180 °, o total de todos os ângulos em qualquer triângulo euclidiano. Visto que um triângulo é obtuso ou reto se e somente se um de seus ângulos for obtuso ou reto, respectivamente, um triângulo isósceles é obtuso, direito ou agudo se e somente se seu ângulo de vértice for respectivamente obtuso, direito ou agudo. No livro Flatland de Edwin Abbott , essa classificação de formas foi usada como uma sátira da hierarquia social : triângulos isósceles representavam a classe trabalhadora , com triângulos isósceles agudos mais altos na hierarquia do que triângulos isósceles direitos ou obtusos.

Bem como o triângulo retângulo isósceles , várias outras formas específicas de triângulos isósceles foram estudadas. Isso inclui o triângulo de Calabi (um triângulo com três quadrados inscritos congruentes), o triângulo dourado e o gnômon dourado (dois triângulos isósceles cujos lados e base estão na proporção áurea ), o triângulo 80-80-20 que aparece no quebra-cabeça dos ângulos adventícios de Langley , e o triângulo 30-30-120 da telha triangular triakis . Cinco sólidos catalães , o triakis tetraedro , triakis octaedro , tetrakis hexaedro , pentakis dodecaedro e triakis icosaedro , cada um tem faces de triângulo isósceles, assim como infinitas pirâmides e bipiramidas .

Fórmulas

Altura

Para qualquer triângulo isósceles, os seguintes seis segmentos de linha coincidem:

Seu comprimento comum é a altura do triângulo. Se o triângulo tem lados iguais de comprimento e base de comprimento , as fórmulas gerais do triângulo para os comprimentos desses segmentos se simplificam para

Esta fórmula também pode ser derivada do teorema de Pitágoras, usando o fato de que a altitude divide a base ao meio e divide o triângulo isósceles em dois triângulos retângulos congruentes.

A linha de Euler de qualquer triângulo passa pelo ortocentro do triângulo (a intersecção de suas três altitudes), seu centróide (a intersecção de suas três medianas) e seu circuncentro (a intersecção das bissetoras perpendiculares de seus três lados, que também é o centro da circunferência que passa pelos três vértices). Em um triângulo isósceles com exatamente dois lados iguais, esses três pontos são distintos e (por simetria) todos estão no eixo de simetria do triângulo, de onde segue que a linha de Euler coincide com o eixo de simetria. O incentivo do triângulo também está na linha de Euler, algo que não é verdade para outros triângulos. Se duas de uma bissetriz, mediana ou altitude do ângulo coincidirem em um determinado triângulo, esse triângulo deve ser isósceles.

Área

A área de um triângulo isósceles pode ser derivada da fórmula para sua altura e da fórmula geral para a área de um triângulo como metade do produto da base e da altura:

A mesma fórmula de área também pode ser derivada da fórmula de Heron para a área de um triângulo de seus três lados. No entanto, a aplicação direta da fórmula de Heron pode ser numericamente instável para triângulos isósceles com ângulos muito agudos, por causa do quase cancelamento entre o semiperímetro e o comprimento lateral nesses triângulos.

Se o ângulo do vértice e os comprimentos da perna de um triângulo isósceles são conhecidos, a área desse triângulo é:

Este é um caso especial da fórmula geral para a área de um triângulo como metade do produto de dois lados vezes o seno do ângulo incluído.

Perímetro

O perímetro de um triângulo isósceles com lados iguais e base é apenas

Como em qualquer triângulo, a área e o perímetro estão relacionados pela desigualdade isoperimétrica

Esta é uma desigualdade estrita para triângulos isósceles com lados desiguais à base e torna-se uma igualdade para o triângulo equilátero. A área, perímetro e base também podem ser relacionados entre si pela equação

Se a base e o perímetro são fixos, então esta fórmula determina a área do triângulo isósceles resultante, que é o máximo possível entre todos os triângulos com a mesma base e perímetro. Por outro lado, se a área e o perímetro são fixos, esta fórmula pode ser usada para recuperar o comprimento da base, mas não de forma única: existem em geral dois triângulos isósceles distintos com determinada área e perímetro . Quando a desigualdade isoperimétrica se torna uma igualdade, existe apenas um triângulo, que é equilátero.

Comprimento da bissetriz do ângulo

Se os dois lados iguais têm comprimento e o outro lado tem comprimento , então a bissetriz do ângulo interno de um dos dois vértices de ângulo igual satisfaz

assim como

e, inversamente, se a última condição for válida, um triângulo isósceles parametrizado por e existe.

O teorema de Steiner-Lehmus afirma que todo triângulo com dois ângulos bissetores de comprimentos iguais é isósceles. Foi formulado em 1840 por CL Lehmus . Seu outro homônimo, Jakob Steiner , foi um dos primeiros a fornecer uma solução. Embora originalmente formulado apenas para bissetriz de ângulo interno, ele funciona para muitos (mas não todos) casos quando, em vez disso, duas bissetriz de ângulo externo são iguais. O triângulo 30-30-120 isósceles constitui um caso limite para esta variação do teorema, pois tem quatro bissetores de ângulos iguais (dois internos, dois externos).

Radii

Triângulo isósceles mostrando seu circuncentro (azul), centróide (vermelho), incentivo (verde) e eixo de simetria (roxo)

As fórmulas de inradius e circumradius para um triângulo isósceles podem ser derivadas de suas fórmulas para triângulos arbitrários. O raio do círculo inscrito de um triângulo isósceles com comprimento lateral , base e altura é:

O centro do círculo encontra-se no eixo de simetria do triângulo, esta distância acima da base. Um triângulo isósceles possui o maior círculo inscrito possível entre os triângulos de mesma base e ângulo de vértice, além de possuir a maior área e perímetro entre a mesma classe de triângulos.

O raio do círculo circunscrito é:

O centro do círculo encontra-se no eixo de simetria do triângulo, esta distância abaixo do ápice.

Quadrado inscrito

Para qualquer triângulo isósceles, há um único quadrado com um lado colinear com a base do triângulo e os dois cantos opostos em seus lados. O triângulo de Calabi é um triângulo isósceles especial com a propriedade de que os outros dois quadrados inscritos, com lados colineares com os lados do triângulo, são do mesmo tamanho que o quadrado de base. Um teorema muito mais antigo, preservado nas obras de Herói de Alexandria , afirma que, para um triângulo isósceles com base e altura , o comprimento lateral do quadrado inscrito na base do triângulo é

Subdivisão isósceles de outras formas

Partição de um pentágono cíclico em triângulos isósceles por raios de seu circunferência

Para qualquer número inteiro , qualquer triângulo pode ser particionado em triângulos isósceles. Em um triângulo retângulo , a mediana da hipotenusa (ou seja, o segmento de reta do ponto médio da hipotenusa até o vértice em ângulo reto) divide o triângulo retângulo em dois triângulos isósceles. Isso ocorre porque o ponto médio da hipotenusa é o centro da circunferência do triângulo retângulo, e cada um dos dois triângulos criados pela partição tem dois raios iguais como dois de seus lados. Da mesma forma, um triângulo agudo pode ser dividido em três triângulos isósceles por segmentos de seu circuncentro, mas este método não funciona para triângulos obtusos, porque o circuncentro fica fora do triângulo.

Generalizando a partição de um triângulo agudo, qualquer polígono cíclico que contenha o centro de seu círculo circunscrito pode ser dividido em triângulos isósceles pelos raios desse círculo por meio de seus vértices. O fato de todos os raios de um círculo terem comprimentos iguais implica que todos esses triângulos são isósceles. Essa partição pode ser usada para derivar uma fórmula para a área do polígono em função de seus comprimentos laterais, mesmo para polígonos cíclicos que não contêm seus circuncentros. Esta fórmula generaliza a fórmula de Heron para triângulos e a fórmula de Brahmagupta para quadriláteros cíclicos .

Qualquer diagonal de um losango divide-o em dois triângulos isósceles congruentes . Da mesma forma, uma das duas diagonais de uma pipa divide-a em dois triângulos isósceles, que não são congruentes, exceto quando a pipa é um losango.

Formulários

Em arquitetura e design

Frontão isósceles obtuso do Panteão, Roma
Frontão isósceles agudo sobre o portal de Saint-Etienne, Notre-Dame de Paris

Os triângulos isósceles comumente aparecem na arquitetura como as formas de frontões e frontões . Na arquitetura grega antiga e suas imitações posteriores, o triângulo isósceles obtuso foi usado; na arquitetura gótica, foi substituído pelo triângulo isósceles agudo.

Na arquitetura da Idade Média , outra forma de triângulo isósceles se tornou popular: o triângulo isósceles egípcio. Este é um triângulo isósceles que é agudo, mas menos do que o triângulo equilátero; sua altura é proporcional a 5/8 de sua base. O triângulo isósceles egípcio voltou a ser usado na arquitetura moderna pelo arquiteto holandês Hendrik Petrus Berlage .

Vista detalhada de uma treliça Warren modificada com verticais

Estruturas de treliça Warren , como pontes, são comumente dispostas em triângulos isósceles, embora às vezes vigas verticais também sejam incluídas para resistência adicional. Superfícies tesseladas por triângulos isósceles obtusos podem ser usadas para formar estruturas implantáveis que têm dois estados estáveis: um estado desdobrado em que a superfície se expande para uma coluna cilíndrica e um estado dobrado em que se dobra em um formato de prisma mais compacto que pode ser mais facilmente transportado. O mesmo padrão de mosaico forma a base da flambagem Yoshimura , um padrão formado quando as superfícies cilíndricas são compactadas axialmente, e da lanterna Schwarz , um exemplo usado em matemática para mostrar que a área de uma superfície lisa nem sempre pode ser aproximada com precisão por poliedros convergindo para a superfície.

No design gráfico e nas artes decorativas , os triângulos isósceles têm sido um elemento de design frequente em culturas de todo o mundo, pelo menos desde o Neolítico Inferior aos tempos modernos. Constituem elemento de desenho comum em bandeiras e heráldicas , aparecendo de forma proeminente com base vertical, por exemplo, na bandeira da Guiana , ou com base horizontal na bandeira de Santa Lúcia , onde formam uma imagem estilizada de uma ilha de montanha.

Eles também foram usados ​​em projetos com significado religioso ou místico, por exemplo, no Sri Yantra da prática de meditação hindu .

Em outras áreas da matemática

Se uma equação cúbica com coeficientes reais tem três raízes que não são todos números reais , então, quando essas raízes são plotadas no plano complexo como um diagrama de Argand, elas formam vértices de um triângulo isósceles cujo eixo de simetria coincide com o eixo horizontal (real) . Isso ocorre porque as raízes complexas são conjugados complexos e, portanto, são simétricas em relação ao eixo real.

Na mecânica celeste , o problema dos três corpos foi estudado no caso especial em que os três corpos formam um triângulo isósceles, porque assumir que os corpos estão dispostos desta forma reduz o número de graus de liberdade do sistema sem reduzi-lo ao resolveu o caso do ponto Lagrangiano quando os corpos formam um triângulo equilátero. As primeiras ocorrências do problema de três corpos que mostraram ter oscilações ilimitadas foram no problema de três corpos isósceles.

História e falácias

Muito antes dos triângulos isósceles serem estudados pelos antigos matemáticos gregos , os praticantes da matemática do Egito Antigo e da matemática da Babilônia sabiam como calcular sua área. Problemas desse tipo estão incluídos no Papiro Matemático de Moscou e no Papiro Matemático Rhind .

O teorema de que os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais aparece como Proposição I.5 em Euclides. Este resultado foi denominado pons asinorum (ponte dos burros) ou teorema do triângulo isósceles. Explicações rivais para este nome incluem a teoria de que é porque o diagrama usado por Euclides em sua demonstração do resultado se assemelha a uma ponte, ou porque este é o primeiro resultado difícil em Euclides, e age para separar aqueles que podem entender a geometria de Euclides daqueles quem não pode.

Uma falácia bem conhecida é a prova falsa da afirmação de que todos os triângulos são isósceles . Robin Wilson credita esse argumento a Lewis Carroll , que o publicou em 1899, mas WW Rouse Ball o publicou em 1892 e mais tarde escreveu que Carroll obteve o argumento dele. A falácia está enraizada na falta de reconhecimento de Euclides do conceito de intermediação e a ambigüidade resultante de dentro versus fora das figuras.

Notas

Referências

links externos