Elementos máximos e mínimos - Maximal and minimal elements

Em matemática , especialmente em teoria fim , um elemento máxima de um subconjunto S de alguns conjunto pre-ordenado é um elemento de S que não é menor do que qualquer outro elemento em S . Um elemento mínima de um subconjunto S de alguns conjunto pre-ordenado é definido duplamente como um elemento de S que não é maior do que qualquer outro elemento em S .

As noções de elementos máximos e mínimos são mais fracas do que as de maior e mínimo elemento, também conhecidas, respectivamente, como máximo e mínimo. O máximo de um subconjunto de um conjunto pré-encomendado é um elemento do qual é maior ou igual a qualquer outro elemento de e o mínimo de é novamente definido duplamente. No caso particular de um conjunto parcialmente ordenado , embora possa haver no máximo um máximo e no máximo um mínimo, pode haver vários elementos máximos ou mínimos. Especializando-se ainda mais em conjuntos totalmente ordenados , as noções de elemento máximo e máximo coincidem, e as noções de elemento mínimo e mínimo coincidem. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle S}$

Por exemplo, na coleção

ordenado por contenção , o elemento { d , o } é mínimo porque não contém conjuntos na coleção, o elemento { g , o , a , d } é máximo porque não há conjuntos na coleção que o contenham, o elemento { d , o , g } não é nenhum, e o elemento { o , a , f } é mínimo e máximo. Por outro lado, nem um máximo nem um mínimo existe para${\ displaystyle S.}$

O lema de Zorn afirma que cada conjunto parcialmente ordenado para o qual cada subconjunto totalmente ordenado tem um limite superior contém pelo menos um elemento máximo. Este lema é equivalente ao teorema de boa ordenação eo axioma da escolha e implica grandes resultados em outras áreas matemáticas como o teorema de Hahn-Banach , o teorema Kirszbraun , teorema de Tychonoff , a existência de uma base de Hamel para cada espaço vetorial, eo existência de um fechamento algébrico para todos os campos .

Definição

Let Ser um conjunto pré - ordenado e deixar Um elemento maximal de em relação a é um elemento tal que ${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle S \ subseteq P.}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle m \ in S}$

se satisfaz então necessariamente${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle m \ leq s,}$${\ displaystyle s \ leq m.}$

Da mesma forma, um elemento mínimo deem relação a${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$é um elementotal que ${\ displaystyle m \ in S}$

se satisfaz então necessariamente${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle s \ leq m,}$${\ displaystyle m \ leq s.}$

Equivalentemente, é um elemento mínimo de com respeito a se e somente se é um elemento máximo de com respeito a onde por definição, se e somente se (para todos ). ${\ displaystyle m \ in S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \, \ geq, \,}$${\ displaystyle q \ geq p}$${\ displaystyle p \ leq q}$${\ displaystyle p, q \ in P}$

Se o subconjunto não for especificado, deve-se presumir que Explicitamente, um${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S: = P.}$elemento máximo (respectivamente,elemento mínimo)de${\ displaystyle (P, \ leq)}$é um elemento máximo (resp. mínimo) deem relação a${\ displaystyle S: = P}$${\ displaystyle \, \ leq.}$

Se o conjunto pré- ordenado também for um conjunto parcialmente ordenado (ou mais geralmente, se a restrição for um conjunto parcialmente ordenado), então é um elemento máximo de se e somente se não contém nenhum elemento estritamente maior do que explicitamente, isso significa que não há existe qualquer elemento tal que e A caracterização para elementos mínimos é obtida usando no lugar de${\ displaystyle (P, \ leq)}$${\ displaystyle (S, \ leq)}$${\ displaystyle m \ in S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle m;}$${\ displaystyle s \ in S}$${\ displaystyle m \ leq s}$${\ displaystyle m \ neq s.}$${\ displaystyle \, \ geq \,}$${\ displaystyle \, \ leq.}$

Existência e singularidade

Elementos máximos não precisam existir.

Exemplo 1: Deixe onde denota os números reais . Para todos, mas (isto é, mas não ).${\ displaystyle S = [1, \ infty) \ subseteq \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle m \ in S,}$ ${\ displaystyle s = m + 1 \ in S}$${\ displaystyle m <s}$${\ displaystyle m \ leq s}$${\ displaystyle m = s}$

Exemplo 2: Deixe onde denota os números racionais e onde é irracional.${\ displaystyle S = \ {s \ in \ mathbb {Q} ~: ~ 1 \ leq s ^ {2} \ leq 2 \},}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Em geral, é apenas uma ordem parcial em If é um elemento máximo e então permanece possível que nem nem Isso deixa em aberto a possibilidade de que existam mais de um elemento máximo. ${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle s \ in S,}$${\ displaystyle s \ leq m}$${\ displaystyle m \ leq s.}$

Exemplo 3: Na cerca, todos os são mínimos e todos são máximos, como mostrado na imagem.${\ displaystyle a_ {1} <b_ {1}> a_ {2} <b_ {2}> a_ {3} <b_ {3}> \ ldots,}$${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b_ {i}}$

Exemplo 4: Seja A um conjunto com pelo menos dois elementos e seja o subconjunto do conjunto de potência consistindo em subconjuntos singleton , parcialmente ordenados por Este é o poset discreto onde não há dois elementos comparáveis ​​e, portanto, cada elemento é máximo (e mínimo ); além disso, para qualquer distinto nem, nem${\ displaystyle S = \ {\ {a \} ~: ~ a \ in A \}}$ ${\ displaystyle \ wp (A)}$${\ displaystyle \, \ subseteq.}$${\ displaystyle \ {a \} \ in S}$${\ displaystyle a, b \ in A,}$${\ displaystyle \ {a \} \ subseteq \ {b \}}$${\ displaystyle \ {b \} \ subseteq \ {a \}.}$

Grandes elementos

Para um conjunto parcialmente ordenado, o kernel irreflexivo de é denotado como e é definido por if e Para membros arbitrários , aplica-se exatamente um dos seguintes casos: ${\ displaystyle (P, \ leq),}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle \, <\,}$${\ displaystyle x <y}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle x \ neq y.}$${\ displaystyle x, y \ in P,}$

1. ${\ displaystyle x <y}$;
2. ${\ displaystyle x = y}$;
3. ${\ displaystyle y <x}$;
4. ${\ displaystyle x}$e são incomparáveis.${\ displaystyle y}$

Dado um subconjunto e alguns${\ displaystyle S \ subseteq P}$${\ displaystyle x \ in S,}$

• se o caso 1 nunca se aplica a nenhum, então é um elemento máximo de como definido acima;${\ displaystyle y \ in S,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S,}$
• se os casos 1 e 4 nunca se aplicam a qualquer um, então é chamado de o maior elemento de${\ displaystyle y \ in S,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S.}$

Assim, a definição de um elemento maior é mais forte do que a de um elemento máximo.

Equivalentemente, um maior elemento de um subconjunto pode ser definido como um elemento maior do que qualquer outro elemento de um subconjunto pode ter no máximo um elemento maior. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S.}$

O maior elemento de se existe, é também um elemento máximo e único. Por contraposição , se tem vários elementos máximos, não pode ter um elemento maior; veja o exemplo 3. Se satisfaz a condição de cadeia ascendente , um subconjunto de possui um elemento máximo se, e somente se , possui um elemento máximo. ${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P}$

Quando a restrição de a é uma ordem total ( na imagem superior está um exemplo), então as noções de elemento máximo e maior elemento coincidem. Esta não é uma condição necessária: sempre que tem um elemento maior, as noções coincidem, também, como afirmado acima. Se as noções de elemento máximo e maior elemento coincidem em cada subconjunto de dois elementos de, então é uma ordem total em${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S = \ {1,2,4 \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle P.}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$${\ displaystyle P.}$

Conjuntos direcionados

Em um conjunto totalmente ordenado , os termos elemento máximo e maior elemento coincidem, razão pela qual ambos os termos são usados ​​indistintamente em campos como análise, onde apenas as ordens totais são consideradas. Essa observação se aplica não apenas a subconjuntos totalmente ordenados de qualquer conjunto parcialmente ordenado, mas também à sua generalização teórica de ordem por meio de conjuntos direcionados . Em um conjunto direcionado, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparáveis) tem um limite superior comum dentro do conjunto. Se um conjunto direcionado tem um elemento máximo, ele também é seu maior elemento e, portanto, seu único elemento máximo. Para um conjunto direcionado sem elementos máximos ou maiores, consulte os exemplos 1 e 2 acima .

Conclusões semelhantes são verdadeiras para elementos mínimos.

Mais informações introdutórias podem ser encontradas no artigo sobre a teoria da ordem .

Propriedades

• Cada subconjunto finito não vazio tem elementos máximos e mínimos. Um subconjunto infinito não precisa ter nenhum deles, por exemplo, os inteiros com a ordem usual.${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$
• O conjunto de elementos máximos de um subconjunto é sempre uma anticadeia , ou seja, não há dois elementos máximos diferentes de são comparáveis. O mesmo se aplica a elementos mínimos.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Exemplos

• Na eficiência de Pareto , um ótimo de Pareto é um elemento máximo em relação à ordem parcial de melhoria de Pareto, e o conjunto de elementos máximos é denominado fronteira de Pareto.
• Na teoria da decisão , uma regra de decisão admissível é um elemento máximo com respeito à ordem parcial da regra de decisão dominante .
• Em teoria moderna de portfólio , o conjunto de elementos máximas no que diz respeito ao pedido do produto em risco e retorno é chamado a fronteira eficiente .
• Na teoria dos conjuntos , um conjunto é finito se e somente se toda família não vazia de subconjuntos tiver um elemento mínimo quando ordenado pela relação de inclusão .
• Na álgebra abstrata , o conceito de um divisor comum máximo é necessário para generalizar os divisores comuns máximos para sistemas numéricos em que os divisores comuns de um conjunto de elementos podem ter mais de um elemento máximo.
• Em geometria computacional , os máximos de um conjunto de pontos são máximos em relação à ordem parcial de dominação coordenada.

Teoria do consumidor

Em economia, pode-se relaxar o axioma da antissimetria, usando pré-ordens (geralmente pré-ordens totais ) em vez de ordens parciais; a noção análoga ao elemento máximo é muito semelhante, mas uma terminologia diferente é usada, conforme detalhado abaixo.

Na teoria do consumidor, o espaço de consumo é algum conjunto , geralmente o ponto positivo de algum espaço vetorial, de modo que cada um represente uma quantidade de consumo especificada para cada mercadoria existente na economia. As preferências de um consumidor são geralmente representadas por uma pré - encomenda total de modo que e lê: é no máximo tão preferencial quanto . Quando e é interpretado que o consumidor é indiferente entre e, mas não há razão para concluir que as relações de preferência nunca são consideradas antissimétricas. Neste contexto, para qualquer um elemento é dito ser um elemento máximo se ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ displaystyle x \ preceq y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x \ preceq y}$${\ displaystyle y \ preceq x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x = y.}$${\ displaystyle B \ subseteq X,}$${\ displaystyle x \ in B}$

implica onde é interpretado como um pacote de consumo que não é dominado por qualquer outro pacote no sentido de que é e não${\ displaystyle y \ preceq x}$${\ displaystyle x \ prec y,}$${\ displaystyle x \ preceq y}$${\ displaystyle y \ preceq x.}$

Deve-se observar que a definição formal se parece muito com a de um elemento maior para um conjunto ordenado. No entanto, quando é apenas uma pré-encomenda, um elemento com a propriedade acima se comporta de maneira muito semelhante a um elemento máximo em uma ordem. Por exemplo, um elemento maximal não é único para não exclui a possibilidade de que (enquanto e não implicam, mas simplesmente indiferença ). A noção de maior elemento para uma pré-encomenda de preferência seria a de escolha mais preferida . Ou seja, alguns com ${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x \ in B}$${\ displaystyle y \ preceq x}$${\ displaystyle x \ preceq y}$${\ displaystyle y \ preceq x}$${\ displaystyle x \ preceq y}$${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle x \ sim y}$${\ displaystyle x \ in B}$

implica ${\ displaystyle y \ prec x.}$

Uma aplicação óbvia é a definição de correspondência sob demanda. Let Ser a classe de funcionais on . Um elemento é chamado de funcional de preço ou sistema de preços e mapeia cada pacote de consumo em seu valor de mercado . A correspondência de orçamento é uma correspondência que mapeia qualquer sistema de preços e qualquer nível de receita em um subconjunto ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle p \ in P}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle p (x) \ in \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle \ Gamma \ dois pontos P \ times \ mathbb {R} _ {+} \ rightarrow X}$

A correspondência de demanda mapeia qualquer preço e qualquer nível de renda no conjunto de elementos -máximos de . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ preceq}$${\ displaystyle \ Gamma (p, m)}$

É chamado de correspondência de demanda porque a teoria prevê que, para e dada, a escolha racional de um consumidor será algum elemento${\ displaystyle p}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle x ^ {*}}$${\ displaystyle x ^ {*} \ in D (p, m).}$

Noções relacionadas

Um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado é considerado cofinal se para cada existe algum tal que Cada subconjunto cofinal de um conjunto parcialmente ordenado com elementos máximos deve conter todos os elementos máximos. ${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x \ in P}$${\ displaystyle y \ in Q}$${\ displaystyle x \ leq y.}$

Um subconjunto de um conjunto parcialmente ordenado é considerado um conjunto inferior de se for fechado para baixo: se e então Cada conjunto inferior de um conjunto ordenado finito é igual ao menor conjunto inferior contendo todos os elementos máximos de${\ displaystyle L}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle y \ in L}$${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle x \ in L.}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle L.}$

Veja também

• Maior elemento e menor elemento  - Elemento ≥ (ou ≤) um ao outro elemento
• Infimum e supremum  - Maior limite inferior e menor limite superior
• Limites superior e inferior  - Maior e menor em matemática

Notas

Provas

Referências