Esquema de axioma - Axiom schema
Na lógica matemática , um esquema de axioma (plural: esquemas de axioma ou esquemas de axioma ) generaliza a noção de axioma .
Definição formal
Um esquema axiomático é uma fórmula na metalinguagem de um sistema axiomático , em que uma ou mais variáveis esquemáticas aparecem. Essas variáveis, que são construções metalinguísticas, representam qualquer termo ou subfórmula do sistema, que pode ou não ser necessário para satisfazer certas condições. Freqüentemente, tais condições requerem que certas variáveis sejam livres , ou que certas variáveis não apareçam na subfórmula ou termo.
Axiomatização finita
Dado que o número de subfórmulas ou termos possíveis que podem ser inseridos no lugar de uma variável esquemática é contávelmente infinito , um esquema de axioma representa um conjunto infinito de axiomas. Este conjunto geralmente pode ser definido recursivamente . Uma teoria que pode ser axiomatizada sem esquemas é considerada finitamente axiomatizada . Teorias que podem ser axiomatizadas finitamente são vistas como um pouco mais metamatemática elegantes, mesmo que sejam menos práticas para o trabalho dedutivo.
Exemplos
Duas instâncias bem conhecidas de esquemas de axioma são:
- esquema de indução que faz parte dos axiomas de Peano para a aritmética dos números naturais ;
- esquema de substituição do axioma que faz parte da axiomatização ZFC padrão da teoria dos conjuntos .
Czesław Ryll-Nardzewski provou que a aritmética de Peano não pode ser axiomatizada finitamente, e Richard Montague provou que ZFC não pode ser axiomatizada finitamente. Conseqüentemente, os esquemas de axioma não podem ser eliminados dessas teorias. Este também é o caso de algumas outras teorias axiomáticas em matemática, filosofia, linguística, etc.
Teorias finitamente axiomatizadas
Todos os teoremas de ZFC também são teoremas da teoria dos conjuntos de von Neumann – Bernays – Gödel , mas a última pode ser axiomatizada finitamente. A teoria dos conjuntos New Foundations pode ser axiomatizada finitamente, mas apenas com alguma perda de elegância.
Na lógica de ordem superior
Variáveis esquemáticas na lógica de primeira ordem são geralmente elimináveis trivialmente na lógica de segunda ordem , porque uma variável esquemática é freqüentemente um espaço reservado para qualquer propriedade ou relação sobre os indivíduos da teoria. Esse é o caso com os esquemas de indução e substituição mencionados acima. A lógica de ordem superior permite que as variáveis quantificadas abrangem todas as propriedades ou relações possíveis.
Veja também
- Esquema de axioma de separação predicativa
- Esquema de axioma de substituição
- Esquema de especificação do axioma
Notas
Referências
- Corcoran, John (2006), "Schemata: the Concept of Schema in the History of Logic", Bulletin of Symbolic Logic , 12 : 219-240 .
- Corcoran, John (2016). "Esquema" . Em Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy .
- Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4ª ed.), Chapman & Hall, ISBN 0-412-80830-7 .
- Montague, Richard (1961), "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I", em Samuel R. Buss (ed.), Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, pp. 45-69 .
- Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy , Oxford University Press, ISBN 9780199269730 .
- Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "O papel do axioma da indução na aritmética elementar" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239-263 .