Projetiva objeto - Projective object

Na teoria da categoria , a noção de um objeto projetiva generaliza a noção de um módulo projetiva . Objetos projetivas em categorias abelianas são usados em álgebra homológica . A dupla noção de um objeto projetiva é a de um objeto injective .

Um objecto numa categoria é projectiva se por qualquer epimorfismo e morfismo , existe um morfismo de tal modo que , por exemplo os seguintes diagrama comuta: ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ Displaystyle e: E \ twoheadrightarrow X}$ ${\ F displaystyle: P \ a X}$${\ Displaystyle {\ sobrelinhado {f}}: P \ a E}$${\ Displaystyle e \ circ {\ overline {f}} = f}$

Ou seja, a cada morfismo fatores através de todos os epimorfismo .${\ Displaystyle P \ a X}$ ${\ Displaystyle E \ twoheadrightarrow X}$

Em um local pequena categoria , a seguinte declaração é equivalente: é projetiva se o functor hom${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle P}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ cólon {\ mathcal {C}} \ a \ mathbf {Conjunto}}$

preserva epimorfismos .

Vamos ser uma categoria abeliana. Neste contexto, um objeto é chamado de um objeto projetiva se ${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ Displaystyle P \ em {\ mathcal {C}}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ cólon {\ mathcal {C}} \ a \ mathbf {Ab}}$

é um functor exato , onde é a categoria de grupos abelianos . ${\ Displaystyle \ mathbf {Ab}}$

propriedades

• O co-produto de dois objetos projetivas é projetiva.
• O retrair de um objecto projectiva é projectiva.

projetivas suficientes

Vamos ser uma categoria abeliana . é dito ter projetivas suficientes se, para cada objeto de , há um objeto projetiva de e uma sequência exata${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle P \ longrightarrow A \ longrightarrow 0.}$

Em outras palavras, o mapa é "épico", ou um epimorfismo . ${\ Displaystyle p \ cólon P \ a A}$

Exemplos

A afirmação de que todos os conjuntos são projetiva é equivalente ao axioma da escolha .

Os objetos projetivos na categoria de grupos abelian são os grupos abelianos livres .

Vamos ser um anel com 1. Considere o (abelian) categoria de esquerda -modules . Os objetos projetivas em são precisamente os R-módulos projetivas esquerda . Consequentemente, é em si um objeto projetiva em Dually, os objetos injetivas em são exatamente os R-módulos injetivas esquerda . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$

A categoria de esquerda (direita) -modules também tem projetivas suficientes. Isto é verdade, uma vez que, para cada (direita) deixou -module , podemos tomar a ser a livre (e, portanto, projetiva) -module gerada por um grupo gerador para (nós podemos de fato ter que ser ). Em seguida, a projecção canónica é o exigido surjection . ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ pi \ cólon F \ a M}$

Referências

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