Antihomomorfismo - Antihomomorphism
Em matemática , um anti - homomorfismo é um tipo de função definida em conjuntos com multiplicação que inverte a ordem da multiplicação . Um antiautomorfismo é um anti-homomorfismo bijetivo , ou seja, um anti- isomorfismo , de um conjunto para si mesmo. Da bijetividade segue-se que os antiautomorfismos têm inversos, e que o inverso de um antiautomorfismo também é um antiautomorfismo.
Definição
Informalmente, um anti-homomorfismo é um mapa que muda a ordem de multiplicação. Formalmente, um antihomomorfismo entre estruturas e é um homomorfismo , onde é igual a um conjunto, mas tem sua multiplicação revertida para aquela definida em . Denotando a multiplicação (geralmente não comutativa ) em por , a multiplicação em , denotada por , é definida por . O objecto é chamado o objectivo oposto de (respectivamente, grupo oposto , álgebra oposto , categoria oposto etc).
Esta definição é equivalente à de um homomorfismo (inverter a operação antes ou depois de aplicar o mapa é equivalente). Formalmente, o envio de e agindo como a identidade em mapas é um functor (na verdade, uma involução ).
Exemplos
Na teoria dos grupos , um anti-homomorfismo é um mapa entre dois grupos que inverte a ordem de multiplicação. Então, se φ : X → Y é um anti-homomorfismo de grupo,
- φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )
para todos os x , y em X .
O mapa que envia x para x -1 é um exemplo de um grupo antiautomorphism. Outro exemplo importante é a operação de transposição em álgebra linear , que transforma vetores de linha em vetores de coluna . Qualquer equação vetor-matriz pode ser transposta para uma equação equivalente onde a ordem dos fatores é invertida.
Com matrizes, um exemplo de antiautomorfismo é dado pelo mapa de transposição. Como a inversão e a transposição fornecem antiautomorfismos, sua composição é um automorfismo. Essa involução é freqüentemente chamada de mapa contragrediente e fornece um exemplo de um automorfismo externo do grupo linear geral GL ( n , F ) , onde F é um campo, exceto quando | F | = 2 e n = 1 ou 2 , ou | F | = 3 e n = 1 (ou seja, para a grupos GL (1, 2) , GL (2, 2) , e GL (1, 3) ).
Na teoria dos anéis , um anti-homomorfismo é um mapa entre dois anéis que preserva a adição, mas inverte a ordem da multiplicação. Portanto, φ : X → Y é um anti-homomorfismo de anel se e somente se:
- φ (1) = 1
- φ ( x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )
- φ ( xy ) = φ ( y ) φ ( x )
para todos os x , y em X .
Para álgebras sobre um campo K , φ deve ser um K - mapa linear do subjacente espaço vetorial . Se o campo subjacente tem uma involução, pode-se, em vez disso, pedir que φ seja linear-conjugado , como na transposição conjugada, abaixo.
Involuções
É frequentemente o caso que antiautomorphisms são involuções , ou seja, o quadrado da antiautomorphism é o Mapa de Identidade ; estes também são chamados antiautomorfismo involutivo s. Por exemplo, em qualquer grupo, o mapa que enviaxpara seuinverso x−1é um antiautomorfismo involutivo.
Um anel com um antiautomorfismo involutivo é denominado * -ring e constitui uma importante classe de exemplos .
Propriedades
Se o alvo Y for comutativo, então um anti-homomorfismo é a mesma coisa que um homomorfismo e um antiautomorfismo é a mesma coisa que um automorfismo .
A composição de dois antihomomorfismos é sempre um homomorfismo, pois inverter a ordem duas vezes preserva a ordem. A composição de um anti-homomorfismo com um homomorfismo dá outro anti-homomorfismo.