elemento algébrico - Algebraic element

Em matemática , se L é uma extensão campo de K , em seguida, um elemento de um dos L é chamado um elemento algébrica sobre K , ou apenas algébrica sobre K , se existe algum zero, não- polinomial g ( x ) com coeficientes em K de tal modo que g ( um ) = 0 . Elementos de L que não são algébrica sobre K são chamados transcendental sobre K .

Estas noções generalizar os números algébricos e os números transcendentes (onde a extensão é campo C / Q , C sendo o campo de números complexos e Q sendo o campo de números racionais ).

Exemplos

  • A raiz quadrada de dois é algébrica sobre Q , uma vez que é a raiz do polinomial g ( x ) = x 2 - 2 cujos coeficientes são racionais.
  • Pi é transcendental sobre Q mas algébrica sobre o campo de números reais R : é a raiz de g ( x ) = x - pi , cujos coeficientes (1 e - π ) são ambos real, mas não de qualquer polinômio com coeficientes única racionais . (A definição do termo número transcendental usa C / Q , não C / R ).

propriedades

As condições seguintes são equivalentes para um elemento de uma das L :

  • um é algébrico sobre K ,
  • a extensão campo K ( um ) / K tem grau finito, isto é, a dimensão de K ( um ) como um K - espaço vectorial é finito (aqui K ( um ) indica a menor subcampo de L contendo K e um ),
  • K [ a ] = K ( um ) , onde K [ um ] é o conjunto de todos os elementos de L que pode ser escrita sob a forma g ( um ) com um polinomial g cujos coeficientes se encontram em K .

Esta caracterização pode ser utilizado para mostrar que a soma, diferença, produto e quociente de elementos algébricas sobre K são novamente algébrica sobre K . O conjunto de todos os elementos de L que são algébrica sobre K é um campo que fica entre G e K .

Se um é algébrica sobre K , então há muitos diferente de zero polinómios g ( x ) com coeficientes em K de modo a que g ( um ) = 0 . No entanto, existe um único com menor grau e com os principais coeficiente 1. Este é o polinômio mínimo de um e ele codifica muitas propriedades importantes de um .

Os campos que não permitem quaisquer elementos algébricos sobre eles (exceto seus próprios elementos) são chamados algebricamente fechado . O campo de números complexos é um exemplo.

Veja também

Referências

  • Lang, Serge (2002), álgebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revisto terceira ed.), Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1.878.556 , Zbl  0.984,00001