Notação gráfica Penrose - Penrose graphical notation

Notação gráfica de Penrose (notação de diagrama tensorial) de um estado de produto de matriz de cinco partículas.

Em matemática e física , a notação gráfica de Penrose ou a notação do diagrama tensorial é uma representação visual (geralmente escrita à mão) de funções multilineares ou tensores proposta por Roger Penrose em 1971. Um diagrama na notação consiste em várias formas ligadas entre si por linhas. A notação foi estudada extensivamente por Predrag Cvitanović , que a usou, os diagramas de Feynman e outras notações relacionadas no desenvolvimento de trilhas de pássaros (uma versão teórica de grupo dos diagramas de Feynman) para classificar os grupos de Lie clássicos . A notação de Penrose também foi generalizada usando a teoria da representação para girar redes em física e com a presença de grupos de matrizes para traçar diagramas em álgebra linear . A notação aparece amplamente na teoria quântica moderna , particularmente em estados de produto de matriz e circuitos quânticos .

Interpretações

Álgebra multilinear

Na linguagem da álgebra multilinear , cada forma representa uma função multilinear . As linhas anexadas às formas representam as entradas ou saídas de uma função, e anexar as formas de alguma forma é essencialmente a composição das funções .

Tensores

Na linguagem da álgebra tensorial , um tensor particular está associado a uma forma particular com muitas linhas projetando-se para cima e para baixo, correspondendo a índices abstratos superiores e inferiores de tensores, respectivamente. Conectar linhas entre duas formas corresponde à contração dos índices . Uma vantagem dessa notação é que não é necessário inventar novas letras para novos índices. Essa notação também é explicitamente independente de base .

Matrizes

Cada forma representa uma matriz, e a multiplicação do tensor é feita horizontalmente e a multiplicação da matriz é feita verticalmente.

Representação de tensores especiais

Tensor métrico

O tensor métrico é representado por um loop em forma de U ou um loop em forma de U de cabeça para baixo, dependendo do tipo de tensor usado.

tensor métrico ${\ displaystyle g ^ {ab}}$

tensor métrico ${\ displaystyle g_ {ab}}$

Tensor de Levi-Civita

O tensor antissimétrico de Levi-Civita é representado por uma barra horizontal espessa com paus apontando para baixo ou para cima, dependendo do tipo de tensor usado.

${\ displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n}}$

${\ displaystyle \ varepsilon ^ {ab \ ldots n}}$

${\ displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n} \, \ varejpsilon ^ {ab \ ldots n}}$${\ displaystyle = n!}$

Constante de estrutura

estrutura constante ${\ displaystyle {\ gamma _ {\ alpha \ beta}} ^ {\ chi} = - {\ gamma _ {\ beta \ alpha}} ^ {\ chi}}$

As constantes de estrutura ( ) de uma álgebra de Lie são representadas por um pequeno triângulo com uma linha apontando para cima e duas linhas apontando para baixo. ${\ displaystyle {\ gamma _ {ab}} ^ {c}}$

Operações de tensor

Contração de índices

A contração dos índices é representada pela junção das linhas do índice.

Kronecker delta ${\ displaystyle \ delta _ {b} ^ {a}}$

Produto interno ${\ displaystyle \ beta _ {a} \, \ xi ^ {a}}$

${\ displaystyle g_ {ab} \, g ^ {bc} = \ delta _ {a} ^ {c} = g ^ {cb} \, g_ {ba}}$

Simetrização

A simetrização dos índices é representada por um zigue-zague espesso ou barra ondulada cruzando as linhas do índice horizontalmente.

Simetrização (com ) ${\ displaystyle Q ^ {(ab \ ldots n)}}$ ${\ displaystyle {} _ {Q ^ {ab} = Q ^ {[ab]} + Q ^ {(ab)}}}$

Anti-simetrização

A anti-simetrização dos índices é representada por uma linha reta espessa cruzando as linhas do índice horizontalmente.

Anti-simetrização (com ) ${\ displaystyle E _ {[ab \ ldots n]}}$ ${\ displaystyle {} _ {E_ {ab} = E _ {[ab]} + E _ {(ab)}}}$

Determinante

O determinante é formado pela aplicação de anti-simetrização aos índices.

Determinante ${\ displaystyle \ det \ mathbf {T} = \ det \ left (T _ {\ b} ^ {a} \ right)}$

Inverso da matriz ${\ displaystyle \ mathbf {T} ^ {- 1} = \ left (T _ {\ b} ^ {a} \ right) ^ {- 1}}$

Derivado covariante

A derivada covariante ( ) é representada por um círculo ao redor do (s) tensor (es) a serem diferenciados e uma linha unida a partir do círculo apontando para baixo para representar o índice inferior da derivada. ${\ displaystyle \ nabla}$

derivada covariante ${\ displaystyle 12 \ nabla _ {a} \ left (\ xi ^ {f} \, \ lambda _ {fb [c} ^ {(d} \, D_ {gh]} ^ {e) b} \ right) }$ ${\ displaystyle = 12 \ left (\ xi ^ {f} (\ nabla _ {a} \ lambda _ {fb [c} ^ {(d}) \, D_ {gh]} ^ {e) b} + ( \ nabla _ {a} \ xi ^ {f}) \ lambda _ {fb [c} ^ {(d} \, D_ {gh]} ^ {e) b} + \ xi ^ {f} \ lambda _ { fb [c} ^ {(d} \, (\ nabla _ {a} D_ {gh]} ^ {e) b}) \ right)}$

Manipulação de tensores

A notação diagramática é útil na manipulação da álgebra tensorial. Geralmente envolve algumas " identidades " simples de manipulações de tensores.

Por exemplo, onde n é o número de dimensões, é uma "identidade" comum. ${\ displaystyle \ varepsilon _ {a ... c} \ varepsilon ^ {a ... c} = n!}$

Tensor de curvatura de Riemann

As identidades de Ricci e Bianchi fornecidas em termos do tensor de curvatura de Riemann ilustram o poder da notação

Notação para o tensor de curvatura de Riemann

Tensor de Ricci ${\ displaystyle R_ {ab} = R_ {acb} ^ {\ \ \ c}}$

Identidade de Ricci ${\ displaystyle (\ nabla _ {a} \, \ nabla _ {b} - \ nabla _ {b} \, \ nabla _ {a}) \, \ mathbf {\ xi} ^ {d}}$${\ displaystyle = R_ {abc} ^ {\ \ \ d} \, \ mathbf {\ xi} ^ {c}}$

Identidade Bianchi ${\ displaystyle \ nabla _ {[a} R_ {bc] d} ^ {\ \ \ e} = 0}$

Extensões

A notação foi estendido com suporte para spinors e twistors .

Veja também

• Notação de índice abstrato
• Diagramas de momento angular (mecânica quântica)
• Categoria monoidal trançada
• A mecânica quântica categórica usa a notação do diagrama tensorial
• O estado do produto Matrix usa a notação gráfica Penrose
• Cálculo de Ricci
• Spin Networks
• Diagrama de rastreamento

Notas