Luna de Hipócrates - Lune of Hippocrates
Em geometria , a luna de Hipócrates , em homenagem a Hipócrates de Quios , é uma luna delimitada por arcos de dois círculos, o menor dos quais tem como diâmetro um acorde medindo um ângulo reto no círculo maior. Equivalentemente, é uma região plana não convexa limitada por um arco circular de 180 graus e um arco circular de 90 graus. Foi a primeira figura curva a ter sua área exata calculada matematicamente.
História
Hipócrates queria resolver o problema clássico de quadratura do círculo , ou seja, construir um quadrado por meio de régua e compasso , tendo a mesma área de um determinado círculo . Ele provou que a luna delimitada pelos arcos marcados como E e F na figura tem a mesma área do triângulo ABO . Isso proporcionou alguma esperança de resolver o problema da quadratura do círculo, uma vez que a lua é limitada apenas por arcos de círculos. Heath conclui que, ao provar seu resultado, Hipócrates também foi o primeiro a provar que a área de um círculo é proporcional ao quadrado de seu diâmetro.
Hipócrates livro sobre geometria em que este parece resultado, Elements , foi perdido, mas pode ter formado o modelo de Euclides 's Elements . A prova de Hipócrates foi preservada através da História da Geometria compilada por Eudemo de Rodes , que também não sobreviveu, mas que foi extraída por Simplício da Cilícia em seu comentário sobre a Física de Aristóteles .
Só em 1882, com a prova de Ferdinand von Lindemann da transcendência de π , a quadratura do círculo se revelou impossível.
Prova
O resultado de Hipócrates pode ser provado da seguinte forma: O centro do círculo no qual o arco AEB se encontra é o ponto D , que é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo isósceles ABO . Portanto, o diâmetro AC do círculo maior ABC é √ 2 vezes o diâmetro do círculo menor no qual se encontra o arco AEB . Consequentemente, o círculo menor tem metade da área do círculo maior e, portanto, o quarto de círculo AFBOA é igual em área ao semicírculo AEBDA. Subtraindo a área em forma de crescente AFBDA do quarto de círculo dá o triângulo ABO e subtraindo a mesma crescente do semicírculo dá a lua. Uma vez que o triângulo e a lua são ambos formados subtraindo áreas iguais de áreas iguais, eles próprios são iguais em área.
Generalizações
Usando uma prova semelhante à anterior, o matemático árabe Hasan Ibn al-Haytham (nome latinizado Alhazen , c. 965 - c. 1040) mostrou que duas lunas, formadas nos dois lados de um triângulo retângulo , cujos limites externos são semicírculos e cujos limites internos são formados pela circunferência do triângulo, então as áreas dessas duas linhas somadas são iguais à área do triângulo. As lunas formadas desta forma a partir de um triângulo retângulo são conhecidas como as lunas de Alhazen . A quadratura da lua de Hipócrates é o caso especial desse resultado para um triângulo retângulo isósceles .
Em meados do século 20, dois matemáticos russos, Nikolai Chebotaryov e seu aluno Anatoly Dorodnov, classificaram completamente as lunas que são construídas por compasso e régua e que têm área igual a um dado quadrado. Todas essas linhas podem ser especificadas pelos dois ângulos formados pelos arcos interno e externo em seus respectivos círculos; nesta notação, por exemplo, a lua de Hipócrates teria os ângulos interno e externo (90 °, 180 °). Hipócrates encontrou duas outras lunas côncavas quadráveis, com ângulos de aproximadamente (107,2 °, 160,9 °) e (68,5 °, 205,6 °). Mais duas lunas côncavas quadráveis, com ângulos de aproximadamente (46,9 °, 234,4 °) e (100,8 °, 168,0 °) foram encontradas em 1766 por Martin Johan Wallenius e novamente em 1840 por Thomas Clausen . Como Chebotaryov e Dorodnov mostraram, esses cinco pares de ângulos fornecem as únicas lunas quadráveis construtíveis; em particular, não há lunas convexas quadráveis construtíveis.