Por Enflo - Per Enflo

Por Enflo
Enflo em 1972
Nascer	( 20/05/1944 )20 de maio de 1944 (77 anos) Estocolmo , Suécia
Alma mater	Universidade de Estocolmo
Conhecido por	Problema de aproximação da base de Schauder Quinto problema de Hilbert (infinito-dimensional) renorms uniformemente convexos de espaços de Banach super-reflexivos que incorporam espaços métricos ( distorção ilimitada do cubo ) "Concentração" de polinômios em baixo grau Problema do subespaço invariante
Prêmios	O " ganso vivo " de Mazur para resolver o Problema 153 do " Livro Escocês "
Carreira científica
Campos	Análise funcional Teoria do operador Teoria analítica dos números
Instituições	Universidade da Califórnia, Berkeley Stanford University École Polytechnique , Paris The Royal Institute of Technology , Stockholm Kent State University
Orientador de doutorado	Hans Rådström
Alunos de doutorado	Angela Spalsbury Bruce Reznick
Influências	Joram Lindenstrauss Laurent Schwartz
Influenciado	Bernard beauzamy

Per H. Enflo ( sueco:  [ˈpæːr ˈěːnfluː] ; nascido em 20 de maio de 1944) é um matemático sueco que trabalha principalmente com análise funcional , área em que resolve problemas que foram considerados fundamentais. Três desses problemas estavam abertos há mais de quarenta anos:

• O problema de base e o problema de aproximação e mais tarde
• o problema do subespaço invariável para espaços de Banach .

Para resolver esses problemas, a Enflo desenvolveu novas técnicas que foram usadas por outros pesquisadores em análise funcional e teoria do operador por anos. Algumas das pesquisas de Enflo também foram importantes em outros campos matemáticos, como a teoria dos números , e na ciência da computação , especialmente álgebra computacional e algoritmos de aproximação .

Enflo trabalha na Kent State University , onde possui o título de professor universitário. Enflo já ocupou cargos no Instituto Miller para Pesquisa Básica em Ciências da Universidade da Califórnia, Berkeley , Universidade de Stanford , École Polytechnique , ( Paris ) e The Royal Institute of Technology , Estocolmo .

Enflo também é pianista concertista .

Contribuições de Enflo para a análise funcional e teoria do operador

Em matemática , a análise funcional se preocupa com o estudo de espaços vetoriais e operadores que atuam sobre eles. Tem as suas raízes históricas no estudo dos espaços funcionais , em particular nas transformações de funções , como a transformada de Fourier , bem como no estudo das equações diferenciais e integrais . Na análise funcional, uma classe importante de espaços vetoriais consiste nos espaços vetoriais normados completos sobre os números reais ou complexos , que são chamados de espaços de Banach . Um exemplo importante de um espaço de Banach é um espaço de Hilbert , onde a norma surge de um produto interno . Os espaços de Hilbert são de fundamental importância em muitas áreas, incluindo a formulação matemática da mecânica quântica , processos estocásticos e análise de séries temporais . Além de estudar espaços de funções, a análise funcional também estuda os operadores lineares contínuos em espaços de funções.

O quinto problema de Hilbert e os embeddings

Na Universidade de Estocolmo, Hans Rådström sugeriu que Enflo considerasse o quinto problema de Hilbert no espírito da análise funcional. Em dois anos, 1969–1970, Enflo publicou cinco artigos sobre o quinto problema de Hilbert; esses artigos estão reunidos em Enflo (1970), junto com um breve resumo. Alguns dos resultados desses artigos são descritos em Enflo (1976) e no último capítulo de Benyamini e Lindenstrauss .

Aplicações em ciência da computação

As técnicas de Enflo encontraram aplicação na ciência da computação . Os teóricos do algoritmo derivam algoritmos de aproximação que incorporam espaços métricos finitos em espaços euclidianos de baixa dimensão com baixa "distorção" (na terminologia de Gromov para a categoria de Lipschitz ; cf distância de Banach – Mazur ). Problemas de baixa dimensão têm menor complexidade computacional , é claro. Mais importante, se os problemas se encaixam bem no plano euclidiano ou no espaço euclidiano tridimensional , os algoritmos geométricos se tornam excepcionalmente rápidos.

No entanto, tais técnicas de incorporação têm limitações, conforme mostrado pelo teorema de Enflo (1969):

Para cada um , o cubo de Hamming não pode ser incorporado com "distorção " (ou menos) no espaço euclidiano -dimensional se . Consequentemente, o embedding ideal é o embedding natural, que se realiza como um subespaço do espaço euclidiano dimensional.${\ displaystyle m \ geq 2}$ ${\ displaystyle C_ {m}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle 2 ^ {m}}$${\ displaystyle D <{\ sqrt {m}}}$${\ displaystyle \ {0,1 \} ^ {m}}$${\ displaystyle m}$

Este teorema, "encontrado por Enflo [1969], é provavelmente o primeiro resultado mostrando uma distorção ilimitada para embeddings em espaços euclidianos . Enflo considerou o problema de embeddability uniforme entre espaços de Banach , e a distorção foi um dispositivo auxiliar em sua prova."

Geometria dos espaços de Banach

Um espaço uniformemente convexo é um espaço de Banach de modo que, para cada há algum, de modo que para quaisquer dois vetores com e${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta> 0}$${\ displaystyle \ | x \ | \ leq 1}$${\ displaystyle \ | y \ | \ leq 1,}$

${\ displaystyle \ | x + y \ |> 2- \ delta}$

implica que

${\ displaystyle \ | xy \ | <\ epsilon.}$

Intuitivamente, o centro de um segmento de linha dentro da bola unitária deve estar profundamente dentro da bola unitária, a menos que o segmento seja curto.

Em 1972, Enflo provou que "todo espaço super-reflexivo de Banach admite uma norma uniformemente convexa equivalente ".

O problema básico e o ganso de Mazur

Com um artigo publicado em 1973, Per Enflo resolveu três problemas que confundiram os analistas funcionais por décadas: o problema básico de Stefan Banach , o " problema do ganso " de Stanislaw Mazur e o problema de aproximação de Alexander Grothendieck . Grothendieck havia mostrado que seu problema de aproximação era o problema central na teoria dos espaços de Banach e dos operadores lineares contínuos .

Problema básico de Banach

O problema básico foi colocado por Stefan Banach em seu livro Theory of Linear Operators . Banach perguntou se todo espaço separável de Banach tem uma base Schauder .

Um Schauder base ou base contáveis é semelhante ao habitual (Hamel) base de um espaço vectorial ; a diferença é que para as bases de Hamel usamos combinações lineares que são somas finitas , enquanto para as bases de Schauder elas podem ser somas infinitas . Isso torna as bases de Schauder mais adequadas para a análise de espaços vetoriais topológicos de dimensão infinita , incluindo espaços de Banach .

Schauder bases foram descritas por Juliusz Schauder em 1927. Let V denotar um espaço de Banach sobre o campo F . Uma base de Schauder é uma sequência ( b _n ) de elementos de V tal que para cada elemento v ∈ V existe uma sequência única (α _n ) de elementos em F de modo que

${\ displaystyle v = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} \ alpha _ {n} b_ {n} \,}$

onde a convergência é entendida em relação à topologia da norma . As bases de Schauder também podem ser definidas analogamente em um espaço vetorial topológico geral .

Em 1937, o matemático polonês Stanislaw Mazur prometeu um "ganso vivo" como prêmio por resolver o problema 153 no Livro Escocês . Em 1972, Mazur apresentou o ganso a Per Enflo.

Problema 153 no livro escocês: o ganso de Mazur

Em 1972, Stanislaw Mazur concedeu a Enflo o prometido ganso vivo por resolver um problema no livro escocês .

Banach e outros matemáticos poloneses trabalhariam em problemas matemáticos no Scottish Café . Quando um problema era especialmente interessante e sua solução parecia difícil, o problema era anotado no livro de problemas, que logo ficou conhecido como Livro Escocês . Para problemas que pareciam especialmente importantes ou difíceis, ou ambos, o proponente do problema muitas vezes se comprometia a conceder um prêmio por sua solução.

Em 6 de novembro de 1936, Stanislaw Mazur apresentou um problema na representação de funções contínuas. Escrevendo formalmente o problema 153 no Livro Escocês , Mazur prometeu como recompensa um "ganso vivo", um preço especialmente rico durante a Grande Depressão e na véspera da Segunda Guerra Mundial .

Pouco depois, percebeu-se que o problema de Mazur estava intimamente relacionado ao problema de Banach sobre a existência de bases Schauder em espaços separáveis ​​de Banach. A maioria dos outros problemas do Livro Escocês foram resolvidos regularmente. No entanto, houve pouco progresso no problema de Mazur e em alguns outros problemas, que se tornaram famosos como problemas abertos a matemáticos de todo o mundo.

A formulação de Grothendieck do problema de aproximação

O trabalho de Grothendieck sobre a teoria dos espaços de Banach e operadores lineares contínuos introduziu a propriedade de aproximação . Diz-se que um espaço de Banach tem a propriedade de aproximação , se todo operador compacto for um limite de operadores de classificação finita . O contrário é sempre verdade.

Em uma longa monografia, Grothendieck provou que se todo espaço de Banach tivesse a propriedade de aproximação, então todo espaço de Banach teria uma base Schauder. Grothendieck, portanto, concentrou a atenção dos analistas funcionais em decidir se cada espaço de Banach tem a propriedade de aproximação.

Solução da Enflo

Em 1972, Per Enflo construiu um espaço de Banach separável que não possui a propriedade de aproximação e uma base de Schauder. Em 1972, Mazur concedeu um ganso vivo a Enflo em uma cerimônia no Stefan Banach Centre em Varsóvia ; a cerimônia da "recompensa do ganso" foi transmitida para toda a Polônia .

Problema de subespaço invariante e polinômios

Na análise funcional , um dos problemas mais proeminentes era o problema do subespaço invariante , que exigia a avaliação da verdade da seguinte proposição:

Dado um espaço de Banach complexo H de dimensão > 1 e um operador linear limitado T  :  H  →  H , então H tem um subespaço T -invariante fechado não trivial , ou seja, existe um subespaço linear fechado W de H que é diferente de {0 } e H tal que T ( W ) ⊆ W .

Para espaços de Banach , o primeiro exemplo de um operador sem um subespaço invariável foi construído por Enflo. (Para espaços de Hilbert , o problema do subespaço invariante permanece aberto .)

Enflo propôs uma solução para o problema do subespaço invariante em 1975, publicando um esboço em 1976. Enflo submeteu o artigo completo em 1981 e a complexidade e extensão do artigo atrasaram sua publicação para 1987 O longo "manuscrito de Enflo teve uma circulação mundial entre matemáticos" e algumas de suas ideias foram descritas em publicações além de Enflo (1976). Os trabalhos de Enflo inspiraram uma construção semelhante de um operador sem um subespaço invariável, por exemplo, de Beauzamy, que reconheceu as idéias de Enflo.

Na década de 1990, Enflo desenvolveu uma abordagem "construtiva" para o problema do subespaço invariante em espaços de Hilbert.

Desigualdades multiplicativas para polinômios homogêneos

Uma ideia essencial na construção do Enflo era " concentração de polinômios em baixos graus ": para todos os inteiros positivos e , existe tal que para todos os polinômios homogêneos e de graus e (em variáveis), então ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle C (m, n)> 0}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle | PQ | \ geq C (m, n) | P | \, | Q |,}$

onde denota a soma dos valores absolutos dos coeficientes de . A Enflo provou que não depende do número de variáveis . A prova original de Enflo foi simplificada por Montgomery . ${\ displaystyle | P |}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle C (m, n)}$${\ displaystyle k}$

Este resultado foi generalizado para outras normas no espaço vetorial de polinômios homogêneos . Dessas normas, a mais utilizada é a norma Bombieri .

Norma Bombieri

A norma Bombieri é definida em termos do seguinte produto escalar : Para todos nós temos ${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N}}$

${\ displaystyle \ langle X ^ {\ alpha} | X ^ {\ beta} \ rangle = 0}$ E se ${\ displaystyle \ alpha \ neq \ beta}$

Para cada um que definimos${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {N}}$${\ displaystyle || X ^ {\ alpha} || ^ {2} = {\ frac {| \ alpha |!} {\ alpha!}},}$

onde usamos a seguinte notação: if , we write and and${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {N}) \ in \ mathbb {N} ^ {N}}$${\ displaystyle | \ alpha | = \ Sigma _ {i = 1} ^ {N} \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle \ alpha! = \ Pi _ {i = 1} ^ {N} (\ alpha _ {i}!)}$${\ displaystyle X ^ {\ alpha} = \ Pi _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}.}$

A propriedade mais notável desta norma é a desigualdade de Bombieri:

Sejam dois polinômios homogêneos respectivamente de grau e com variáveis, então, a seguinte desigualdade se mantém: ${\ displaystyle P, Q}$${\ displaystyle d ^ {\ circ} (P)}$${\ displaystyle d ^ {\ circ} (Q)}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {\ circ} (P)! d ^ {\ circ} (Q)!} {(d ^ {\ circ} (P) + d ^ {\ circ} (Q)) !}} || P || ^ {2} \, || Q || ^ {2} \ leq || P \ cdot Q || ^ {2} \ leq || P || ^ {2} \, || Q || ^ {2}.}$

Na afirmação acima, a desigualdade de Bombieri é a desigualdade do lado esquerdo; a desigualdade do lado direito significa que a norma de Bombieri é uma norma da álgebra de polinômios sob multiplicação.

A desigualdade de Bombieri implica que o produto de dois polinômios não pode ser arbitrariamente pequeno, e esse limite inferior é fundamental em aplicações como a fatoração de polinômios (ou na construção de um operador sem um subespaço invariante pelo Enflo).

Formulários

A ideia de Enflo de "concentração de polinômios em graus baixos" levou a importantes publicações na teoria dos números , geometria algébrica e diofantina e fatoração polinomial .

Biologia matemática: dinâmica populacional

Em matemática aplicada , Per Enflo publicou vários artigos em biologia matemática , especificamente em dinâmica populacional .

Evolução humana

Enflo também publicou publicações em genética populacional e paleoantropologia .

Hoje, todos os humanos pertencem a uma população de Homo sapiens sapiens , que é individualizada por barreira de espécies. No entanto, de acordo com o modelo "Fora da África", esta não é a primeira espécie de hominídeo: a primeira espécie do gênero Homo , Homo habilis , evoluiu na África Oriental pelo menos 2 Ma, e membros desta espécie povoaram diferentes partes da África em um tempo relativamente curto. O Homo erectus evoluiu mais de 1,8 Ma, e por volta de 1,5 Ma já havia se espalhado pelo Velho Mundo .

Os antropólogos estão divididos quanto a se a população humana atual evoluiu como uma população interconectada (conforme postulado pela hipótese da evolução multirregional ) ou se evoluiu apenas na África Oriental, especiou e, em seguida, migrou para fora da África e substituiu as populações humanas na Eurásia (chamada de " Modelo Fora da África ou Modelo de Substituição Completa).

Neandertais e humanos modernos coexistiram na Europa por vários milhares de anos, mas a duração desse período é incerta. Os humanos modernos podem ter migrado pela primeira vez para a Europa há 40-43.000 anos. Os neandertais podem ter vivido até 24.000 anos atrás em refúgios na costa sul da Península Ibérica, como a Caverna de Gorham . A interestratificação de restos mortais de Neandertal e humanos modernos foi sugerida, mas é contestada.

Com Hawks e Wolpoff , Enflo publicou uma explicação de evidências fósseis no DNA de humanos modernos e de Neandertal . Este artigo tenta resolver um debate na evolução dos humanos modernos entre teorias que sugerem origens multirregionais e únicas da África . Em particular, a extinção dos neandertais pode ter acontecido devido a ondas de humanos modernos que entraram na Europa - em termos técnicos, devido ao "influxo contínuo de DNA humano moderno no pool genético dos neandertais".

Enflo também escreveu sobre a dinâmica populacional dos mexilhões-zebra no Lago Erie .

Um pianista de concerto , Per Enflo estreou no Stockholm Concert Hall em 1963.

Piano

Per Enflo também é pianista concertista .

Uma criança prodígio na música e na matemática, Enflo venceu o concurso sueco para jovens pianistas aos 11 anos em 1956, e venceu o mesmo concurso em 1961. Aos 12 anos, Enflo apareceu como solista na Royal Opera Orchestra of Sweden. Ele estreou no Stockholm Concert Hall em 1963. Os professores de Enflo incluíam Bruno Seidlhofer , Géza Anda e Gottfried Boon (que também foi aluno de Arthur Schnabel).

Em 1999 Enflo competiu na primeira anual Van Cliburn Foundation 's Concurso Internacional de Piano de Circulação Amadores .

Enflo se apresenta regularmente em Kent e em uma série de Mozart em Columbus, Ohio (com a Triune Festival Orchestra). Seus recitais de piano solo apareceram na Classics Network da estação de rádio WOSU , que é patrocinada pela Ohio State University .

Referências

Notas

• " Anunciados os vencedores do Prêmio Escolar Distinto de 2005 na Kent State University ", eInside , 2005-4-11. Página visitada em 4 de fevereiro de 2007.

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Fontes externas

• Biografia de Per Enflo no Canisius College
• Página inicial do Per Enflo na Kent State University
• Enflo, Per (25 de abril de 2011). “Notas pessoais, em minhas próprias palavras” . perenflo.com. Arquivado do original em 26 de abril de 2012 . Página visitada em 13 de dezembro de 2011 .

Bancos de dados

• Per Enflo no Projeto Genealogia da Matemática
• Google Scholar . "Por Enflo" . Página visitada em 2010-05-15 .
• Revisões matemáticas . "Por Enflo" . Página visitada em 2010-05-14 .