Integral de Riemann-Stieltjes - Riemann–Stieltjes integral

Em matemática , a integral de Riemann-Stieltjes é uma generalização da integral de Riemann , em homenagem a Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes . A definição desta integral foi publicada pela primeira vez em 1894 por Stieltjes. Ele serve como um precursor instrutivo e útil da integral de Lebesgue e uma ferramenta inestimável na unificação de formas equivalentes de teoremas estatísticos que se aplicam à probabilidade discreta e contínua.

Definição formal

O Riemann-Stieltjes integrante de uma função real de uma variável real sobre o intervalo com relação a outra função real-to-real é denotada por ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ int _ {x = a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x).}$

Sua definição usa uma sequência de partições do intervalo${\ displaystyle P}$${\ displaystyle [a, b]}$

${\ displaystyle P = \ {a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {n} = b \}.}$

A integral, então, é definida como o limite, conforme a norma (o comprimento do subintervalo mais longo) das partições se aproxima , da soma aproximada ${\ displaystyle 0}$

${\ displaystyle S (P, f, g) = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (c_ {i}) \ left [g (x_ {i + 1}) - g (x_ { eu certo]}$

onde está no i -ésimo subintervalo [ x _i ,  x _{i +1} ]. As duas funções e são chamadas respectivamente de integrando e integrador . Normalmente é considerado monótono (ou pelo menos de variação limitada ) e semicontínuo à direita (no entanto, este último é essencialmente uma convenção). Especificamente, não precisamos ser contínuos, o que permite integrais que têm termos de massa pontual. ${\ displaystyle c_ {i}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$

O "limite" é aqui entendido como um número A (o valor da integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε  > 0, existe δ  > 0 tal que para cada partição P com norma ( P ) <  δ , e para cada escolha de pontos c _i em [ x _i ,  x _{i +1} ],

${\ displaystyle | S (P, f, g) -A | <\ varepsilon. \,}$

Propriedades

A integral de Riemann-Stieltjes admite integração por partes na forma

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x) = f (b) g (b) -f (a) g (a) - \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, \ mathrm {d} f (x)}$

e a existência de uma integral implica a existência da outra.

Por outro lado, um resultado clássico mostra que o integral é bem definidos, se f é α - Hölder contínuas e g seja β -Hölder contínua com α + β > 1  .

Aplicação à teoria da probabilidade

Se g é a função de distribuição de probabilidade cumulativa de uma variável aleatória X que tem uma função de densidade de probabilidade em relação à medida de Lebesgue e f é qualquer função para a qual o valor esperado é finito, então a função de densidade de probabilidade de X é a derivada de g e nós temos ${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [\, \ left | f (X) \ right | \, \ right]}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) g '(x) \, \ mathrm {d} x.}$

Mas essa fórmula não funciona se X não tiver uma função de densidade de probabilidade com relação à medida de Lebesgue. Em particular, não funciona se a distribuição de X for discreta (ou seja, toda a probabilidade é contabilizada por pontos de massa), e mesmo se a função de distribuição cumulativa g for contínua, ela não funcionará se g deixar de ser absolutamente contínua (novamente, a função Cantor pode servir como um exemplo dessa falha). Mas a identidade

${\ displaystyle \ operatorname {E} [f (X)] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}$

vale se g for qualquer função de distribuição de probabilidade cumulativa na linha real, não importa quão malcomportada. Em particular, não importa o quão mal comportada a função de distribuição cumulativa g de uma variável aleatória X , se o momento E ( X ⁿ ) existe, então ele é igual a

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [X ^ {n} \ right] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ^ {n} \, \ mathrm {d} g (x). }$

Aplicação à análise funcional

Os aparece Riemann-Stieltjes integrantes na formulação original do teorema de F. Riesz que representa o espaço dual do espaço de Banach C [ a , b ] de funções contínuas em um intervalo [ a , b ] como integrais Riemann-Stieltjes contra funções de delimitada variação . Posteriormente, esse teorema foi reformulado em termos de medidas.

A integral de Riemann-Stieltjes também aparece na formulação do teorema espectral para operadores autoadjuntos (não compactos) (ou, mais geralmente, normais) em um espaço de Hilbert. Neste teorema, a integral é considerada em relação a uma família espectral de projeções.

Existência do integral

O melhor teorema de existência simples afirma que se f é contínuo eg é de variação limitada em [ a , b ], então a integral existe. Uma função g é de variação limitada se, e somente se, for a diferença entre duas funções monótonas (limitadas). Se g não é de variação limitada, então haverá funções contínuas que não podem ser integradas em relação a g . Em geral, a integral não é bem definida, se f e g partilhar quaisquer pontos de descontinuidade , mas há outros casos também.

Generalização

Uma generalização importante é a integral de Lebesgue – Stieltjes , que generaliza a integral de Riemann – Stieltjes de uma forma análoga a como a integral de Lebesgue generaliza a integral de Riemann. Se integrais impróprios de Riemann-Stieltjes são permitidos, então a integral de Lebesgue não é estritamente mais geral do que a integral de Riemann-Stieltjes.

A integral de Riemann-Stieltjes também generaliza para o caso em que o integrando ƒ ou o integrador g assumem valores em um espaço de Banach . Se g  : [ a , b ] → X assume valores no espaço de Banach X , então é natural supor que é uma variação fortemente limitada , o que significa que

${\ displaystyle \ sup \ sum _ {i} \ | g (t_ {i-1}) - g (t_ {i}) \ | _ {X} <\ infty}$

o supremo sendo assumido por todas as partições finitas

${\ displaystyle a = t_ {0} \ leq t_ {1} \ leq \ cdots \ leq t_ {n} = b}$

do intervalo [ a , b ]. Essa generalização desempenha um papel no estudo de semigrupos , via transformada de Laplace-Stieltjes .

A integral Itô estende a integral Riemann – Stietjes para abranger integrandos e integradores que são processos estocásticos em vez de funções simples; veja também cálculo estocástico .

Integral generalizado de Riemann-Stieltjes

Uma ligeira generalização é considerar na definição acima partições P que refinam outra partição P _ε , significando que P surge de P _ε pela adição de pontos, ao invés de partições com uma malha mais fina. Especificamente, a integral de Riemann-Stieltjes generalizada de f em relação a g é um número A tal que para cada ε  > 0 existe uma partição P _ε tal que para cada partição P que refina P _ε ,

${\ displaystyle | S (P, f, g) -A | <\ varepsilon \,}$

para cada escolha de pontos c _i em [ x _i ,  x _{i +1} ].

Esta generalização exibe a integral de Riemann-Stieltjes como o limite de Moore-Smith no conjunto direcionado de partições de [ a ,  b ].

Uma consequência disso é que com esta definição, a integral podem ainda ser definidos em casos onde f e g têm um ponto de descontinuidade em comum. ${\ textstyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}$

Somas de Darboux

A integral de Riemann-Stieltjes pode ser tratada com eficiência usando uma generalização apropriada das somas de Darboux . Para uma partição P e uma função não decrescente g em [ a ,  b ] defina a soma Darboux superior de f em relação a g por

${\ displaystyle U (P, f, g) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \, \, [\, g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) \, ] \, \ sup _ {x \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x)}$

e a menor soma por

${\ displaystyle L (P, f, g) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \, \, [\, g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) \, ] \, \ inf _ {x \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]} f (x).}$

Então o Riemann-Stieltjes generalizado de f em relação a g existe se e somente se, para cada ε> 0, existe uma partição P tal que

${\ displaystyle U (P, f, g) -L (P, f, g) <\ varepsilon.}$

Além disso, f é Riemann-Stieltjes integrável com respeito a g (no sentido clássico) se

${\ displaystyle \ lim _ {\ operatorname {mesh} (P) \ to 0} [\, U (P, f, g) -L (P, f, g) \,] = 0. \ quad}$

Exemplos e casos especiais

Diferenciável g ( x )

Dado um que é continuamente diferenciável sobre ele pode ser mostrado que não é a igualdade ${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g '(x) \, \ mathrm {d} x}$

onde a integral do lado direito é a integral de Riemann padrão, assumindo que pode ser integrada pela integral de Riemann-Stieltjes. ${\ displaystyle f}$

De maneira mais geral, a integral de Riemann é igual à integral de Riemann – Stieltjes se for a integral de Lebesgue de sua derivada; neste caso, é considerado absolutamente contínuo . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$

Pode ser o caso que tem descontinuidades de salto, ou pode ter zero derivado em quase todos os lugares, embora ainda seja contínuo e crescente (por exemplo, poderia ser a função de Cantor ou "escada do Diabo"), em qualquer um dos casos a integral de Riemann-Stieltjes é não capturado por qualquer expressão envolvendo derivados de g . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g}$

Integral de Riemann

A integral de Riemann padrão é um caso especial da integral de Riemann – Stieltjes onde . ${\ displaystyle g (x) = x}$

Retificador

Considere a função usada no estudo de redes neurais , chamada de unidade linear retificada (ReLU) . Em seguida, o Riemann-Stieltjes pode ser avaliado como ${\ displaystyle g (x) = \ max \ {0, x \}}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x) = \ int _ {g (a)} ^ {g (b)} f (x) \ , \ mathrm {d} x}$

onde a integral do lado direito é a integral de Riemann padrão.

Integração Cavaliere

O princípio de Cavalieri pode ser usado para calcular áreas delimitadas por curvas usando integrais de Riemann-Stieltjes. As faixas de integração de Riemann são substituídas por faixas de formato não retangular. O método é transformar uma "região do Cavaliere" com uma transformação , ou usar como integrando. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle g = h ^ {- 1}}$

Para uma determinada função em um intervalo , uma "função translacional" deve se cruzar exatamente uma vez para qualquer mudança no intervalo. A "região Cavaliere" é, então, delimitada por , a -axis, e . A área da região é então ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle a (y)}$${\ displaystyle (x, f (x))}$${\ displaystyle f (x), a (y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle b (y) = a (y) + (ba)}$

${\ displaystyle \ int _ {a (y)} ^ {b (y)} f (x) \, dx \ = \ \ int _ {a '} ^ {b'} f (x) \, dg (x ),}$onde e são os valores -onde e se cruzam .${\ displaystyle a '}$${\ displaystyle b '}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a (y)}$${\ displaystyle b (y)}$${\ displaystyle f (x)}$

Notas

Referências

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