Cofinitude - Cofiniteness

Em matemática , um subconjunto cofinito de um conjunto X é um subconjunto A cujo complemento em X é um conjunto finito . Em outras palavras, A contém quase muitos elementos de X, exceto um número finito . Se o complemento não é finito, mas é contável, diz-se que o conjunto é co - contável .

Estes surgem naturalmente ao generalizar estruturas em conjuntos finitos para conjuntos infinitos, particularmente em produtos infinitos, como na topologia do produto ou soma direta .

Álgebras booleanas

O conjunto de todos os subconjuntos de X que são finitos ou cofinitos forma uma álgebra booleana , ou seja, é fechado sob as operações de união , interseção e complementação. Esta álgebra booleana é a álgebra finito-cofinite em X . A álgebra booleana Um tem um não-principal único ultrafiltro (ou seja, um mimo de filtro não gerado por um único elemento da álgebra) se e só se houver um conjunto infinito X de tal modo que um é isomorfa a álgebra finito-cofinite em X . Nesse caso, o ultrafiltro não principal é o conjunto de todos os conjuntos de cofinito.

Topologia cofinita

A topologia cofinite (às vezes chamado de topologia complemento finito ) é uma topologia que pode ser definido em cada set X . Ele possui precisamente o conjunto vazio e todos os subconjuntos cofinitos de X como conjuntos abertos. Como consequência, na topologia cofinite, os subconjuntos única fechadas são conjuntos finitos, ou o todo de X . Simbolicamente, escreve-se a topologia como

{\ displaystyle {\ mathcal {T}} = \ {A \ subseteq X \ mid A = \ varnothing {\ mbox {ou}} X \ setminus A {\ mbox {é finito}} \}}

Esta topologia ocorre naturalmente no contexto da topologia Zariski . Como os polinômios em uma variável sobre um campo K são zero em conjuntos finitos, ou o todo de K , a topologia de Zariski em K (considerada como linha afim ) é a topologia cofinita. O mesmo é verdade para qualquer curva algébrica irredutível ; não é verdade, por exemplo, para XY = 0 no plano.

Propriedades

Subespaços: Cada topologia de subespaço da topologia de cofinito também é uma topologia de cofinito.
Compacidade: uma vez que todo conjunto aberto contém quase todos os pontos de X , exceto finitos , o espaço X é compacto e sequencialmente compacto .
Separação: A topologia de cofinito é a topologia mais grosseira que satisfaz o axioma T ₁ ; ou seja, é a menor topologia para a qual cada conjunto de singleton é fechado. Na verdade, uma topologia arbitrária em X satisfaz a T ₁ axioma se e somente se ele contém a topologia cofinite. Se X for finito, então a topologia cofinita é simplesmente a topologia discreta . Se X não é finito, então esta topologia não é T ₂ , regulares ou normais , já que há dois conjuntos abertos não vazios são disjuntos (ou seja, é hiperconectado ).

Topologia de cofinito de ponta dupla

A topologia de cofinito de ponta dupla é a topologia de cofinito com cada ponto duplicado; ou seja, é o produto topológico da topologia cofinito com a topologia indiscreta em um conjunto de dois elementos. Não é T ₀ ou T ₁ , uma vez que os pontos do dupleto são topologicamente indistinguíveis . É, entretanto, R _0, uma vez que os pontos topologicamente distinguíveis são separáveis.

Um exemplo de topologia de cofinito de ponta dupla contável é o conjunto de inteiros pares e ímpares, com uma topologia que os agrupa. Deixe X ser o conjunto de inteiros, e deixe O _A ser um subconjunto dos inteiros cujo complemento é o conjunto A . Defina uma subbase de conjuntos abertos G _x para qualquer inteiro x como G _x = O _{{ x , x +1}} se x for um número par , e G _x = O _{{ x -1, x }} se x for ímpar. Em seguida, os percentuais conjuntos de X são gerados por interseções finitas, ou seja, para finito A , os conjuntos abertos da topologia são

{\ displaystyle U_ {A}: = \ bigcap _ {x \ in A} G_ {x}}

O espaço resultante não é T ₀ (e, portanto, não é T ₁ ), porque os pontos x e x + 1 (para x pares) são topologicamente indistinguíveis. O espaço é, no entanto, um espaço compacto , uma vez que cada U _A contém quase um número finito de pontos.

Outros exemplos

Topologia do produto

A topologia do produto em um produto de espaços topológicos tem base onde é aberta, e cofinitamente numerosa . ${\ displaystyle \ prod X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ prod U_ {i}}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ subseteq X_ {i}}$ ${\ displaystyle U_ {i} = X_ {i}}$

O analógico (sem exigir que cofinitamente muitos sejam todo o espaço) é a topologia de caixa .

Soma direta

Os elementos da soma direta dos módulos são sequências onde cofinitamente muitos . ${\ displaystyle \ bigoplus M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ in M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} = 0}$