Espaço extremamente desconectado - Extremally disconnected space

Em matemática, um espaço extremamente desconectado é um espaço topológico no qual o fechamento de todo conjunto aberto é aberto. (O termo "extremamente desconectado" está correto, embora a palavra " extremamente " não apareça na maioria dos dicionários. O termo extremamente desconectado é algumas vezes usado, mas está incorreto.)

Um espaço extremamente desconectado que também é compacto e de Hausdorff às vezes é chamado de espaço de Stonean . Isso é diferente de um espaço Stone , que geralmente é um espaço compacto de Hausdorff totalmente desconectado . Na dualidade entre os espaços de Stone e as álgebras booleanas , os espaços Stoneanos correspondem às álgebras booleanas completas .

Um espaço de Hausdorff de primeira contagem extremalmente desconectado deve ser discreto . Em particular, para espaços métricos , a propriedade de ser extremamente desconectado (o fechamento de todo conjunto aberto é aberto) é equivalente à propriedade de ser discreto (todo conjunto é aberto).

Exemplos

• Cada espaço discreto está extremamente desconectado. Todo espaço indiscreto está extremalmente desconectado e conectado.
• A compactação Stone-Čech de um espaço discreto é extremamente desconectada.
• O espectro de uma álgebra abeliana de von Neumann está extremamente desconectado.
• Qualquer álgebra AW * comutativa é isomórfica até onde está extremalmente desconectada, compacta e de Hausdorff.${\ displaystyle C (X)}$${\ displaystyle X}$
• Qualquer espaço infinito com a topologia cofinito é extremalmente desconectado e conectado . De maneira mais geral, todo espaço hiperconectado está extremamente desconectado.
• O espaço em três pontos com base fornece um exemplo finito de um espaço que é extremalmente desconectado e conectado.${\ displaystyle \ {\ {x, y \}, \ {x, y, z \} \}}$

Caracterizações equivalentes

Um teorema devido a Gleason (1958) diz que os objetos projetivos da categoria de espaços compactos de Hausdorff são exatamente os espaços compactos de Hausdorff extremalmente desconectados. Uma prova simplificada desse fato é fornecida por Rainwater (1959) .

Um espaço compacto de Hausdorff é extremalmente desconectado se e somente se for uma retração da compactação Stone-Čech de um espaço discreto.

Formulários

Hartig (1983) prova o teorema da representação de Riesz – Markov – Kakutani reduzindo-o ao caso de espaços extremalmente desconectados, caso em que o teorema da representação pode ser provado por meios elementares.

Veja também

• Espaço totalmente desconectado

Referências

• AV Arkhangelskii (2001) [1994], "Extremally-desconectado space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Gleason, Andrew M. (1958), "Projective topological spaces", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482-489, doi : 10.1215 / ijm / 1255454110 , MR  0121775
• Hartig, Donald G. (1983), "O teorema da representação de Riesz revisitado", American Mathematical Monthly , 90 (4): 277-280, doi : 10.2307 / 2975760
• Johnstone, Peter T. (1982). Espaços de pedra . Cambridge University Press. ISBN 0-521-23893-5.
• Rainwater, John (1959), "A Note on Projective Resolutions", Proceedings of the American Mathematical Society , 10 (5): 734-735, doi : 10.2307 / 2033466 , JSTOR  2033466
• Semadeni, Zbigniew (1971), espaços de Banach de funções contínuas. Vol. I , PWN --- Polish Scientific Publishers, Varsóvia, MR  0296671