Esquema de especificação do axioma - Axiom schema of specification

Em muitas versões populares da teoria dos conjuntos axiomáticos , o esquema axiomático de especificação , também conhecido como esquema axiomático de separação , esquema axiomático de subconjunto ou esquema axiomático de compreensão restrita, é um esquema axiomático . Essencialmente, ele diz que qualquer subclasse definível de um conjunto é um conjunto.

Alguns matemáticos o chamam de esquema axiomático de compreensão , embora outros usem esse termo para compreensão irrestrita , discutido a seguir.

Como restringir a compreensão evitou o paradoxo de Russell , vários matemáticos, incluindo Zermelo , Fraenkel e Gödel, consideraram-no o axioma mais importante da teoria dos conjuntos.

Demonstração

Uma instância do esquema é incluído para cada fórmula φ na linguagem da teoria dos conjuntos com variáveis livres entre x , w ₁ , ..., w _n , A . Portanto, B não ocorre de forma livre em φ. Na linguagem formal da teoria dos conjuntos, o esquema axiomático é:

${\ displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ forall A \, \ exists B \, \ forall x \, (x \ in B \ Leftrightarrow [x \ in A \ land \ varphi (x, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}, A)])}$

ou em palavras:

Dado qualquer conjunto A , existe um conjunto B (um subconjunto de A ) tal que, dado qualquer conjunto x , x é um membro de B se e somente se x for um membro de A e φ vale para x .

Observe que há um axioma para cada predicado φ; portanto, este é um esquema axiomático .

Para entender esse esquema axioma, nota que o conjunto B deve ser um subconjunto de A . Assim, o que o esquema axioma está realmente dizendo é que, dado um conjunto A e um predicado P , podemos encontrar um subconjunto B de A , cujos membros são, precisamente, os membros do A que satisfazem P . Pelo axioma da extensionalidade, esse conjunto é único. Normalmente denotamos este conjunto usando a notação set-builder como { C ∈ A  : P ( C )}. Assim, a essência do axioma é:

Cada subclasse de um conjunto definido por um predicado é ela própria um conjunto.

O esquema axiomático de especificação é característico de sistemas de teoria de conjuntos axiomáticos relacionados à teoria de conjuntos usual ZFC , mas geralmente não aparece em sistemas radicalmente diferentes de teoria de conjuntos alternativa . Por exemplo, os Novos Fundamentos e a teoria dos conjuntos positivos usam restrições diferentes do axioma de compreensão da teoria dos conjuntos ingênua . A Teoria dos Conjuntos Alternativos de Vopenka faz questão de permitir subclasses apropriadas de conjuntos, chamadas semiconjuntos . Mesmo em sistemas relacionados a ZFC, esse esquema às vezes é restrito a fórmulas com quantificadores limitados, como na teoria dos conjuntos de Kripke-Platek com urelementos .

Relação com o esquema axiomático de substituição

O esquema de axioma de separação quase pode ser derivado do esquema de axioma de substituição .

Primeiro, lembre-se deste esquema axiomático:

${\ displaystyle \ forall A \, \ exists B \, \ forall C \, (C \ in B \ iff \ exists D \, [D \ in A \ land C = F (D)])}$

para qualquer predicado funcional F em uma variável que não utiliza os símbolos A , B , C ou D . Dado um predicado P adequado para o axioma de especificação, defina o mapeamento F por F ( D ) = D se P ( D ) for verdadeiro e F ( D ) = E se P ( D ) for falso, onde E é qualquer membro de Um tal que P ( E ) é verdadeiro. Então, o conjunto B garantido pelo axioma da substituição é precisamente o conjunto B necessário para o axioma da especificação. O único problema é se tal E não existir. Mas, neste caso, o conjunto B necessário para o axioma da separação é o conjunto vazio , então o axioma da separação segue do axioma da substituição junto com o axioma do conjunto vazio .

Por esta razão, o esquema axiomático de especificação é freqüentemente deixado de fora das listas modernas dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. No entanto, ainda é importante para considerações históricas e para comparação com axiomatizações alternativas da teoria dos conjuntos, como pode ser visto, por exemplo, nas seções seguintes.

Compreensão irrestrita

O esquema axiomático de compreensão irrestrita diz:

${\ displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ exists B \, \ forall x \, (x \ in B \ Leftrightarrow \ varphi (x, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}))}$

isso é:

Existe um conjunto B cujos membros são precisamente aqueles objetos que satisfazem o predicado φ.

Este conjunto B é novamente único e geralmente é denotado como { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _n )}.

Esse esquema axiomático foi tacitamente usado nos primeiros dias da teoria ingênua dos conjuntos , antes que uma axiomatização estrita fosse adotada. Infelizmente, isso leva diretamente ao paradoxo de Russell ao considerar φ ( x ) como ¬ ( x  ∈  x ) (isto é, a propriedade de que o conjunto x não é um membro de si mesmo). Portanto, nenhuma axiomatização útil da teoria dos conjuntos pode usar a compreensão irrestrita. Passar da lógica clássica à intuicionista não ajuda, pois a prova do paradoxo de Russell é intuicionisticamente válida.

Aceitar apenas o esquema axiomático de especificação foi o início da teoria axiomática dos conjuntos. A maioria dos outros axiomas de Zermelo-Fraenkel (mas não o axioma da extensionalidade , o axioma da regularidade ou o axioma da escolha ) tornou-se necessária para compensar parte do que foi perdido mudando o esquema axioma de compreensão para o esquema axioma de especificação - cada um desses axiomas afirma que um certo conjunto existe, e define esse conjunto dando um predicado para seus membros satisfazerem, ou seja, é um caso especial do esquema de axioma da compreensão.

Também é possível evitar que o esquema seja inconsistente, restringindo as fórmulas às quais ele pode ser aplicado, como apenas fórmulas estratificadas em Novos Fundamentos (veja abaixo) ou apenas fórmulas positivas (fórmulas com apenas conjunção, disjunção, quantificação e fórmulas atômicas) na teoria dos conjuntos positivos . As fórmulas positivas, entretanto, normalmente não são capazes de expressar certas coisas que a maioria das teorias consegue; por exemplo, não há complemento ou complemento relativo na teoria dos conjuntos positivos.

Na teoria da classe NBG

Na teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel , é feita uma distinção entre conjuntos e classes . Uma classe C é um conjunto se e apenas se ele pertence a alguma classe E . Nesta teoria, há um esquema de teorema que lê

${\ displaystyle \ existing D \ forall C \, ([C \ in D] \ iff [P (C) \ land \ exists E \, (C \ in E)]) \ ,,}$

isso é,

"Existe uma classe D tal que qualquer classe C é um membro de D se e somente se C for um conjunto que satisfaça P. "

desde que os quantificadores no predicado P sejam restritos a conjuntos.

Esse esquema de teorema é em si uma forma restrita de compreensão, o que evita o paradoxo de Russell devido à exigência de que C seja um conjunto. Então, a especificação dos próprios conjuntos pode ser escrita como um único axioma

${\ displaystyle \ forall D \ forall A \, (\ existe E \, [A \ in E] \ implica \ existe B \, [\ existe E \, (B \ in E) \ land \ forall C \, ( C \ in B \ iff [C \ in A \ land C \ in D])]) \ ,,}$

isso é,

"Dada qualquer classe D e qualquer conjunto A , há um conjunto B cujos membros são precisamente aquelas classes que são membros de A e D. "

ou ainda mais simplesmente

"A interseção de uma classe D e um conjunto A é ela própria um conjunto B. ".

Nesse axioma, o predicado P é substituído pela classe D , que pode ser quantificada. Outro axioma mais simples que atinge o mesmo efeito é

${\ displaystyle \ forall A \ forall B \, ([\ existe E \, (A \ in E) \ land \ forall C \, (C \ in B \ implica C \ in A)] \ implica \ existe E \ , [B \ in E]) \ ,,}$

isso é,

"Uma subclasse de um conjunto é um conjunto.".

Em configurações de ordem superior

Em uma linguagem tipada onde podemos quantificar sobre predicados, o esquema de axioma de especificação torna-se um axioma simples. Este é o mesmo truque que foi usado nos axiomas NBG da seção anterior, onde o predicado foi substituído por uma classe que foi então quantificada.

Na lógica de segunda ordem e na lógica de ordem superior com semântica de ordem superior, o axioma da especificação é uma validade lógica e não precisa ser explicitamente incluído em uma teoria.

Nas novas fundações de Quine

Na abordagem das Novas Fundações para a teoria dos conjuntos lançada por WVO Quine , o axioma de compreensão para um determinado predicado assume a forma irrestrita, mas os predicados que podem ser usados ​​no esquema são eles próprios restritos. O predicado ( C não está em C ) é proibido, porque o mesmo símbolo C aparece em ambos os lados do símbolo de filiação (e, portanto, em diferentes "tipos relativos"); assim, o paradoxo de Russell é evitado. No entanto, tomando P ( C ) como ( C = C ), o que é permitido, podemos formar um conjunto de todos os conjuntos. Para obter detalhes, consulte estratificação .

Referências