Alegoria (matemática) - Allegory (mathematics)

No campo matemático da teoria das categorias , uma alegoria é uma categoria que tem parte da estrutura da categoria Rel de conjuntos e relações binárias entre eles. As alegorias podem ser usadas como uma abstração de categorias de relações e, nesse sentido, a teoria das alegorias é uma generalização da álgebra de relações para relações entre diferentes tipos. As alegorias também são úteis na definição e investigação de certas construções na teoria das categorias, como conclusões exatas .

Neste artigo, adotamos a convenção de que os morfismos se compõem da direita para a esquerda, então RS significa "primeiro faça S , depois faça R ".

Definição

Uma alegoria é uma categoria em que

• todo morfismo está associado a uma anti-involução , ou seja, um morfismo com e e ${\ displaystyle R \ dois pontos X \ a Y}$${\ displaystyle R ^ {\ circ} \ dois pontos Y \ a X}$${\ displaystyle R ^ {\ circ \ circ} = R}$${\ displaystyle (RS) ^ {\ circ} = S ^ {\ circ} R ^ {\ circ} {\ text {;}}}$
• cada par de morfismos com domínio / codomínio comum está associado a uma interseção , ou seja, um morfismo ${\ displaystyle R, S \ dois pontos X \ a Y}$${\ displaystyle R \ cap S \ dois pontos X \ a Y}$

tudo assim que

• as intersecções são idempotentes : comutativas : e associativas : ${\ displaystyle R \ cap R = R,}$ ${\ displaystyle R \ cap S = S \ cap R,}$${\ displaystyle (R \ cap S) \ cap T = R \ cap (S \ cap T);}$
• anti-involução se distribui sobre a interseção: ${\ displaystyle (R \ cap S) ^ {\ circ} = S ^ {\ circ} \ cap R ^ {\ circ};}$
• a composição é semidistributiva sobre a interseção: e e ${\ displaystyle R (S \ cap T) \ subseteq RS \ cap RT}$${\ displaystyle (R \ cap S) T \ subseteq RT \ cap ST;}$
• a lei da modularidade é satisfeita: ${\ displaystyle RS \ cap T \ subseteq (R \ cap TS ^ {\ circ}) S.}$

Aqui, estamos abreviando usando a ordem definida pela interseção: meios ${\ displaystyle R \ subseteq S}$${\ displaystyle R = R \ cap S.}$

Um primeiro exemplo de alegoria é a categoria de conjuntos e relações . Os objectos da presente alegoria são conjuntos, e um morfismo é uma relação binária entre X e Y . Composição de morfismos é composição de relações , e a anti-involução de é a relação inversa : se e somente se . Intersecção de morphisms é (set-teórica) intersecção das relações. ${\ displaystyle X \ a Y}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle R ^ {\ circ}}$${\ displaystyle yR ^ {\ circ} x}$${\ displaystyle xRy}$

Categorias e alegorias regulares

Alegorias de relações em categorias regulares

Em uma categoria C , uma relação entre os objetos X e Y é uma extensão de morfismos que é conjuntamente mônica . Dois desses vãos e são considerados equivalentes quando há um isomorfismo entre S e T que faz tudo comutar; a rigor, as relações são definidas apenas até a equivalência (pode-se formalizar isso por meio de classes de equivalência ou por meio de bicategorias ). Se a categoria C tem produtos, uma relação entre X e Y é a mesma coisa que um monomorfismo em X × Y (ou uma classe de equivalência de tal). Na presença de retrocessos e de um sistema de fatoração adequado , pode-se definir a composição das relações. A composição é encontrada puxando-se primeiro o cospan e, em seguida, obtendo-se a imagem mônica conjunta do intervalo resultante ${\ displaystyle X \ obtém R \ para Y}$${\ displaystyle X \ obtém S \ para Y}$${\ displaystyle X \ obtém T \ para Y}$${\ displaystyle X \ obtém R \ para Y \ obtém S \ para Z}$${\ displaystyle R \ para Y \ obtém S}$${\ displaystyle X \ obtém R \ gets \ bullet \ to S \ to Z.}$

A composição das relações será associativa se o sistema de fatoração for apropriadamente estável. Nesse caso, pode-se considerar uma categoria Rel ( C ) , com os mesmos objetos de C , mas onde morfismos são relações entre os objetos. As relações de identidade são as diagonais ${\ displaystyle X \ a X \ times X.}$

Uma categoria regular (uma categoria com limites finitos e imagens nas quais as tampas são estáveis ​​sob retrocesso) tem um sistema de fatoração epi / mono regular estável. A categoria de relações para uma categoria regular é sempre uma alegoria. A anti-involução é definida girando a origem / destino da relação, e as interseções são interseções de subobjetos , calculados por retrocesso.

Mapas em alegorias e tabulações

Um morfismo R em uma alegoria A é chamado de mapa se for inteiro e determinístico Outra maneira de dizer isso é que um mapa é um morfismo que tem um adjunto direito em A quando A é considerado, usando a estrutura de ordem local, como um 2 -categoria . Mapas em uma alegoria são fechados sob identidade e composição. Assim, existe uma subcategoria Mapa ( A ) de A com os mesmos objetos, mas apenas os mapas como morfismos. Para uma categoria C regular , há um isomorfismo de categorias. Em particular, um morfismo em Map (Rel ( Set )) é apenas uma função de conjunto comum . ${\ displaystyle (1 \ subseteq R ^ {\ circ} R)}$${\ displaystyle (RR ^ {\ circ} \ subseteq 1).}$ ${\ displaystyle C \ cong \ operatorname {Mapa} (\ operatorname {Rel} (C)).}$

Em uma alegoria, um morfismo é tabulado por um par de mapas e se e Uma alegoria é chamada tabular se todo morfismo tem uma tabulação. Para uma categoria C regular , a alegoria Rel ( C ) é sempre tabular. Por outro lado, para qualquer alegoria tabular A , a categoria Mapa ( A ) de mapas é uma categoria localmente regular: tem retrações, equalizadores e imagens que são estáveis ​​sob retração. Isso é o suficiente para estudar as relações no Mapa ( A ) , e neste cenário, ${\ displaystyle R \ dois pontos X \ a Y}$${\ displaystyle f \ dois pontos Z \ a X}$${\ displaystyle g \ dois pontos Z \ a Y}$${\ displaystyle gf ^ {\ circ} = R}$${\ displaystyle f ^ {\ circ} f \ cap g ^ {\ circ} g = 1.}$${\ displaystyle A \ cong \ operatorname {Rel} (\ operatorname {Mapa} (A)).}$

Alegorias unitais e categorias regulares de mapas

Uma unidade em uma alegoria é um objecto L para que a identidade é a maior morfismo e de tal modo que a partir de todos os outros objetos, existe uma relação inteira de L . Uma alegoria com uma unidade é chamada de unital . Dada uma alegoria tabular A , a categoria Mapa ( A ) é uma categoria regular (tem um objeto terminal ) se e somente se A for unital. ${\ displaystyle U \ to U,}$

Tipos mais sofisticados de alegoria

Propriedades adicionais das alegorias podem ser axiomatizadas. As alegorias distributivas têm uma operação semelhante a uma união que é adequadamente bem comportada, e as alegorias de divisão têm uma generalização da operação de divisão da álgebra de relação . Alegorias de poder são alegorias de divisão distributiva com estrutura adicional semelhante a um conjunto de poderes . A conexão entre alegorias e categorias regulares pode ser desenvolvida em uma conexão entre alegorias de poder e toposes .

Referências

• Peter Freyd , Andre Scedrov (1990). Categorias, alegorias . Mathematical Library Vol 39. North-Holland . ISBN   978-0-444-70368-2 .

• Peter Johnstone (2003). Sketches of an Elephant: A Topos Theory Compendium . Oxford Science Publications. OUP . ISBN   0-19-852496-X .