Divisão longa - Long division
Em aritmética , a divisão longa é um algoritmo de divisão padrão adequado para dividir numerais arábicos de vários dígitos ( notação posicional ) que é simples o suficiente para ser executado à mão. Ele divide um problema de divisão em uma série de etapas mais fáceis.
Como em todos os problemas de divisão, um número, denominado dividendo , é dividido por outro, denominado divisor , produzindo um resultado denominado quociente . Ele permite que cálculos envolvendo números arbitrariamente grandes sejam executados seguindo uma série de etapas simples. A forma abreviada de divisão longa é chamada de divisão curta , que quase sempre é usada em vez da divisão longa quando o divisor tem apenas um dígito. Chunking (também conhecido como método de quocientes parciais ou método da forca) é uma forma menos mecânica de divisão longa proeminente no Reino Unido, que contribui para um entendimento mais holístico sobre o processo de divisão.
Embora algoritmos relacionados existam desde o século 12 DC, o algoritmo específico em uso moderno foi introduzido por Henry Briggs c. 1600 DC.
Educação
Calculadoras e computadores baratos tornaram-se a maneira mais comum de resolver problemas de divisão, eliminando um exercício matemático tradicional e diminuindo a oportunidade educacional de mostrar como fazê-lo por meio de técnicas de papel e lápis. (Internamente, esses dispositivos usam um de uma variedade de algoritmos de divisão , os mais rápidos entre os quais contam com aproximações e multiplicações para realizar as tarefas). Nos Estados Unidos, a divisão longa tem sido especialmente direcionada para a redução, ou mesmo eliminação do currículo escolar, pela reforma da matemática , embora tradicionalmente introduzida na 4ª ou 5ª série.
Método
Em países de língua inglesa, a divisão longa não usa a barra de divisão ⟨ ∕ ⟩ ou os símbolos de sinal de divisão ⟨÷⟩, mas, em vez disso, constrói um quadro . O divisor é separado do dividendo por um parêntese direito ⟨ ) ⟩ ou barra vertical ⟨ | ⟩; o dividendo é separado do quociente por um vínculo (ou seja, uma barra superior ). A combinação desses dois símbolos às vezes é conhecida como símbolo de divisão longa ou colchete de divisão . Ele se desenvolveu no século 18 a partir de uma notação anterior de linha única separando o dividendo do quociente por um parêntese esquerdo .
O processo é iniciado dividindo o dígito mais à esquerda do dividendo pelo divisor. O quociente (arredondado para um inteiro) torna-se o primeiro dígito do resultado e o restante é calculado (esta etapa é notada como uma subtração). Este resto é transportado para a frente quando o processo é repetido no dígito seguinte do dividendo (notado como 'baixando' o próximo dígito para o resto). Quando todos os dígitos tiverem sido processados e nenhum resto for deixado, o processo estará concluído.
Um exemplo é mostrado abaixo, representando a divisão de 500 por 4 (com um resultado de 125).
125 (Explanations) 4)500 4 ( 4 × 1 = 4) 10 ( 5 - 4 = 1) 8 ( 4 × 2 = 8) 20 (10 - 8 = 2) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)
Uma análise mais detalhada das etapas é a seguinte:
- Encontre a menor sequência de dígitos começando da extremidade esquerda do dividendo, 500, em que o divisor 4 entra pelo menos uma vez. Neste caso, este é simplesmente o primeiro dígito, 5. O maior número pelo qual o divisor 4 pode ser multiplicado sem exceder 5 é 1, então o dígito 1 é colocado acima de 5 para começar a construir o quociente.
- A seguir, o 1 é multiplicado pelo divisor 4, para obter o maior número inteiro que é um múltiplo do divisor 4 sem exceder o 5 (4 neste caso). Este 4 é então colocado sob e subtraído do 5 para obter o restante, 1, que é colocado sob o 4 sob o 5.
- Posteriormente, o primeiro dígito ainda não utilizado no dividendo, neste caso o primeiro dígito 0 após o 5, é copiado diretamente abaixo de si mesmo e ao lado do restante 1, para formar o número 10.
- Neste ponto, o processo é repetido o suficiente para chegar a um ponto de parada: O maior número pelo qual o divisor 4 pode ser multiplicado sem exceder 10 é 2, então 2 é escrito acima como o segundo dígito quociente mais à esquerda. Este 2 é então multiplicado pelo divisor 4 para obter 8, que é o maior múltiplo de 4 que não excede 10; portanto, 8 é escrito abaixo de 10, e a subtração 10 menos 8 é realizada para obter o restante 2, que é colocado abaixo de 8.
- O próximo dígito do dividendo (o último 0 em 500) é copiado diretamente abaixo de si mesmo e próximo ao restante 2 para formar 20. Em seguida, o maior número pelo qual o divisor 4 pode ser multiplicado sem exceder 20, que é 5, é colocado acima como o terceiro dígito quociente mais à esquerda. Este 5 é multiplicado pelo divisor 4 para obter 20, que é escrito abaixo e subtraído dos 20 existentes para render o restante 0, que é então escrito abaixo do segundo 20.
- Neste ponto, como não há mais dígitos para diminuir do dividendo e o resultado da última subtração foi 0, podemos ter certeza de que o processo terminou.
Se o último resto quando ficamos sem dígitos dos dividendos fosse algo diferente de 0, teria havido dois cursos de ação possíveis:
- Poderíamos simplesmente parar por aí e dizer que o dividendo dividido pelo divisor é o quociente escrito no topo com o resto escrito na parte inferior, e escrever a resposta como o quociente seguido por uma fração que é o resto dividido pelo divisor.
- Poderíamos estender o dividendo escrevendo-o como, digamos, 500.000 ... e continuar o processo (usando um ponto decimal no quociente diretamente acima do ponto decimal no dividendo), a fim de obter uma resposta decimal, como a seguir exemplo.
31.75 4)127.00 12 (12 ÷ 4 = 3) 07 (0 remainder, bring down next figure) 4 (7 ÷ 4 = 1 r 3) 3.0 (bring down 0 and the decimal point) 2.8 (7 × 4 = 28, 30 ÷ 4 = 7 r 2) 20 (an additional zero is brought down) 20 (5 × 4 = 20) 0
Neste exemplo, a parte decimal do resultado é calculada continuando o processo além do dígito das unidades, "diminuindo" os zeros como sendo a parte decimal do dividendo.
Este exemplo também ilustra que, no início do processo, uma etapa que produz um zero pode ser omitida. Como o primeiro dígito 1 é menor que o divisor 4, a primeira etapa é executada nos primeiros dois dígitos 12. Da mesma forma, se o divisor fosse 13, seria realizada a primeira etapa em 127 em vez de 12 ou 1.
Procedimento básico para divisão longa de n ÷ m
- Encontre a localização de todas as casas decimais no dividendo ne divisor m .
- Se necessário, simplifique o problema da divisão longa movendo os decimais do divisor e do dividendo pelo mesmo número de casas decimais, para a direita (ou para a esquerda), de modo que o decimal do divisor fique à direita do último dígito .
- Ao fazer uma divisão longa, mantenha os números alinhados de cima para baixo sob o quadro.
- Após cada etapa, certifique-se de que o restante dessa etapa seja menor que o divisor. Se não for, há três problemas possíveis: a multiplicação está errada, a subtração está errada ou é necessário um quociente maior.
- No final, o restante, r , é adicionado ao quociente de crescimento como uma fração , r / m .
Propriedade invariável e correção
A apresentação básica das etapas do processo (acima) enfoca quais etapas devem ser realizadas, ao invés das propriedades dessas etapas que garantem que o resultado será correto (especificamente, que q × m + r = n , onde q é o quociente final er o resto final). Uma ligeira variação de apresentação requer mais escrita e requer que alteremos, em vez de apenas atualizar, os dígitos do quociente, mas podemos esclarecer por que essas etapas realmente produzem a resposta certa, permitindo a avaliação de q × m + r no intermediário pontos no processo. Isso ilustra a propriedade chave usada na derivação do algoritmo (abaixo) .
Especificamente, alteramos o procedimento básico acima para preencher o espaço após os dígitos do quociente em construção com 0's, pelo menos até a casa dos 1s, e incluir esses 0s nos números que escrevemos abaixo do colchete de divisão.
Isso nos permite manter uma relação invariante a cada passo: q × m + r = n , onde q é o quociente parcialmente construído (acima do colchete de divisão) er o resto parcialmente construído (número inferior abaixo do colchete de divisão). Observe que, inicialmente q = 0 e r = n , portanto, essa propriedade é válida inicialmente; o processo reduz r e aumenta q a cada passo, eventualmente parando quando r <m se buscarmos a resposta na forma de quociente + resto inteiro.
Revisitando o exemplo 500 ÷ 4 acima, encontramos
125 (q, changes from 000 to 100 to 120 to 125 as per notes below) 4)500 400 ( 4 × 100 = 400) 100 (500 - 400 = 100; now q=100, r=100; note q×4+r = 500.) 80 ( 4 × 20 = 80) 20 (100 - 80 = 20; now q=120, r= 20; note q×4+r = 500.) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 ( 20 - 20 = 0; now q=125, r= 0; note q×4+r = 500.)
Exemplo com divisor de vários dígitos
Um divisor de qualquer número de dígitos pode ser usado. Neste exemplo, 1260257 deve ser dividido por 37. Primeiro, o problema é configurado da seguinte forma:
37)1260257
Os dígitos do número 1260257 são obtidos até que um número maior ou igual a 37 ocorra. Portanto, 1 e 12 são menores que 37, mas 126 é maior. Em seguida, o maior múltiplo de 37 menor ou igual a 126 é calculado. Portanto, 3 × 37 = 111 <126, mas 4 × 37> 126. O múltiplo 111 está escrito abaixo do 126 e o 3 está escrito no topo onde a solução aparecerá:
3 37)1260257 111
Observe cuidadosamente em qual coluna de valor local esses dígitos estão escritos. O 3 no quociente vai para a mesma coluna (casa de dez mil) que o 6 no dividendo 1260257, que é a mesma coluna do último dígito de 111.
O 111 é então subtraído da linha acima, ignorando todos os dígitos à direita:
3 37)1260257 111 15
Agora, o dígito do próximo valor de casa menor do dividendo é copiado e anexado ao resultado 15:
3 37)1260257 111 150
O processo se repete: o maior múltiplo de 37 menor ou igual a 150 é subtraído. Isso é 148 = 4 × 37, então um 4 é adicionado ao topo como o próximo dígito quociente. Em seguida, o resultado da subtração é estendido por outro dígito retirado do dividendo:
34 37)1260257 111 150 148 22
O maior múltiplo de 37 menor ou igual a 22 é 0 × 37 = 0. Subtraindo 0 de 22 resulta em 22, muitas vezes não escrevemos a etapa de subtração. Em vez disso, simplesmente pegamos outro dígito do dividendo:
340 37)1260257 111 150 148 225
O processo é repetido até que 37 divida a última linha exatamente:
34061 37)1260257 111 150 148 225 222 37
Modo misto de divisão longa
Para moedas não decimais (como o sistema sd britânico antes de 1971) e medidas (como avoirdupois ) , a divisão de modo misto deve ser usada. Considere dividir 50 milhas com 600 jardas em 37 peças:
mi - yd - ft - in 1 - 634 1 9 r. 15" 37) 50 - 600 - 0 - 0 37 22880 66 348 13 23480 66 348 1760 222 37 333 22880 128 29 15 ===== 111 348 == 170 === 148 22 66 ==
Cada uma das quatro colunas é trabalhada separadamente. Começando com as milhas: 50/37 = 1 resto 13. Nenhuma divisão adicional é possível, então faça uma longa multiplicação por 1.760 para converter milhas em jardas, o resultado é 22.880 jardas. Leve isso para o topo da coluna de jardas e adicione-as aos 600 jardas no dividendo, resultando em 23.480. A divisão longa de 23.480 / 37 agora procede normalmente, rendendo 634 com o restante 22. O restante é multiplicado por 3 para obter os pés e carregado até a coluna dos pés. A divisão longa dos pés dá 1 resto 29, que é então multiplicado por doze para obter 348 polegadas. A divisão longa continua com o resto final de 15 polegadas sendo mostrado na linha de resultado.
Interpretação de resultados decimais
Quando o quociente não é um número inteiro e o processo de divisão é estendido além da vírgula decimal, uma de duas coisas pode acontecer:
- O processo pode terminar, o que significa que um resto de 0 é alcançado; ou
- Um resto pode ser alcançado que é idêntico a um resto anterior que ocorreu depois que as casas decimais foram escritas. No último caso, continuar o processo seria inútil, porque daquele ponto em diante a mesma sequência de dígitos apareceria no quociente continuamente. Assim, uma barra é desenhada sobre a sequência de repetição para indicar que ela se repete para sempre (ou seja, todo número racional é um decimal final ou repetitivo ).
Notação em países de língua não inglesa
China, Japão e Coréia usam a mesma notação que as nações de língua inglesa, incluindo a Índia. Em outros lugares, os mesmos princípios gerais são usados, mas as figuras costumam ser organizadas de maneira diferente.
América latina
Na América Latina (exceto Argentina , Bolívia , México , Colômbia , Paraguai , Venezuela , Uruguai e Brasil ), o cálculo é quase exatamente o mesmo, mas é escrito de forma diferente conforme mostrado abaixo com os mesmos dois exemplos usados acima. Normalmente, o quociente é escrito sob uma barra desenhada sob o divisor. Uma longa linha vertical às vezes é desenhada à direita dos cálculos.
500 ÷ 4 = 125 (Explanations) 4 ( 4 × 1 = 4) 10 ( 5 - 4 = 1) 8 ( 4 × 2 = 8) 20 (10 - 8 = 2) 20 ( 4 × 5 = 20) 0 (20 - 20 = 0)
e
127 ÷ 4 = 31.75 124 30 (bring down 0; decimal to quotient) 28 (7 × 4 = 28) 20 (an additional zero is added) 20 (5 × 4 = 20) 0
No México , a notação mundial anglófona é usada, exceto que apenas o resultado da subtração é anotado e o cálculo é feito mentalmente, conforme mostrado abaixo:
125 (Explanations) 4)500 10 ( 5 - 4 = 1) 20 (10 - 8 = 2) 0 (20 - 20 = 0)
Na Bolívia , Brasil , Paraguai , Venezuela , Canadá de língua francesa , Colômbia e Peru , a notação europeia (veja abaixo) é usada, exceto que o quociente não é separado por uma linha vertical, conforme mostrado abaixo:
127|4 −124 31,75 30 −28 20 −20 0
O mesmo procedimento se aplica no México , Uruguai e Argentina , apenas o resultado da subtração é anotado e o cálculo é feito mentalmente.
Eurásia
Na Espanha, Itália, França, Portugal, Lituânia, Romênia, Turquia, Grécia, Bélgica, Bielo-Rússia, Ucrânia e Rússia, o divisor está à direita do dividendo e separado por uma barra vertical. A divisão também ocorre na coluna, mas o quociente (resultado) é escrito abaixo do divisor e separado pela linha horizontal. O mesmo método é usado no Irã, Vietnã e Mongólia.
127|4 −124|31,75 30 −28 20 −20 0
Em Chipre, assim como na França, uma longa barra vertical separa o dividendo e subtrações subsequentes do quociente e divisor, como no exemplo abaixo de 6359 dividido por 17, que é 374 com um resto de 1.
6 |
3 |
5 |
9 |
17 |
- 5 |
1 |
374 |
||
1 | 2 | 5 |
|
|
- 1 | 1 | 9 |
|
|
6 | 9 |
|
||
- |
6 |
8 |
|
|
1 |
|
Os números decimais não são divididos diretamente, o dividendo e o divisor são multiplicados por uma potência de dez, de modo que a divisão envolve dois números inteiros. Portanto, se alguém estivesse dividindo 12,7 por 0,4 (vírgulas sendo usadas em vez de casas decimais), o dividendo e o divisor seriam primeiro alterados para 127 e 4 e, em seguida, a divisão continuaria como acima.
Na Áustria , Alemanha e Suíça , a forma de notação de uma equação normal é usada. <dividendo>: <divisor> = <quociente>, com os dois pontos ":" denotando um símbolo de infixo binário para o operador de divisão (análogo a "/" ou "÷"). Nessas regiões, o separador decimal é escrito como uma vírgula. (cf. a primeira seção dos países latino-americanos acima, onde é feito praticamente da mesma maneira):
127 : 4 = 31,75 −12 07 −4 30 −28 20 −20 0
A mesma notação é adotada na Dinamarca , Noruega , Bulgária , Macedônia do Norte , Polônia , Croácia , Eslovênia , Hungria , República Tcheca , Eslováquia , Vietnã e na Sérvia .
Na Holanda , a seguinte notação é usada:
12 / 135 \ 11,25 12 15 12 30 24 60 60 0
Algoritmo para base arbitrária
Cada número natural pode ser representado exclusivamente em uma base de número arbitrário como uma sequência de dígitos onde para todos , onde é o número de dígitos em . O valor de em termos de seus dígitos e a base é
Let ser o dividendo e ser o divisor, onde é o número de dígitos em . Se , então e . Caso contrário, iteramos de , antes de parar.
Para cada iteração , seja o quociente extraído até agora, seja o dividendo intermediário, seja o resto intermediário, seja o próximo dígito do dividendo original e seja o próximo dígito do quociente. Por definição de dígitos de base , . Por definição de resto ,. Todos os valores são números naturais. Nós iniciamos
os primeiros dígitos de .
A cada iteração, as três equações são verdadeiras:
Só existe um tal que .
De acordo com a definição do restante ,
Para o lado esquerdo da desigualdade, selecionamos o maior, de modo que
Sempre há um maior , porque e se , então
mas porque , , , isso é sempre verdade. Para o lado direito da desigualdade, assumimos que existe um menor, tal que
Uma vez que este é o menor que a desigualdade é verdadeira, isso deve significar que para
que é exatamente igual ao lado esquerdo da desigualdade. Assim ,. Como sempre existirá, assim será igual a , e só há um único que é válido para a desigualdade. Assim, provamos a existência e a singularidade de .
O quociente final é e o resto final é
Exemplos
Na base 10 , usando o exemplo acima com e , os valores iniciais e .
0 | 2 | 0 | |||
1 | 6 | 3 | |||
2 | 0 | 4 | |||
3 | 2 | 0 | |||
4 | 5 | 6 | |||
5 | 7 | 1 |
Assim, e .
Na base 16 , com e , os valores iniciais são e .
0 | 4 | ||||
1 | 1 | 8 | |||
2 | 2 | ||||
3 | 4 | ||||
4 | 5 |
Assim, e .
Se não houver tabelas de adição , subtração ou multiplicação para a base b memorizadas, este algoritmo ainda funcionará se os números forem convertidos para decimais e no final forem convertidos de volta para a base b . Por exemplo, com o exemplo acima,
e
com . Os valores iniciais são e .
0 | 4 | ||||
1 | 1 | 8 | |||
2 | 2 | ||||
3 | 4 | ||||
4 | 5 |
Assim, e .
Esse algoritmo pode ser feito usando o mesmo tipo de notações feitas em lápis e papel, conforme mostrado nas seções acima.
d8f45 r. 5 12 ) f412df ea a1 90 112 10e 4d 48 5f 5a 5
Quocientes racionais
Se o quociente não for restrito a um número inteiro, o algoritmo não termina por . Em vez disso, se então por definição. Se o resto for igual a zero em qualquer iteração, então o quociente é uma fração -adic e é representado como uma expansão decimal finita na notação posicional de base . Caso contrário, ainda é um número racional, mas não um racional -adic e, em vez disso, é representado como uma expansão decimal repetida infinita na notação posicional de base .
Divisão binária
O cálculo dentro do sistema numérico binário é mais simples, porque cada dígito no curso só pode ser 1 ou 0 - nenhuma multiplicação é necessária, pois a multiplicação por ambos resulta no mesmo número ou zero .
Se isso fosse em um computador, a multiplicação por 10 pode ser representada por um deslocamento de bits de 1 para a esquerda, e a descoberta se reduz à operação lógica , onde verdadeiro = 1 e falso = 0. Com cada iteração , as seguintes operações são feitas :
Por exemplo, com e , os valores iniciais são e .
0 | 1 | 1011 | 0 | 1011 - 0 = 1011 | 0 |
1 | 1 | 10111 | 1 | 10111 - 1101 = 1010 | 1 |
10 | 0 | 10100 | 1 | 10100 - 1101 = 111 | 11 |
11 | 0 | 1110 | 1 | 1110 - 1101 = 1 | 111 |
100 | 1 | 11 | 0 | 11 - 0 = 11 | 1110 |
Assim, e .
atuação
Em cada iteração, a tarefa mais demorada é selecionar . Sabemos que existem valores possíveis, então podemos encontrar usando comparações . Cada comparação exigirá uma avaliação . Let Ser o número de dígitos no dividendo e ser o número de dígitos no divisor . O número de dígitos em . A multiplicação de é , portanto , e da mesma forma a subtração de . Portanto, é preciso selecionar . O restante do algoritmo são adição e da mudança de dígito e para o dígito à esquerda, e por isso leva tempo e da base , de modo que cada iteração leva , ou apenas . Para todos os dígitos, o algoritmo leva tempo , ou na base .
Generalizações
Números racionais
A divisão longa de inteiros pode ser facilmente estendida para incluir dividendos não inteiros, desde que sejam racionais . Isso ocorre porque todo número racional tem uma expansão decimal recorrente . O procedimento também pode ser estendido para incluir divisores que têm uma expansão decimal finita ou final (isto é, frações decimais ). Nesse caso, o procedimento envolve a multiplicação do divisor e do dividendo pela potência de dez apropriada de modo que o novo divisor seja um inteiro - aproveitando o fato de que a ÷ b = ( ca ) ÷ ( cb ) - e procedendo como acima.
Polinômios
Uma versão generalizada desse método chamada divisão longa polinomial também é usada para dividir polinômios (às vezes usando uma versão abreviada chamada divisão sintética ).
Veja também
- Algorismo
- Aritmética de precisão arbitrária
- Multiplicação e divisão egípcia
- Aritmética elementar
- Divisão de Fourier
- Divisão longa polinomial
- Mudança do algoritmo de raiz enésima - para encontrar a raiz quadrada ou qualquer enésima raiz de um número
- Divisão curta