Conclusão de um anel - Completion of a ring

Em álgebra abstrata , uma conclusão é qualquer um dos vários functores relacionados em anéis e módulos que resultam em anéis e módulos topológicos completos . A completação é semelhante à localização e, juntas, estão entre as ferramentas mais básicas na análise de anéis comutativos . Os anéis comutativos completos têm uma estrutura mais simples do que os gerais, e o lema de Hensel se aplica a eles. Na geometria algébrica , a conclusão de um anel de funções R em um espaço X concentra-se em uma vizinhança formal de um ponto de X : heuristicamente, esta é uma vizinhança tão pequena que todas as séries de Taylor centradas no ponto são convergentes. Uma completação algébrica é construída de maneira análoga à completação de um espaço métrico com sequências de Cauchy , e concorda com ela no caso em que R tem uma métrica dada por um valor absoluto não arquimediano .

Construção geral

Suponha que E seja um grupo abeliano com uma filtragem descendente

${\ displaystyle E = F ^ {0} E \ supset F ^ {1} E \ supset F ^ {2} E \ supset \ cdots \,}$

de subgrupos. Em seguida, define-se a conclusão (com relação à filtração) como o limite inverso :

${\ displaystyle {\ widehat {E}} = \ varprojlim (E / F ^ {n} E). \,}$

Este é novamente um grupo abeliano. Normalmente E é um grupo abeliano aditivo . Se E tem estrutura algébrica adicional compatível com a filtração, por exemplo E é um anel filtrado , um módulo filtrado ou um espaço vetorial filtrado , então sua conclusão é novamente um objeto com a mesma estrutura que está completa na topologia determinada pela filtração . Esta construção pode ser aplicada a anéis comutativos e não comutativos . Como pode ser esperado, quando a interseção do igual a zero, isso produz um anel topológico completo . ${\ displaystyle F ^ {i} E}$

Topologia de Krull

Em álgebra conmutativo , a filtração sobre um anel conmutativo R pelas potências de uma adequada ideal que determina a topologia Krull (após Wolfgang Krull ) ou I topologia -adic em R . O caso de um ideal máximo é especialmente importante, por exemplo, o ideal máximo distinto de um anel de avaliação . A base das vizinhanças abertas de 0 em R é dada pelas potências I ⁿ , que são aninhadas e formam uma filtragem descendente em R : ${\ displaystyle I = {\ mathfrak {m}}}$

${\ displaystyle F ^ {0} R = R \ supset I \ supset I ^ {2} \ supset \ cdots, \ quad F ^ {n} R = I ^ {n}.}$

(Vizinhanças abertas de qualquer r ∈ R são dadas pelos cosets r + I ⁿ .) A conclusão é o limite inverso dos anéis do fator ,

${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I} = \ varprojlim (R / I ^ {n})}$

pronunciado "chapéu RI". O núcleo do mapa canónica π do anel para a sua conclusão, é a intersecção das potências de I . Assim, π é injetivo se e somente se essa interseção se reduzir ao elemento zero do anel; pelo teorema de interseção de Krull , este é o caso para qualquer anel noetheriano comutativo que seja um domínio integral ou um anel local .

Há uma topologia relacionada nos módulos R , também chamada de Krull ou topologia I - adic . Uma base de vizinhanças abertas de um módulo M é dada pelos conjuntos do formulário

${\ displaystyle x + I ^ {n} M \ quad {\ text {para}} x \ em M.}$

A conclusão de um R- módulo M é o limite inverso dos quocientes

${\ displaystyle {\ widehat {M}} _ {I} = \ varprojlim (M / I ^ {n} M).}$

Este procedimento converte qualquer módulo ao longo R para um completo módulo topológica sobre . ${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {I}}$

Exemplos

• O anel dos inteiros p -adicos é obtido completando o anel dos inteiros no ideal ( p ).${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

• Seja R = K [ x ₁ , ..., x _n ] o anel polinomial em n variáveis ​​sobre um campo K e o ideal máximo gerado pelas variáveis. Então a conclusão é o anel K [[ x ₁ , ..., x _n ]] da série de poder formais em n variáveis mais de K .${\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle {\ widehat {R}} _ {\ mathfrak {m}}}$

• Dado um anel noetheriano e um ideal, a conclusão -adic de é uma imagem de um anel de série de poder formal, especificamente, a imagem da sobreposição${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I = (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}),}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} R [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]] \ to {\ widehat {R}} _ {I} \\ x_ {i} \ mapsto f_ {i } \ end {casos}}}$

O kernel é o ideal ${\ displaystyle (x_ {1} -f_ {1}, \ ldots, x_ {n} -f_ {n}).}$

As completações também podem ser usadas para analisar a estrutura local das singularidades de um esquema . Por exemplo, os esquemas afins associados à curva do plano cúbico nodal têm singularidades de aparência semelhantes na origem ao visualizar seus gráficos (ambos parecem um sinal de mais). Observe que, no segundo caso, qualquer vizinhança de Zariski da origem ainda é uma curva irredutível. Se usarmos completações, estaremos olhando para uma vizinhança "pequena o suficiente" onde o nó tem dois componentes. Tomando as localizações desses anéis ao longo do ideal e completando dá e respectivamente, onde está a raiz quadrada formal de em Mais explicitamente, a série de potências: ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (xy)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [x, y] / (y ^ {2} -x ^ {2} (1 + x))}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]] / (xy)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]] / ((y + u) (yu))}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle x ^ {2} (1 + x)}$${\ displaystyle \ mathbb {C} [[x, y]].}$

${\ displaystyle u = x {\ sqrt {1 + x}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(1- 2n) (n!) ^ {2} (4 ^ {n})}} x ^ {n + 1}.}$

Como os dois anéis são dados pela interseção de dois ideais gerados por um polinômio homogêneo de grau 1, podemos ver algebricamente que as singularidades "parecem" iguais. Isso ocorre porque tal esquema é a união de dois subespaços lineares não iguais do plano afim.

Propriedades

1. A conclusão é uma operação functorial: um mapa contínuo f :  R  →  S de anéis topológicos dá origem a um mapa de suas conclusões,

${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {R}} \ to {\ widehat {S}}.}$

Além disso, se M e N são dois módulos sobre o mesmo anel topológico R e f :  M  →  N é um mapa de módulo contínuo, então f se estende exclusivamente ao mapa das conclusões:

${\ displaystyle {\ widehat {f}}: {\ widehat {M}} \ to {\ widehat {N}},}$

onde estão os módulos?${\ displaystyle {\ widehat {M}}, {\ widehat {N}}}$${\ displaystyle {\ widehat {R}}.}$

2. A realização de um anel Noetheriano R é um módulo plano sobre R .

3. A conclusão de um módulo M finitamente gerado sobre um anel R noetheriano pode ser obtida por extensão de escalares :

${\ displaystyle {\ widehat {M}} = M \ otimes _ {R} {\ widehat {R}}.}$

Junto com a propriedade anterior, isso implica que o functor de conclusão em módulos R finitamente gerados é exato : ele preserva sequências exatas curtas . Em particular, tomar quocientes de anéis comuta com conclusão, o que significa que para qualquer quociente R- álgebra , há um isomorfismo ${\ displaystyle R / I}$

${\ displaystyle {\ widehat {R / I}} \ cong {\ widehat {R}} / {\ widehat {I}}.}$

4. Teorema da estrutura de Cohen (caso equicaracterístico). Deixe- R ser um completo locais anel Noetheriano conmutativo com ideal máxima e campo resíduo K . Se R contém um campo, então ${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$

${\ displaystyle R \ simeq K [[x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]] / I}$

para algum n e algum I ideal (Eisenbud, Teorema 7.7).

Veja também

• Esquema formal
• Profinite inteiro
• Campo localmente compacto
• Anel Zariski
• Topologia linear
• Anel quase não misturado

Citações

Referências