Teoria dos conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel - Von Neumann–Bernays–Gödel set theory

Nos fundamentos da matemática , a teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel ( NBG ) é uma teoria dos conjuntos axiomática que é uma extensão conservadora da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel-Choice (ZFC). NBG introduz a noção de classe , que é uma coleção de conjuntos definidos por uma fórmula cujos quantificadores variam apenas sobre conjuntos. NBG pode definir classes que são maiores do que conjuntos, como a classe de todos os conjuntos e a classe de todos os ordinais . A teoria dos conjuntos de Morse – Kelley (MK) permite que as classes sejam definidas por fórmulas cujos quantificadores variam sobre as classes. NBG é finitamente axiomatizável, enquanto ZFC e MK não são.

Um teorema-chave de NBG é o teorema da existência de classe, que afirma que para cada fórmula cujos quantificadores variam apenas sobre conjuntos, há uma classe que consiste nos conjuntos que satisfazem a fórmula. Esta classe é construída espelhando a construção passo a passo da fórmula com classes. Uma vez que todas as fórmulas teóricas de conjuntos são construídas a partir de dois tipos de fórmulas atômicas ( filiação e igualdade ) e muitos símbolos lógicos finitos, apenas muitos axiomas finitos são necessários para construir as classes que os satisfazem. É por isso que o NBG é finitamente axiomatizável. As classes também são usadas para outras construções, para lidar com os paradoxos da teoria dos conjuntos e para declarar o axioma da escolha global , que é mais forte do que o axioma de escolha de ZFC .

John von Neumann introduziu classes na teoria dos conjuntos em 1925. As noções primitivas de sua teoria eram função e argumento . Usando essas noções, ele definiu classe e conjunto. Paul Bernays reformulou a teoria de von Neumann tomando aulas e definindo como noções primitivas. Kurt Gödel simplificou a teoria de Bernays para sua prova de consistência relativa do axioma da escolha e a hipótese do continuum generalizado .

Aulas de teoria dos conjuntos

Os usos das classes

As classes têm vários usos em NBG:

  • Eles produzem uma axiomatização finita da teoria dos conjuntos.
  • Eles são usados ​​para declarar uma "forma muito forte do axioma da escolha " - ou seja, o axioma da escolha global : existe uma função de escolha global definida na classe de todos os conjuntos não vazios de modo que para cada conjunto não vazio isso é mais forte do que o de ZFC axioma de escolha: para cada conjunto de conjuntos não vazios, existe uma função de escolha definida de tal forma que para todos
  • Os paradoxos da teoria dos conjuntos são tratados reconhecendo que algumas classes não podem ser conjuntos. Por exemplo, suponha que a classe de todos os ordinais seja um conjunto. Então é um conjunto transitivo bem ordenado por . Portanto, por definição, é um ordinal. Portanto,, o que contradiz ser uma boa ordenação de Portanto, não é um conjunto. Porque uma classe que não é um conjunto é chamada de classe adequada , é uma classe adequada.
  • Classes adequadas são úteis em construções. Em sua prova da consistência relativa do axioma da escolha global e a hipótese do contínuo generalizado , Gödel usou classes adequadas para construir o universo construtível . Ele construiu uma função na classe de todos os ordinais que, para cada ordinal, constrói um conjunto construtível aplicando uma operação de construção de conjunto a conjuntos previamente construídos. O universo construtível é a imagem dessa função.

Esquema de axioma versus teorema de existência de classe

Uma vez que as classes são adicionadas à linguagem do ZFC, é fácil transformar o ZFC em uma teoria de conjuntos com classes. Primeiro, o esquema axioma de compreensão de classe é adicionado. Este esquema de axioma afirma: Para cada fórmula que quantifica apenas sobre conjuntos, existe uma classe que consiste nas - tuplas que satisfazem a fórmula - isto é, então o esquema de axioma de substituição é substituído por um único axioma que usa uma classe. Finalmente, o axioma de extensionalidade do ZFC é modificado para lidar com classes: se duas classes têm os mesmos elementos, então elas são idênticas. Os outros axiomas de ZFC não são modificados.

Esta teoria não é axiomatizada finitamente. O esquema de substituição do ZFC foi substituído por um único axioma, mas o esquema de axioma de compreensão de classe foi introduzido.

Para produzir uma teoria com um número finito de axiomas, o esquema de axioma da compreensão de classe é primeiro substituído por axiomas de existência de classe com um número finito . Em seguida, esses axiomas são usados ​​para provar o teorema da existência de classe, que implica todas as instâncias do esquema do axioma. A prova desse teorema requer apenas sete axiomas de existência de classe, que são usados ​​para converter a construção de uma fórmula na construção de uma classe que satisfaça a fórmula.

Axiomatização de NBG

Aulas e sets

NBG possui dois tipos de objetos: classes e conjuntos. Intuitivamente, cada conjunto é também uma classe. Existem duas maneiras de axiomatizar isso. Bernays usou lógica de classificação múltipla com dois tipos: classes e conjuntos. Gödel evitou classificações introduzindo predicados primitivos: pois " é uma classe" e " é um conjunto" (em alemão, "conjunto" é Menge ). Ele também introduziu axiomas afirmando que todo conjunto é uma classe e que se a classe é membro de uma classe, então é um conjunto. Usar predicados é a maneira padrão de eliminar classificações. Elliott Mendelson modificou a abordagem de Gödel fazendo com que tudo fosse uma classe e definindo o predicado de conjunto como esta modificação elimina o predicado de classe de Gödel e seus dois axiomas.

A abordagem dupla de Bernays pode parecer mais natural à primeira vista, mas cria uma teoria mais complexa. Na teoria de Bernays, todo conjunto tem duas representações: uma como conjunto e outra como classe. Além disso, existem duas relações de associação : a primeira, denotada por "∈", está entre dois conjuntos; o segundo, denotado por "η", está entre um conjunto e uma classe. Essa redundância é exigida pela lógica de classificação múltipla porque variáveis ​​de diferentes tipos variam em subdomínios separados do domínio do discurso .

As diferenças entre essas duas abordagens não afetam o que pode ser provado, mas afetam como as declarações são escritas. Na abordagem de Gödel, onde e são as classes é uma declaração válida. Na abordagem de Bernays, essa afirmação não tem significado. No entanto, se for um conjunto, há uma instrução equivalente: Defina "conjunto representa a classe " se eles tiverem os mesmos conjuntos que os membros - isto é, a instrução em que conjunto representa a classe é equivalente à de Gödel

A abordagem adotada neste artigo é a de Gödel com a modificação de Mendelson. Isso significa que NBG é um sistema axiomático na lógica de predicados de primeira ordem com igualdade , e suas únicas noções primitivas são classe e a relação de pertinência.

Definições e axiomas de extensionalidade e pareamento

Um conjunto é uma classe que pertence a pelo menos uma classe: é um conjunto se e somente se . Uma classe que não é um conjunto é chamada de classe adequada: é uma classe adequada se e somente se . Portanto, cada classe é um conjunto ou uma classe adequada, e nenhuma classe é ambos (se a teoria for consistente ).

Gödel introduziu a convenção de que variáveis ​​em maiúsculas variam em classes, enquanto variáveis ​​em minúsculas variam em conjuntos. Gödel também usou nomes que começam com uma letra maiúscula para denotar classes particulares, incluindo funções e relações definidas na classe de todos os conjuntos. A convenção de Gödel é usada neste artigo. Isso nos permite escrever:

Os seguintes axiomas e definições são necessários para a prova do teorema da existência de classe.

Axioma de extensionalidade. Se duas classes tiverem os mesmos elementos, elas serão idênticas.

Este axioma generaliza o axioma de extensionalidade de ZFC para classes.

Axioma de emparelhamento . Seesão conjuntos, então existe um conjuntocujos únicos membros sãoe.

Como em ZFC, o axioma da extensionalidade implica na unicidade do conjunto , o que nos permite introduzir a notação.

Os pares ordenados são definidos por:

Tuplas são definidas indutivamente usando pares ordenados:

Axiomas de existência de classe e axioma de regularidade

Os axiomas da existência de classe serão usados ​​para provar o teorema da existência de classe: Para cada fórmula em variáveis ​​de conjunto livre que quantifica apenas sobre conjuntos, existe uma classe de -tuplos que a satisfazem. O exemplo a seguir começa com duas classes que são funções e cria uma função composta . Este exemplo ilustra as técnicas necessárias para provar o teorema da existência de classe, que levam aos axiomas de existência de classe necessários.

Exemplo 1: Se as classes e são funções, então a função composta é definida pela fórmula: Uma vez que esta fórmula tem duas variáveis ​​de conjunto livre, e o teorema de existência de classe constrói a classe de pares ordenados:

Como essa fórmula é construída a partir de fórmulas mais simples usando conjunção e quantificação existencial , são necessárias operações de classe que tomem classes que representem as fórmulas mais simples e produzam classes que representam as fórmulas com e . Para produzir uma classe que representa uma fórmula com , interseção usada desde Para produzir uma classe que representa uma fórmula com , o domínio é usado desde

Antes de tomar a intersecção, as tuplas e precisa de um componente extra para que eles tenham as mesmas variáveis. O componente é adicionado às tuplas de e é adicionado às tuplas de :

e

Na definição, a variável não é restrita pela instrução, portanto, abrange a classe de todos os conjuntos. Da mesma forma, na definição dos intervalos de variáveis acima de So, é necessário um axioma que adiciona um componente extra (cujos valores variam acima ) às tuplas de uma determinada classe.

Em seguida, as variáveis ​​são colocadas na mesma ordem para se preparar para a interseção:

e

Ir de para e de para requer duas permutações diferentes , então axiomas que suportam permutações de componentes de tupla são necessários.

A interseção de e alças :

Uma vez que é definido como , toma o domínio de alças e produz a função composta:

Portanto, axiomas de interseção e domínio são necessários.

Os axiomas de existência de classe são divididos em dois grupos: axiomas que tratam de primitivos de linguagem e axiomas que tratam de tuplas. Existem quatro axiomas no primeiro grupo e três axiomas no segundo grupo.

Axiomas para lidar com primitivos de linguagem:

Filiação. Existe uma classe que contém todos os pares ordenados cujo primeiro componente é membro do segundo componente.

Intersecção (conjunção). Para quaisquer duas classes e , existe uma classe que consiste precisamente nos conjuntos que pertencem a ambas as classes e .

Complemento (negação). Para qualquer classe, existe uma classe queconsiste precisamente nos conjuntos aos quais não pertencem.

Domínio (quantificador existencial). Para qualquer classe , existe uma classe que consiste precisamente nos primeiros componentes dos pares ordenados de .

Pelo axioma da extensionalidade, a classe no axioma da interseção e a classe nos axiomas do complemento e do domínio são únicas. Eles serão denotados por: e respectivamente. Por outro lado, a extensionalidade não é aplicável no axioma de pertinência, uma vez que especifica apenas aqueles conjuntos que são pares ordenados.

Os três primeiros axiomas implicam a existência da classe vazia e a classe de todos os conjuntos: O axioma de pertinência implica a existência de uma classe Os axiomas de intersecção e complemento implicam a existência de , que está vazia. Pelo axioma da extensionalidade, essa classe é única; é denotado por O complemento de é a classe de todos os conjuntos, que também é único por extensionalidade. O predicado set , que foi definido como , agora é redefinido para evitar a quantificação de classes.

Axiomas para lidar com tuplas:

Produto por . Para qualquer classe, existe uma classe queconsiste nos pares ordenados aos quais pertence o primeiro componente.

Permutação circular . Para qualquer classe, há uma classecujas 3 tuplas são obtidas aplicando a permutação circularàs 3 tuplas de.

Transposição . Para qualquer classe, existe uma classecujas 3 tuplas são obtidas pela transposição dos dois últimos componentes das 3 tuplas de.

Por extensionalidade, o produto por axioma implica a existência de uma classe única, que é denotada por Este axioma é usado para definir a classe de todos os -tuplos : e Se for uma classe, extensionalidade implica que é a classe única que consiste em -tuplos de Por exemplo, o axioma de pertinência produz uma classe que pode conter elementos que não são pares ordenados, enquanto a interseção contém apenas os pares ordenados de .

A permutação e transposição circulares axiomas não implicam a existência de classes exclusivas porque eles especificar apenas os 3-tuplas de classe Ao especificar as 3-tuplas, estes axiomas também especificar os -tuples para desde: Os axiomas para a manipulação de tuplas e o axioma de domínio implica o seguinte lema, que é usado na prova do teorema de existência de classe.

Lema de tupla.

Prova:   Classe : Aplicar produto por para produzir Classe : Aplicar transposição para produzir Classe : Aplicar permutação circular para produzir Classe : Aplicar permutação circular para , em seguida, aplicar domínio para produzir
            
            
            

Mais um axioma é necessário para provar o teorema da existência de classe: o axioma da regularidade . Uma vez que a existência da classe vazia foi provada, a declaração usual deste axioma é dada.

Axioma de regularidade . Cada conjunto não vazio tem pelo menos um elemento com o qual não tem nenhum elemento em comum.

Este axioma implica que um conjunto não pode pertencer a si mesmo: Assuma isso e deixe Então, uma vez que Isto contradiz o axioma da regularidade porque é o único elemento em Portanto, o axioma da regularidade também proíbe sequências descendentes infinitas de membros de conjuntos:

Gödel declarou regularidade para as classes em vez de para conjuntos em sua monografia de 1940, que foi baseada em palestras dadas em 1938. Em 1939, ele provou que regularidade para conjuntos implica regularidade para classes.

Teorema de existência de classe

Teorema da existência de classes. Let Ser uma fórmula que quantifica apenas sobre conjuntos e não contém variáveis ​​livres além de (não necessariamente todos estes). Então, para todos , existe uma classe única de -tuples tal que: A classe é denotada por

A prova do teorema será feita em duas etapas:

  1. As regras de transformação são usadas para transformar a fórmula fornecida em uma fórmula equivalente que simplifica a parte indutiva da prova. Por exemplo, os símbolos lógico na fórmula transformado são , e , por isso, a indução lida com símbolos lógicos com apenas três casos.
  2. O teorema da existência de classe é provado indutivamente para fórmulas transformadas. Guiados pela estrutura da fórmula transformada, os axiomas de existência de classe são usados ​​para produzir a classe única de -tuplos que satisfazem a fórmula.

Regras de transformação. Nas regras 1 e 2 abaixo, e denotam variáveis ​​de conjunto ou classe. Essas duas regras eliminam todas as ocorrências de variáveis ​​de classe antes de uma e todas as ocorrências de igualdade. Cada vez que a regra 1 ou 2 é aplicada a uma subfórmula, é escolhida de forma que seja diferente das outras variáveis ​​na fórmula atual. As três regras são repetidas até que não haja subfórmulas às quais possam ser aplicadas. Isso produz uma fórmula que é construído apenas com , , , , variáveis definidas e variáveis de classe , onde não aparece antes de um .

  1. é transformado em
  2. A extensionalidade é usada para transformar em
  3. Identidades lógicas são usadas para transformar subfórmulas contendo e em subfórmulas que usam apenas e

Regras de transformação: variáveis ​​associadas . Considere a fórmula da função composta do exemplo 1 com suas variáveis ​​de conjunto livre substituídas por e : A prova indutiva removerá , o que produz a fórmula No entanto, uma vez que o teorema de existência de classe é declarado para variáveis ​​subscritas, esta fórmula não tem a forma esperada pelo hipótese de indução . Este problema é resolvido substituindo a variável por variáveis limitadas dentro de quantificadores aninhados são tratados aumentando o subscrito em um para cada quantificador sucessivo. Isso leva à regra 4, que deve ser aplicada após as outras regras, uma vez que as regras 1 e 2 produzem variáveis ​​quantificadas.

  1. Se uma fórmula não contém variáveis ​​de conjunto livre, exceto as variáveis ​​associadas que estão aninhadas nos quantificadores são substituídas por . Essas variáveis ​​têm profundidade de aninhamento (quantificador) .

Exemplo 2: A regra 4 é aplicada à fórmula que define a classe que consiste em todos os conjuntos da forma Ou seja, conjuntos que contêm pelo menos e um conjunto que contém - por exemplo, onde e são conjuntos.

Como é a única variável livre, a variável quantificada aparece duas vezes na profundidade de aninhamento 2. Seu subscrito é 3 porque se dois escopos quantificadores estão na mesma profundidade de aninhamento, eles são idênticos ou separados. As duas ocorrências de estão em escopos quantificadores separados, portanto, não interagem entre si.

Prova do teorema da existência de classe. A prova começa aplicando as regras de transformação à fórmula fornecida para produzir uma fórmula transformada. Visto que esta fórmula é equivalente à fórmula dada, a prova é completada provando o teorema de existência de classe para fórmulas transformadas.

Gödel apontou que o teorema da existência de classe "é um metateorema , ou seja, um teorema sobre o sistema [NBG], não no sistema ..." É um teorema sobre o NBG porque é provado na metateoria por indução nas fórmulas NBG. Além disso, sua prova - em vez de invocar um número finito de axiomas NBG - descreve indutivamente como usar os axiomas NBG para construir uma classe que satisfaça uma dada fórmula. Para cada fórmula, essa descrição pode ser transformada em uma prova de existência construtiva que está no NBG. Portanto, esse metateorema pode gerar as provas NBG que substituem os usos do teorema de existência de classe de NBG.

Um programa de computador recursivo captura sucintamente a construção de uma classe a partir de uma dada fórmula. A definição deste programa não depende da prova do teorema da existência de classe. No entanto, a prova é necessária para provar que a classe construída pelo programa satisfaz a fórmula dada e é construída usando os axiomas. Este programa é escrito em pseudocódigo que usa uma instrução case no estilo Pascal .



Deixe ser a fórmula do exemplo 2 . A chamada da função gera a classe que é comparada abaixo Isto mostra que a construção da classe espelha a construção da sua fórmula definidora

Estendendo o teorema de existência de classe

Gödel estendeu o teorema da existência de classe para fórmulas contendo relações sobre classes (como e a relação unária ), classes especiais (como ) e operações (como e ). Para estender o teorema da existência de classes, as fórmulas que definem relações, classes especiais e operações devem quantificar apenas sobre conjuntos. Em seguida, pode ser transformado em uma fórmula equivalente que satisfaça a hipótese do teorema de existência de classe .

As seguintes definições especificam como as fórmulas definem relações, classes especiais e operações:

  1. Uma relação é definida por:
  2. Uma classe especial é definida por:
  3. Uma operação é definida por:

Um termo é definido por:

  1. Variáveis ​​e classes especiais são termos.
  2. Se for uma operação com argumentos e termos, então é um termo.

As seguintes regras de transformação eliminam relações, classes especiais e operações. Cada vez que a regra 2b, 3b ou 4 é aplicada a uma subfórmula, é escolhida de forma que difira das outras variáveis ​​na fórmula atual. As regras são repetidas até que não haja subfórmulas às quais possam ser aplicadas. e denotam os termos.

  1. Uma relação é substituída por sua fórmula definidora
  2. Deixe ser a fórmula de definição para a classe especial
    1. é substituído por
    2. é substituído por
  3. Seja a fórmula definidora da operação
    1. é substituído por
    2. é substituído por
  4. A extensionalidade é usada para transformar em
Exemplo 3: transformando

Exemplo 4: transformando

Este exemplo ilustra como as regras de transformação funcionam juntas para eliminar uma operação.

Teorema da existência de classes (versão estendida). Let Ser uma fórmula que quantifica apenas sobre conjuntos, não contém variáveis ​​livres além de , e pode conter relações, classes especiais e operações definidas por fórmulas que quantificam apenas sobre conjuntos. Então, para todos , existe uma classe única de -tuplas tais que

Prova: aplique as regras de transformação a para produzir uma fórmula equivalente sem relações, classes especiais ou operações. Esta fórmula satisfaz a hipótese do teorema da existência de classe. Portanto, para todos, existe uma classe única de - duplas que satisfazem

Definir axiomas

Os axiomas de emparelhamento e regularidade, que eram necessários para a prova do teorema da existência de classe, foram dados acima. NBG contém quatro outros conjuntos de axiomas. Três desses axiomas tratam de operações de classe aplicadas a conjuntos.

Definição. é uma função se

Na teoria dos conjuntos, a definição de uma função não requer a especificação do domínio ou codomínio da função (consulte Função (teoria dos conjuntos) ). A definição de função de NBG generaliza a definição de ZFC de um conjunto de pares ordenados para uma classe de pares ordenados.

As definições de ZFC das operações de conjunto de imagem , união e conjunto de energia também são generalizadas para operações de classe. A imagem da classe sob a função é Esta definição não exige que A união da classe é A classe de poder de é A versão estendida do teorema de existência de classe implica a existência dessas classes. Os axiomas de substituição, união e conjunto de poder implicam que, quando essas operações são aplicadas a conjuntos, eles produzem conjuntos.

Axioma de substituição. Se é uma função e é um conjunto, então , a imagem de debaixo , é um conjunto.

Não ter o requisito na definição de produz um axioma de substituição mais forte, que é usado na prova a seguir.

Teorema ( axioma de separação do NBG ). Se é um conjunto e é uma subclasse de, então é um conjunto. Prova: O teorema da existência de classe constrói a restrição da função de identidade para : Uma vez que a imagem de under is , o axioma de substituição implica que é um conjunto. Esta prova depende da definição de imagem não ter o requisito, pois ao invés de

Axioma de união. Se for um conjunto, então há um conjunto contendo

Axioma do conjunto de poder. Se for um conjunto, então há um conjunto contendo

Teorema. Se for um conjunto, então e são conjuntos. Prova: O axioma da união afirma que é uma subclasse de um conjunto , então o axioma da separação implica em um conjunto. Da mesma forma, o axioma do conjunto de potência afirma que é uma subclasse de um conjunto , de modo que o axioma da separação implica que é um conjunto.

Axioma do infinito. Existe um conjunto não vazio tal que, para todos dentro , existe um dentro tal que é um subconjunto apropriado de .

Os axiomas do infinito e da substituição provam a existência do conjunto vazio . Na discussão dos axiomas da existência de classe, foi comprovada a existência da classe vazia . Agora provamos que é um conjunto. Deixe funcionar e seja o conjunto dado pelo axioma do infinito. Por substituição, a imagem de sob , que é igual , é um conjunto.

O axioma do infinito de NBG está implícito no axioma do infinito de ZFC : O primeiro conjunto do axioma de ZFC,, implica o primeiro conjunto do axioma de NBG. O segundo conjunto do axioma de ZFC,, implica o segundo conjunto do axioma de NBG desde Para provar o axioma de infinito de ZFC do axioma de infinito de NBG requer alguns dos outros axiomas de NBG (ver Axioma fraco do infinito ).

Axioma da escolha global

O conceito de classe permite que o NBG tenha um axioma de escolha mais forte do que o ZFC. Uma função de escolha é uma função definida em um conjunto de conjuntos não vazios de tal forma que, para todos os axiomas de escolha do ZFC, existe uma função de escolha para cada conjunto de conjuntos não vazios. Uma função de escolha global é uma função definida na classe de todos os conjuntos não vazios de forma que, para cada conjunto não vazio, o axioma da escolha global afirma que existe uma função de escolha global. Este axioma implica o axioma de escolha de ZFC, uma vez que para cada conjunto de conjuntos não vazios, (a restrição de a ) é uma função de escolha para. Em 1964, William B. Easton provou que a escolha global é mais forte do que o axioma de escolha, usando forçar para construir um modelo que satisfaça o axioma da escolha e todos os axiomas do NBG, exceto o axioma da escolha global. O axioma de escolha global é equivalente a cada classe com uma boa ordenação, enquanto o axioma de escolha do ZFC é equivalente a cada conjunto com uma boa ordenação.

Axioma da escolha global. Existe uma função que escolhe um elemento de cada conjunto não vazio.

História

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História de abordagens que levaram à teoria dos conjuntos NBG

Sistema de axioma de Von Neumann 1925

Von Neumann publicou um artigo introdutório sobre seu sistema de axiomas em 1925. Em 1928, ele forneceu um tratamento detalhado de seu sistema. Von Neumann baseou seu sistema de axiomas em dois domínios de objetos primitivos : funções e argumentos. Esses domínios se sobrepõem - os objetos que estão em ambos os domínios são chamados de funções de argumento. As funções correspondem a classes em NBG e as funções de argumento correspondem a conjuntos. A operação primitiva de Von Neumann é a aplicação de função , denotada por [ ax ] em vez de a ( x ), onde a é uma função e x é um argumento. Esta operação produz um argumento. Von Neumann definido classes e conjuntos utilizando funções e argumento-funções que recebem apenas dois valores, A e B . Ele definiu x  ∈  a se [ ax ] ≠  A .

O trabalho de Von Neumann na teoria dos conjuntos foi influenciado pelos artigos de Georg Cantor , os axiomas de 1908 de Ernst Zermelo para a teoria dos conjuntos e as críticas de 1922 à teoria dos conjuntos de Zermelo que foram dadas independentemente por Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem . Tanto Fraenkel quanto Skolem apontaram que os axiomas de Zermelo não podem provar a existência do conjunto { Z 0Z 1Z 2 , ...} onde Z 0 é o conjunto de números naturais e Z n +1 é o conjunto de potência de Z n . Em seguida, introduziram o axioma da substituição, que garantiria a existência de tais conjuntos. No entanto, eles estavam relutantes em adotar este axioma: Fraenkel afirmou "que a substituição era um axioma muito forte para a 'teoria geral dos conjuntos'", enquanto "Skolem apenas escreveu que 'poderíamos introduzir' a substituição".

Von Neumann trabalhou nos problemas da teoria dos conjuntos de Zermelo e forneceu soluções para alguns deles:

  • Uma teoria dos ordinais
    • Problema: a teoria dos números ordinais de Cantor não pode ser desenvolvida na teoria dos conjuntos de Zermelo porque carece do axioma da substituição.
    • Solução: Von Neumann recuperou a teoria de Cantor definindo os ordinais usando conjuntos que são bem ordenados pela relação ∈ e usando o axioma de substituição para provar teoremas-chave sobre os ordinais, como todo conjunto bem ordenado é isomórfico de ordem com um ordinal. Em contraste com Fraenkel e Skolem, von Neumann enfatizou a importância do axioma de substituição para a teoria dos conjuntos: "Na verdade, acredito que nenhuma teoria dos ordinais é possível sem este axioma."
  • Um critério que identifica classes que são muito grandes para serem definidas
    • Problema: Zermelo não forneceu esse critério. Sua teoria dos conjuntos evita as grandes classes que levam aos paradoxos , mas deixa de fora muitos conjuntos, como o mencionado por Fraenkel e Skolem.
    • Solução: Von Neumann introduziu o critério: Uma classe é muito grande para ser um conjunto se e somente se puder ser mapeada na classe V de todos os conjuntos. Von Neumann percebeu que os paradoxos da teoria dos conjuntos poderiam ser evitados ao não permitir que classes tão grandes fossem membros de qualquer classe. Combinando isto com a sua restrição critério, obteve seu axioma de limitação de tamanho : Uma classe C não é um membro de qualquer classe, se e somente se C podem ser mapeados em V .
  • Axiomatização finita
    • Problema: Zermelo havia usado o conceito impreciso de " função proposicional definida " em seu axioma de separação .
    • Soluções: Skolem introduziu o esquema axiomático de separação que mais tarde foi usado no ZFC, e Fraenkel introduziu uma solução equivalente. No entanto, Zermelo rejeitou ambas as abordagens "particularmente porque envolvem implicitamente o conceito de número natural que, na visão de Zermelo, deveria ser baseado na teoria dos conjuntos." Von Neumann evitou os esquemas de axiomas formalizando o conceito de "função proposicional definida" com suas funções, cuja construção requer apenas um número finito de axiomas. Isso fez com que sua teoria dos conjuntos tivesse um número finito de axiomas. Em 1961, Richard Montague provou que o ZFC não pode ser axiomatizado finitamente.
  • O axioma da regularidade
    • Problema: a teoria dos conjuntos de Zermelo começa com o conjunto vazio e um conjunto infinito e itera os axiomas de emparelhamento, união, conjunto de poder, separação e escolha para gerar novos conjuntos. No entanto, ele não restringe os conjuntos a eles. Por exemplo, permite conjuntos que não são bem fundamentados , como um conjunto x satisfazendo x  ∈  x .
    • Soluções: Fraenkel introduziu um axioma para excluir esses conjuntos. Von Neumann analisou o axioma de Fraenkel e afirmou que não foi "formulado com precisão", mas diria aproximadamente: "Além dos conjuntos ... cuja existência é absolutamente exigida pelos axiomas, não existem conjuntos adicionais." Von Neumann propôs o axioma da regularidade como uma forma de excluir conjuntos não bem fundamentados, mas não o incluiu em seu sistema de axiomas. Em 1930, Zermelo foi o primeiro a publicar um sistema de axiomas que incluía regularidade.

Sistema de axioma de Von Neumann 1929

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John von Neumann

Em 1929, von Neumann publicou um artigo contendo os axiomas que levariam ao NBG. Este artigo foi motivado por sua preocupação com a consistência do axioma da limitação de tamanho. Ele afirmou que esse axioma "faz muito, na verdade muito". Além de implicar os axiomas de separação e substituição e o teorema da boa ordenação , também implica que qualquer classe cuja cardinalidade seja menor que a de V é um conjunto. Von Neumann pensava que esta última implicação ia além da teoria cantoriana dos conjuntos e concluiu: "Devemos, portanto, discutir se sua consistência [do axioma] não é ainda mais problemática do que uma axiomatização da teoria dos conjuntos que não vai além da estrutura cantoriana necessária."

Von Neumann iniciou sua investigação de consistência introduzindo seu sistema de axiomas de 1929, que contém todos os axiomas de seu sistema de axiomas de 1925, exceto o axioma da limitação de tamanho. Ele substituiu esse axioma por duas de suas consequências, o axioma da substituição e um axioma da escolha. O axioma de escolha de Von Neumann afirma: "Cada relação R tem uma subclasse que é uma função com o mesmo domínio de R. "

Seja S o sistema de axiomas de 1929 de von Neumann. Von Neumann introduzido o sistema axioma S + Regularidade (que consiste em S e o axioma da regularidade) para demonstrar que o seu sistema 1925 é consistente em relação a S . Ele provou:

  1. Se S for consistente, então a regularidade S + é consistente.
  2. Regularidade S + implica o axioma de limitação de tamanho. Uma vez que este é o único axioma de seu sistema de axiomas de 1925 que a regularidade S + não possui, a regularidade S + implica todos os axiomas de seu sistema de 1925.

Esses resultados implicam: Se S é consistente, então o sistema axioma de von Neumann de 1925 é consistente. Prova: Se S é consistente, então S + Regularidade é consistente (resultado 1). Usando a prova por contradição , suponha que o sistema de axiomas de 1925 seja inconsistente, ou de forma equivalente: o sistema de axiomas de 1925 implica uma contradição. Visto que a regularidade S + implica os axiomas do sistema de 1925 (resultado 2), a regularidade S + também implica uma contradição. No entanto, isso contradiz a consistência da Regularidade S +. Portanto, se S é consistente, o sistema de axiomas de von Neumann de 1925 é consistente.

Uma vez que S é seu sistema de axioma de 1929, o sistema de axioma de von Neumann de 1925 é consistente em relação ao seu sistema de axioma de 1929, que está mais próximo da teoria dos conjuntos de Cantor. As principais diferenças entre a teoria dos conjuntos de Cantor e o sistema de axiomas de 1929 são as classes e o axioma de escolha de von Neumann. O sistema axioma S + Regularity foi modificado por Bernays e Gödel para produzir o sistema axioma NBG equivalente.

Sistema axioma de Bernays

Paul Bernays

Em 1929, Paul Bernays começou a modificar o novo sistema de axiomas de von Neumann tomando classes e conjuntos como primitivos. Ele publicou seu trabalho em uma série de artigos publicados de 1937 a 1954. Bernays afirmou que:

O objetivo de modificar o sistema de von Neumann é permanecer mais próximo da estrutura do sistema Zermelo original e utilizar ao mesmo tempo alguns dos conceitos teóricos dos conjuntos da lógica de Schröder e dos Principia Mathematica que se tornaram familiares aos lógicos. Como se verá, uma simplificação considerável resulta desse arranjo.

Bernays manipulou conjuntos e classes em uma lógica de dois classificados e introduziu duas primitivas de associação: uma para associação em conjuntos e outra para associação em classes. Com esses primitivos, ele reescreveu e simplificou os axiomas de 1929 de von Neumann. Bernays também incluiu o axioma da regularidade em seu sistema de axiomas.

Sistema de axioma de Gödel (NBG)

consulte a legenda
Kurt Gödel, c. 1926    

Em 1931, Bernays enviou uma carta contendo sua teoria dos conjuntos a Kurt Gödel . Gödel simplificou a teoria de Bernays tornando cada conjunto uma classe, o que lhe permitiu usar apenas um tipo e um primitivo de associação. Ele também enfraqueceu alguns dos axiomas de Bernays e substituiu o axioma da escolha de von Neumann pelo axioma equivalente da escolha global. Gödel usou seus axiomas em sua monografia de 1940 sobre a consistência relativa da escolha global e a hipótese do continuum generalizado.

Vários motivos foram dados para Gödel escolher NBG para sua monografia:

  • Gödel deu uma razão matemática - a escolha global de NBG produz um teorema de consistência mais forte: "Esta forma mais forte do axioma [de escolha], se consistente com os outros axiomas, implica, é claro, que uma forma mais fraca também é consistente."
  • Robert Solovay conjecturou: "Meu palpite é que ele [Gödel] desejava evitar uma discussão dos aspectos técnicos envolvidos no desenvolvimento dos rudimentos da teoria do modelo dentro da teoria axiomática dos conjuntos."
  • Kenneth Kunen deu uma razão para Gödel evitar esta discussão: "Há também uma abordagem muito mais combinatória para L [o universo construtível ], desenvolvida por ... [Gödel em sua monografia de 1940] em uma tentativa de explicar seu trabalho para não lógicos. ... Esta abordagem tem o mérito de remover todos os vestígios de lógica do tratamento de L. "
  • Charles Parsons forneceu uma razão filosófica para a escolha de Gödel: "Esta visão [que 'propriedade do conjunto' é um primitivo da teoria dos conjuntos] pode ser refletida na escolha de Gödel de uma teoria com variáveis ​​de classe como estrutura para ... [sua monografia] . "

A conquista de Gödel juntamente com os detalhes de sua apresentação levaram ao destaque que o NBG desfrutaria nas próximas duas décadas. Em 1963, Paul Cohen provou suas provas de independência para ZF com a ajuda de algumas ferramentas que Gödel havia desenvolvido para suas provas de consistência relativa para NBG. Mais tarde, o ZFC se tornou mais popular do que o NBG. Isso foi causado por vários fatores, incluindo o trabalho extra necessário para lidar com o forçamento no NBG, a apresentação do forçamento de Cohen em 1966, que usava o ZF, e a prova de que o NBG é uma extensão conservadora do ZFC.

NBG, ZFC e MK

NBG não é logicamente equivalente a ZFC porque sua linguagem é mais expressiva: ele pode fazer declarações sobre classes, o que não pode ser feito em ZFC. No entanto, NBG e ZFC implicam nas mesmas afirmações sobre conjuntos. Portanto, NBG é uma extensão conservadora de ZFC. NBG implica teoremas que ZFC não implica, mas como NBG é uma extensão conservativa, esses teoremas devem envolver classes adequadas. Por exemplo, é um teorema de NBG que o axioma mundial de escolha implica que a classe adequada V pode ser bem ordenada e que cada classe adequada podem ser colocados em correspondência um-para-um com V .

Uma consequência da extensão conservadora é que ZFC e NBG são equiconsistentes . Provar isso usa o princípio da explosão : a partir de uma contradição , tudo é demonstrável. Suponha que ZFC ou NBG seja inconsistente. Então, a teoria inconsistente implica nas afirmações contraditórias ∅ = ∅ e ∅ ≠ ∅, que são afirmações sobre conjuntos. Pela propriedade de extensão conservadora, a outra teoria também implica essas afirmações. Portanto, também é inconsistente. Portanto, embora NBG seja mais expressivo, é equiconsistente com ZFC. Este resultado, juntamente com a prova de consistência relativa de von Neumann de 1929, implica que seu sistema de axiomas de 1925 com o axioma da limitação de tamanho é equiconsistente com ZFC. Isso resolve completamente a preocupação de von Neumann sobre a consistência relativa desse poderoso axioma, uma vez que ZFC está dentro da estrutura cantoriana.

Mesmo que NBG seja uma extensão conservadora de ZFC, um teorema pode ter uma prova mais curta e elegante em NBG do que em ZFC (ou vice-versa). Para uma pesquisa de resultados conhecidos dessa natureza, consulte Pudlák 1998 .

A teoria dos conjuntos de Morse-Kelley tem um esquema axiomático de compreensão de classes que inclui fórmulas cujos quantificadores variam entre as classes. MK é uma teoria mais forte do que NBG porque MK prova a consistência de NBG, enquanto o segundo teorema da incompletude de Gödel implica que NBG não pode provar a consistência de NBG.

Para uma discussão de algumas questões ontológicas e outras questões filosóficas apresentadas por NBG, especialmente quando contrastado com ZFC e MK, consulte o Apêndice C de Potter 2004 .

Modelos

ZFC, NBG e MK têm modelos que podem ser descritos em termos da hierarquia cumulativa V α e da hierarquia construtível L α . Deixe V incluir um cardinal inacessível κ, seja XV κ , e seja Def ( X ) denotar a classe de subconjuntos definíveis de primeira ordem de X com parâmetros. Nos símbolos onde " " denota o modelo com domínio e relação , e " " denota a relação de satisfação :

Então:

  • ( V κ , ∈) e ( L κ , ∈) são modelos de ZFC .
  • ( V κV κ + 1 , ∈) é um modelo de MK onde V κ consiste nos conjuntos do modelo e V κ + 1 consiste nas classes do modelo. Como um modelo de MK é um modelo de NBG, esse modelo também é um modelo de NBG.
  • ( V κ , Def ( V κ ), ∈) é um modelo da versão de Mendelson de NBG, que substitui o axioma de escolha global de NBG pelo axioma de escolha de ZFC. Os axiomas de ZFC são verdadeiros neste modelo porque ( V κ , ∈) é um modelo de ZFC. Em particular, o axioma de escolha do ZFC se mantém, mas a escolha global do NBG pode falhar. Os axiomas de existência de classe de NBG são verdadeiros neste modelo porque as classes cuja existência eles afirmam podem ser definidas por definições de primeira ordem. Por exemplo, o axioma da associação é válido, uma vez que a classe é definida por:
  • ( L κ , L κ + , ∈), onde κ + é o cardinal sucessor de κ, é um modelo de NBG. Os axiomas de existência de classe de NBG são verdadeiros em ( L κL κ + , ∈). Por exemplo, o axioma da associação é válido, uma vez que a classe é definida por:
Portanto, E  ∈ 𝒫 ( L κ ). Em sua prova de que GCH é verdadeiro em L , Gödel provou que 𝒫 ( L κ ) ⊆  L κ + . Portanto, E  ∈  L κ + , então o axioma de pertinência é verdadeiro em ( L κL κ + , ∈). Da mesma forma, os outros axiomas de existência de classe são verdadeiros. O axioma da escolha global é verdadeiro porque L κ é bem ordenado pela restrição da função de Gödel (que mapeia a classe dos ordinais para os conjuntos construtíveis) para os ordinais menores que κ. Portanto, ( L κL κ + , ∈) é um modelo de NBG.

Teoria da categoria

A ontologia do NBG fornece suporte para falar sobre "objetos grandes" sem correr o risco de um paradoxo. Por exemplo, em alguns desenvolvimentos da teoria das categorias , uma " grande categoria " é definida como aquela cujos objetos e morfismos constituem uma classe adequada. Por outro lado, uma "pequena categoria" é aquela cujos objetos e morfismos são membros de um conjunto. Assim, podemos falar da " categoria de todos os conjuntos " ou " categoria de todas as categorias pequenas " sem correr o risco de um paradoxo, uma vez que o NBG oferece suporte a grandes categorias.

No entanto, o NBG não oferece suporte a uma "categoria de todas as categorias", pois grandes categorias seriam membros dela e o NBG não permite que classes adequadas sejam membros de nada. Uma extensão ontológica que nos permite falar formalmente sobre tal "categoria" é o conglomerado , que é uma coleção de classes. Então, a "categoria de todas as categorias" é definida por seus objetos: o conglomerado de todas as categorias; e seus morfismos: o conglomerado de todos os morfismos de A a B, onde A e B são objetos. Sobre se uma ontologia incluindo classes, bem como conjuntos, é adequada para a teoria das categorias, consulte Muller 2001 .

Notas

Referências

Bibliografia

links externos