Espaço Hardy - Hardy space

Em análises complexas , os espaços de Hardy (ou classes de Hardy ) H ^p são certos espaços de funções holomórficas no disco unitário ou na metade superior do plano . Eles foram introduzidos por Frigyes Riesz ( Riesz 1923 ), que os nomeou após GH Hardy , por causa do papel ( Hardy 1915 ). Na análise real, os espaços de Hardy são determinados espaços de distribuições na linha real, que são (no sentido de distribuições) valores de fronteira das funções holomórficas dos espaços de Hardy complexos , e estão relacionados aos espaços L ^p de análise funcional . Para 1 ≤  p  ≤ ∞ esses espaços reais de Hardy H ^p são certos subconjuntos de L ^p , enquanto para p <1 os espaços L ^p têm algumas propriedades indesejáveis, e os espaços de Hardy se comportam muito melhor.

Existem também generalizações de dimensões superiores, consistindo em certas funções holomórficas em domínios de tubo no caso complexo, ou certos espaços de distribuições em R ⁿ no caso real.

Os espaços de Hardy têm várias aplicações na própria análise matemática , bem como na teoria de controle (como os métodos H ^∞ ) e na teoria de espalhamento .

Espaços resistentes para o disco da unidade

Para espaços de funções holomórficas no disco unitário aberto , o espaço de Hardy H ² consiste nas funções f cujo valor médio quadrático no círculo de raio r permanece limitado como r → 1 a partir de baixo.

Mais geralmente, o espaço de Hardy H ^p para 0 < p <∞ é a classe de funções holomórficas f no disco da unidade aberta satisfazendo

${\ displaystyle \ sup _ {0 \ leqslant r <1} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {p} \; \ mathrm {d} \ theta \ right) ^ {\ frac {1} {p}} <\ infty.}$

Esta classe H ^p é um espaço vetorial. O número do lado esquerdo da inequação acima é a norma p do espaço de Hardy para f , denotada por É uma norma quando p ≥ 1, mas não quando 0 < p  <1. ${\ displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}$

O espaço H ^∞ é definido como o espaço vetorial de funções holomórficas limitadas no disco, com a norma

${\ displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {| z | <1} \ left | f (z) \ right |.}$

Para 0 <p ≤ q ≤ ∞, a classe H ^q é um subconjunto de H ^p , e a norma H ^p está aumentando com p (é uma consequência da desigualdade de Hölder que a norma L ^p está aumentando para medidas de probabilidade , ou seja, medidas com massa total 1).

Espaços resistentes no círculo unitário

Os espaços de Hardy definidos na seção anterior também podem ser vistos como certos subespaços vetoriais fechados dos espaços L ^p complexos no círculo unitário. Esta conexão é fornecida pelo seguinte teorema ( Katznelson 1976 , Thm 3.8): Dado f ∈ H ^p , com p ≥ 0, o limite radial

${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ left (e ^ {i \ theta} \ right) = \ lim _ {r \ a 1} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right)}$

existe para quase todo θ. A função pertence ao espaço L ^p para o círculo unitário, e um tem que ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle \ | {\ tilde {f}} \ | _ {L ^ {p}} = \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}$

Denotando o círculo unitário por T , e por H ^p ( T ) o subespaço vetorial de L ^p ( T ) consistindo em todas as funções limite , quando f varia em H ^p , então temos que para p  ≥ 1, ( Katznelson 1976 ) ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle g \ in H ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ right) {\ text {se e somente se}} g \ in L ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ right ) {\ text {and}} {\ hat {g}} (n) = 0 {\ text {para todos}} n <0,}$

onde o ĝ ( n ) são os coeficientes de Fourier de uma função g integrável no círculo unitário,

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbf {Z}, \ \ \ {\ hat {g}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} g \ left (e ^ {i \ phi} \ right) e ^ {- em \ phi} \, \ mathrm {d} \ phi.}$

O espaço H ^p ( T ) é um subespaço fechado de L ^p ( T ). Como L ^p ( T ) é um espaço de Banach (para 1 ≤ p ≤ ∞), H ^p ( T ) também é.

O acima pode ser revertido. Dada uma função ∈ L ^p ( T ), com p ≥ 1, pode-se recuperar uma função ( harmônica ) f no disco unitário por meio do kernel de Poisson P _r : ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} P_ {r} (\ theta - \ phi) {\ tilde {f}} \ left (e ^ {i \ phi} \ right) \, \ mathrm {d} \ phi, \ quad r <1,}$

e f pertence H ^p exactamente quando é em H ^p ( t ). Supondo que esteja em H ^p ( T ), ou seja , que tenha coeficientes de Fourier ( a _n ) _{n ∈ Z} com a _n = 0 para cada n <0, então o elemento f do espaço de Hardy associado a H ^p é a função holomórfica ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}, \ \ \ | z | <1.}$

Em aplicações, essas funções com coeficientes de Fourier negativos de desaparecimento são comumente interpretadas como as soluções causais . Assim, o espaço H ² é visto naturalmente dentro do espaço L ² , e é representado por infinitas sequências indexadas por N ; Considerando que L ² consiste de sequências bi-infinito indexados por Z .

Conexão com espaços reais de Hardy no círculo

Quando 1 ≤ p <∞, os espaços reais de Hardy H ^p discutidos mais adiante neste artigo são fáceis de descrever no presente contexto. Uma função real f no círculo unitário pertence ao espaço real de Hardy H ^p ( T ) se for a parte real de uma função em H ^p ( T ), e uma função complexa f pertence ao espaço real de Hardy sse Re ( f ) e Im ( f ) pertencem ao espaço (veja a seção sobre espaços reais de Hardy abaixo). Assim, para 1 ≤ p <∞, o espaço real de Hardy contém o espaço de Hardy, mas é muito maior, uma vez que nenhuma relação é imposta entre a parte real e imaginária da função.

Para 0 < p <1, ferramentas como coeficientes de Fourier, integral de Poisson e função conjugada não são mais válidas. Por exemplo, considere a função

${\ displaystyle F (z) = {\ frac {1 + z} {1-z}}, \ quad | z | <1.}$

Então F está em H ^p para cada 0 < p <1, e o limite radial

${\ displaystyle f (e ^ {i \ theta}): = \ lim _ {r \ to 1} F (re ^ {i \ theta}) = i \, \ cot ({\ tfrac {\ theta} {2 }}).}$

existe para ae θ e está em H ^p ( T ), mas Re ( f ) é 0 em quase todos os lugares, então não é mais possível recuperar F de Re ( f ). Como consequência deste exemplo, vê-se que para 0 < p <1, não se pode caracterizar o real- H ^p ( T ) (definido abaixo) da maneira simples dada acima, mas deve usar a definição real usando funções máximas, que é fornecido em algum lugar abaixo.

Para a mesma função F , seja f _r (e ^iθ ) = F ( re ^iθ ). O limite quando r → 1 de Re ( f _r ), no sentido de distribuições no círculo, é um múltiplo diferente de zero da distribuição de Dirac em z = 1. A distribuição de Dirac em um ponto do círculo unitário pertence ao real - H ^p ( T ) para cada p  <1 (veja abaixo).

Fatoração em funções internas e externas (Beurling)

Para 0 <  p  ≤ ∞, cada diferente de zero função f em H ^P pode ser escrita como o produto f = Gh onde L é uma função externa e h é uma função interna , tal como definido abaixo ( Rudin 1987 , Thm 17,17). Esta " fatoração Beurling " permite que o espaço Hardy seja completamente caracterizado pelos espaços de funções internas e externas.

Diz-se que G ( z ) é uma função externa (exterior) se assumir a forma

${\ displaystyle G (z) = c \, \ exp \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {e ^ {i \ theta} + z} {e ^ {i \ theta} -z}} \ log \! \ left (\ varphi \! \ left (e ^ {i \ theta} \ right) \ right) \, \ mathrm {d } \ theta \ right)}$

para algum número complexo c com | c | = 1, e alguma função mensurável positiva no círculo unitário de forma que seja integrável no círculo. Em particular, quando é integrável no círculo, G está em H ¹ porque o acima assume a forma do kernel de Poisson ( Rudin 1987 , Thm 17,16). Isso implica que ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ log (\ varphi)}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left | G \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | = \ varphi \ left (e ^ {i \ theta} \ direito)}$

para quase todo θ.

Diz-se que h é uma função interna (interior) se e somente se | h | ≤ 1 no disco da unidade e o limite

${\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} h (re ^ {i \ theta})}$

existe para quase todo θ e seu módulo é igual a 1 ae. Em particular, h está em H ^∞ . A função interna pode ainda ser fatorada em uma forma envolvendo um produto Blaschke .

A função f , decomposto como f = Gh , é em H ^p se e somente se φ pertence a G ^p ( t ), onde φ é a função positiva na representação da função exterior G .

Seja G uma função externa representada como acima a partir de uma função φ no círculo. Substituindo φ por φ ^α , α> 0, uma família ( G _α ) de funções externas é obtida, com as propriedades:

G ₁  = G , G _{α + β} = G _α  G _β   e | G _α | = | G | ^α quase em todo o círculo.

Segue-se que sempre que 0 < p , q , r <∞ e 1 / r = 1 / p + 1 / q , cada função f em H ^r pode ser expressa como o produto de uma função em H ^p e uma função em H ^q . Por exemplo: cada função em H ¹ é o produto de duas funções em H ² ; cada função em H ^p , p <1, pode ser expressa como produto de várias funções em algum H ^q , q  > 1.

Técnicas de variável real no círculo unitário

Técnicas de variáveis ​​reais, principalmente associadas ao estudo de espaços reais de Hardy definidos em R ⁿ (ver abaixo), também são utilizadas na estrutura mais simples do círculo. É uma prática comum permitir funções (ou distribuições) complexas nesses espaços "reais". A definição a seguir não faz distinção entre caso real ou complexo.

Vamos P _r designam o kernel de Poisson na unidade círculo T . Para uma distribuição f no círculo unitário, defina

${\ displaystyle (Mf) (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 <r <1} \ left | (f * P_ {r}) \ left (e ^ {i \ theta} \ right) \ certo |,}$

onde a estrela indica convolução entre a distribuição f e a função e ^iθ → P _r (θ) no círculo. A saber, ( f ∗ P _r ) (e ^iθ ) é o resultado da ação de f na função C ^∞ definida no círculo unitário por

${\ displaystyle e ^ {i \ varphi} \ rightarrow P_ {r} (\ theta - \ varphi).}$

Para 0 < p  <∞, o espaço de Hardy real H ^p ( T ) consiste em distribuições f tais que M f   está em L ^p ( T ).

A função F definida no disco unidade por F ( re ^iθ ) = ( F * P _r ) (e ^iθ ) é harmónico, e M f   representa a função máxima radial de F . Quando M f   pertence a G ^p ( t ) e p  ≥ 1, a distribuição f   " é " uma função em G ^p ( t ), isto é, o valor de limite de F . Para p  ≥ 1, o espaço de Hardy real H ^p ( T ) é um subconjunto de L ^p ( T ).

Função Conjugada

Para cada polinômio trigonométrico real u no círculo unitário, associa-se o polinômio conjugado real v tal que u + i v se estende a uma função holomórfica no disco unitário,

${\ displaystyle u (e ^ {i \ theta}) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {k \ geqslant 1} a_ {k} \ cos (k \ theta) + b_ {k} \ sin (k \ theta) \ longrightarrow v (e ^ {i \ theta}) = \ sum _ {k \ geqslant 1} a_ {k} \ sin (k \ theta) -b_ {k} \ cos (k \ theta).}$

Este mapeamento u → v se estende a um operador linear limitado H em L ^p ( T ), quando 1 < p  <∞ (até um múltiplo escalar, é a transformada de Hilbert no círculo unitário), e H também mapeia L ¹ ( T ) a fraco- L ¹ ( T ) . Quando 1 ≤ p  <∞, os seguintes são equivalentes para uma função integrável de valor real f no círculo unitário:

• a função f é a parte real de alguma função g ∈ H ^p ( T )
• a função f e seu conjugado H (f) pertencem a L ^p ( T )
• a função máxima radial M f   pertence a L ^p ( T ).

Quando 1 < p <∞, H (f) pertence a L ^p ( T ) quando f ∈ L ^p ( T ), portanto, o espaço real de Hardy H ^p ( T ) coincide com L ^p ( T ) neste caso. Para p = 1, o espaço real de Hardy H ¹ ( T ) é um subespaço próprio de L ¹ ( T ).

O caso de p = ∞ foi excluído da definição de espaços reais de Hardy, porque a função máxima M f   de uma função L ^∞ é sempre limitada, e porque não é desejável que real- H ^∞ seja igual a L ^∞ . No entanto, as duas propriedades a seguir são equivalentes para uma função de valor real f

• a função f   é a parte real de alguma função g ∈ H ^∞ ( T )
• a função f   e seu conjugado H (f) pertencem a L ^∞ ( T ).

Espaços reais de Hardy para 0 < p <1

Quando 0 < p <1, uma função F em H ^p não pode ser reconstruída a partir da parte real de sua função limite de contorno no círculo, devido à falta de convexidade de L ^p neste caso. A convexidade falha, mas permanece uma espécie de " convexidade complexa ", ou seja, o fato de que z → | z | ^q é subarmônico para todo q > 0. Como consequência, se

${\ displaystyle F (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} z ^ {n}, \ quad | z | <1}$

está em H ^p , pode-se mostrar que c _n = O ( n ^{1 / p –1} ). Conclui-se que a série de Fourier

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {em \ theta}}$

converge no sentido de distribuições para uma distribuição f no círculo unitário, e F ( re ^iθ ) = ( f  ∗  P _r ) (θ). A função F ∈ H ^p pode ser reconstruída a partir da distribuição real Re ( f ) no círculo, porque os coeficientes de Taylor c _n de F podem ser calculados a partir dos coeficientes de Fourier de Re ( f ).

Distribuições no círculo são gerais o suficiente para lidar com espaços de Hardy quando p  <1. Distribuições que não são funções ocorrem, como é visto com as funções F ( z ) = (1− z ) ^{- N} (para | z | <1), que pertencem a H ^p quando 0 < N  p  <1 (e N um inteiro ≥ 1).

Uma distribuição real no círculo pertence a real- H ^p ( T ) sse for o valor limite da parte real de algum F ∈ H ^p . Uma distribuição de Dirac δ _x , em qualquer ponto x do círculo unitário, pertence a real- H ^p ( T ) para todo p <1; as derivadas δ ′ _x pertencem quando p <1/2, as derivadas secundárias δ ​​′ ′ _x quando p <1/3, e assim por diante.

Espaços resistentes para a metade superior do plano

É possível definir espaços de Hardy em outros domínios que não o disco e, em muitas aplicações, são usados ​​espaços de Hardy em um meio plano complexo (geralmente o semiplano direito ou o semiplano superior).

O espaço de Hardy H ^p ( H ) no semiplano superior H é definido como o espaço das funções holomórficas f em H com norma limitada, a norma sendo dada por

${\ displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}} = \ sup _ {y> 0} \ left (\ int | f (x + iy) | ^ {p} \, \ mathrm {d} x \ direita) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

O H ^∞ ( H ) correspondente é definido como funções de norma limitada, com a norma dada por

${\ displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {z \ in \ mathbf {H}} | f (z) |.}$

Embora o disco unitário D e o semiplano superior H possam ser mapeados um ao outro por meio das transformações de Möbius , eles não são intercambiáveis ​​como domínios para espaços de Hardy. Contribuindo para essa diferença está o fato de que o círculo unitário tem medida de Lebesgue finita (unidimensional) , enquanto a reta real não. No entanto, para H ² , tem-se o seguinte teorema: se m  : D → H denota a transformação de Möbius

${\ displaystyle m (z) = i \ cdot {\ frac {1 + z} {1-z}}.}$

Então, o operador linear M  : H ² ( H ) → H ² ( D ) definido por

${\ displaystyle (Mf) (z): = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {1-z}} f (m (z)).}$

é um isomorfismo isométrico de espaços de Hilbert.

Espaços reais de Hardy para R ⁿ

Na análise do espaço vetorial real R ⁿ , o espaço de Hardy H ^p (para 0 <  p  ≤ ∞) consiste em distribuições temperadas f tal que para alguma função de Schwartz Φ com ∫Φ = 1, a função máxima

${\ displaystyle (M _ {\ Phi} f) (x) = \ sup _ {t> 0} | (f * \ Phi _ {t}) (x) |}$

está em L ^p ( R ⁿ ), onde ∗ é a convolução e Φ _t ( x ) = t ^{- n} Φ ( x  /  t ) . O H ^p - quasinorm || f  || _Hp de uma distribuição f de H ^p é definida como a norma L ^p de M _Φ f (isso depende da escolha de Φ, mas diferentes escolhas das funções de Schwartz Φ fornecem normas equivalentes). A H ^p -quasinorm é uma norma quando p ≥ 1, mas não quando p  <1.

Se 1 < p  <∞, o espaço de Hardy H ^p é o mesmo espaço vetorial que L ^p , com norma equivalente. Quando p  = 1, o espaço de Hardy H ¹ é um subespaço próprio de L ¹ . Pode-se encontrar sequências em H ¹ que são limitadas em L ^1, mas ilimitadas em H ¹ , por exemplo na linha

${\ displaystyle f_ {k} (x) = \ mathbf {1} _ {[0,1]} (xk) - \ mathbf {1} _ {[0,1]} (x + k), \ \ \ k> 0.}$

As normas L ¹ e H ¹ não são equivalentes em H ¹ , e H ¹ não é fechada em L ¹ . O dual de H ¹ é o BMO espacial das funções de oscilação média limitada . O espaço BMO contém funções ilimitadas (provando novamente que H ¹ não é fechado em L ¹ ).

Se p  <1 então o espaço de Hardy H ^p possui elementos que não são funções, e seu dual é o espaço de Lipschitz homogêneo de ordem n (1 / p  - 1). Quando p <1, a H ^p -quassinorm não é uma norma, pois não é subaditiva. O p ésimo poder || f  || _Hp ^p é subaditivo para p  <1 e, portanto, define uma métrica no espaço de Hardy H ^p , que define a topologia e torna H ^p um espaço métrico completo.

Decomposição atômica

Quando 0 < p ≤ 1, uma função mensurável limitada f de suporte compacto está no espaço de Hardy H ^p se e somente se todos os seus momentos

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (x) x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}} \, \ mathrm { d} x,}$

cuja ordem i ₁ + ... + i _n é no máximo n (1 / p  - 1), desaparece. Por exemplo, a integral de f deve desaparecer para que f ∈ H ^p , 0 < p ≤ 1 e, desde que p  > n  / ( n +1), isso também seja suficiente.

Se, além disso, f tem suporte em alguma bola B e é limitado por | B | ^{−1 / p} então f é chamado de H ^p- átomo (aqui | B | denota o volume euclidiano de B em R ⁿ ). A H ^p -quasinorm de um H ^p -átomo arbitrário é limitada por uma constante que depende apenas de pe da função de Schwartz Φ.

Quando 0 < p ≤ 1, qualquer elemento f de H ^p tem uma decomposição atômica como uma combinação infinita convergente de H ^p -átomos,

${\ displaystyle f = \ sum c_ {j} a_ {j}, \ \ \ \ sum | c_ {j} | ^ {p} <\ infty}$

onde o a _j são H ^p -átomos e o c _j são escalares.

Na linha, por exemplo, a diferença das distribuições de Dirac f  = δ ₁ −δ ₀ pode ser representada como uma série de funções Haar , convergentes em H ^p -quassinorm quando 1/2 < p  <1 (no círculo, a representação correspondente é válido para 0 < p  <1, mas na linha, as funções de Haar não pertencem a H ^p quando p ≤ 1/2 porque sua função máxima é equivalente no infinito a a  x ⁻² para algum a  ≠ 0).

Martingale H ^p

Seja ( M _n ) _{n ≥0} um martingale em algum espaço de probabilidade (Ω, Σ,  P ), em relação a uma sequência crescente de σ-campos (Σ _n ) _{n ≥0} . Suponha, para simplificar, que Σ é igual ao campo σ gerado pela sequência (Σ _n ) _{n ≥0} . A função máxima do martingale é definida por

${\ displaystyle M ^ {*} = \ sup _ {n \ geq 0} \, | M_ {n} |.}$

Seja 1 ≤ p <∞. O martingale ( M _n ) _{n ≥0} pertence ao martingale - H ^p quando M * ∈ L ^p .

Se M * ∈ L ^p , o martingale ( M _n ) _{n ≥0} é limitado em L ^p ; portanto, ele converge quase com certeza para alguma função f pelo teorema de convergência de martingale . Além disso, M _n converge para f na norma L ^p pelo teorema da convergência dominada ; logo, M _n pode ser expresso como expectativa condicional de f em Σ _n . É assim possível identificar o martingale- H ^p com o subespaço de L ^p (Ω, Σ,  P ) consistindo daqueles f tal que o martingale

${\ displaystyle M_ {n} = \ operatorname {E} {\ bigl (} f | \ Sigma _ {n} {\ bigr)}}$

pertence a martingale- H ^p .

A desigualdade máxima de Doob implica que martingale- H ^p coincide com L ^p (Ω, Σ,  P ) quando 1 < p <∞. O espaço interessante é o martingale- H ¹ , cujo duplo é o martingale-BMO ( Garsia 1973 ).

As desigualdades de Burkholder-Gundy (quando p  > 1) e a desigualdade de Burgess Davis (quando p = 1) relacionam a norma L ^p da função máxima à da função quadrada do martingale

${\ displaystyle S (f) = \ left (| M_ {0} | ^ {2} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | M_ {n + 1} -M_ {n} | ^ { 2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}$

Martingale- H ^p pode ser definido dizendo que S ( f ) ∈ L ^p ( Garsia 1973 ).

Martingales com parâmetro de tempo contínuo também podem ser considerados. Uma ligação direta com a teoria clássica é obtida através do movimento browniano complexo ( B _t ) no plano complexo, partindo do ponto z = 0 no tempo t = 0. Seja τ o tempo de acerto do círculo unitário. Para cada função holomórfica F no disco da unidade,

${\ displaystyle M_ {t} = F (B_ {t \ wedge \ tau})}$

é um martingale, que pertence ao martingale- H ^p iff F  ∈  H ^p ( Burkholder, Gundy & Silverstein 1971 ).

Exemplo: martingale diádico- H ¹

Neste exemplo, Ω = [0, 1] e Σ _n é o campo finito gerado pela partição diádica de [0, 1] em 2 ⁿ intervalos de comprimento 2 ^{- n} , para cada n ≥ 0. Se uma função f on [0, 1] é representado por sua expansão no sistema Haar ( h _k )

${\ displaystyle f = \ sum c_ {k} h_ {k},}$

então a norma martingale- H ¹ de f pode ser definida pela norma L ¹ da função quadrada

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ Bigl (} \ sum | c_ {k} h_ {k} (x) | ^ {2} {\ Bigr)} ^ {\ frac {1} { 2}} \, \ mathrm {d} x.}$

Este espaço, às vezes denotado por H ¹ (δ), é isomórfico ao espaço H ¹ real clássico no círculo ( Müller 2005 ). O sistema de Haar é uma base incondicional para H ¹ (δ).

Notas

Referências

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