Isotropia transversal - Transverse isotropy

Isotropia transversal é observada em rochas sedimentares em comprimentos de onda longos. Cada camada tem aproximadamente as mesmas propriedades no plano, mas propriedades diferentes através da espessura. O plano de cada camada é o plano de isotropia e o eixo vertical é o eixo de simetria.

Um material isotrópico transversalmente é aquele com propriedades físicas simétricas em relação a um eixo normal a um plano de isotropia . Este plano transversal possui infinitos planos de simetria e, portanto, dentro deste plano, as propriedades do material são as mesmas em todas as direções. Portanto, esses materiais também são conhecidos como materiais "anisotrópicos polares". Em geofísica, a isotropia transversal vertical (VTI) também é conhecida como anisotropia radial.

Este tipo de material exibe simetria hexagonal (embora tecnicamente isso deixe de ser verdade para tensores de classificação 6 e superior), então o número de constantes independentes no tensor de elasticidade (de quarta classificação) é reduzido para 5 (de um total de 21 independentes constantes no caso de um sólido totalmente anisotrópico ). Os tensores (de segunda ordem) de resistividade elétrica, permeabilidade, etc. têm duas constantes independentes.

Exemplo de materiais isotrópicos transversalmente

Um material elástico transversalmente isotrópico.

Um exemplo de um material isotrópico transversalmente é a chamada lâmina composta de fibra unidirecional no eixo, onde as fibras são circulares em seção transversal. Em um compósito unidirecional, o plano normal à direção da fibra pode ser considerado como o plano isotrópico, em longos comprimentos de onda (baixas frequências) de excitação. Na figura à direita, as fibras estariam alinhadas com o eixo, que é normal ao plano de isotropia. ${\ displaystyle x_ {2}}$

Em termos de propriedades efetivas, as camadas geológicas das rochas são frequentemente interpretadas como sendo transversalmente isotrópicas. O cálculo das propriedades elásticas efetivas de tais camadas em petrologia foi denominado upscaling Backus , que é descrito abaixo.

Matriz de simetria de material

A matriz material tem uma simetria em relação a uma dada transformação ortogonal ( ) se ela não muda quando submetida a essa transformação. Para invariância das propriedades do material sob tal transformação, exigimos ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} \ cdot \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {K}} \ cdot ({\ boldsymbol {A}} \ cdot {\ boldsymbol {d}}) \ implica \ mathbf { f} = ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}) \ cdot {\ boldsymbol {d}}}$

Portanto, a condição para a simetria do material é (usando a definição de uma transformação ortogonal)

${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {T} \ cdot {\ boldsymbol {K}} \ cdot {\ boldsymbol {A}}}$

As transformações ortogonais podem ser representadas em coordenadas cartesianas por uma matriz dada por ${\ displaystyle 3 \ vezes 3}$${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}}}$

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}} = {\ begin {bmatrix} A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \\ A_ {21} & A_ {22} & A_ {23 } \\ A_ {31} & A_ {32} & A_ {33} \ end {bmatrix}} ~.}$

Portanto, a condição de simetria pode ser escrita na forma de matriz como

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} = {\ underline {\ underline {{\ boldsymbol {A}} ^ {T}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}}}$

Para um material isotrópico transversalmente, a matriz tem a forma ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}}}$

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & \ sin \ theta & 0 \\ - \ sin \ theta & \ cos \ theta & 0 \\ 0 e 0 e 1 \ end {bmatrix}} ~.}$

onde o eixo é o eixo de simetria . A matriz material permanece invariante sob rotação por qualquer ângulo em torno do eixo. ${\ displaystyle x_ {3}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x_ {3}}$

Na física

Relações lineares constitutivas materiais em física podem ser expressas na forma

${\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {K}} \ cdot \ mathbf {d}}$

onde são dois vetores que representam quantidades físicas e é um tensor de material de segunda ordem. Em forma de matriz, ${\ displaystyle \ mathbf {d}, \ mathbf {f}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathbf {f}}}} = {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ mathbf {d}}}} \ implica {\ begin {bmatrix} f_ {1} \\ f_ {2} \\ f_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} K_ {11} & K_ {12} & K_ {13} \ \ K_ {21} & K_ {22} & K_ {23} \\ K_ {31} & K_ {32} & K_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} d_ {1} \\ d_ {2} \ \ d_ {3} \ end {bmatrix}}}$

Exemplos de problemas físicos que se enquadram no modelo acima estão listados na tabela abaixo.

Problema	${\ displaystyle \ mathbf {f}}$	${\ displaystyle \ mathbf {d}}$	${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$
Condução elétrica	Corrente elétrica ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$	Campo elétrico ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$	Condutividade elétrica ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$
Dielétricos	Deslocamento elétrico ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$	Campo elétrico ${\ displaystyle \ mathbf {E}}$	Permissividade elétrica ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$
Magnetismo	Indução magnética ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$	Campo magnético ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$	Permeabilidade magnética ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}}}$
Condução térmica	Fluxo de calor ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$	Gradiente de temperatura ${\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ nabla}} T}$	Condutividade térmica ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}}$
Difusão	Fluxo de partículas ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$	Gradiente de concentração ${\ displaystyle - {\ boldsymbol {\ nabla}} c}$	Difusividade ${\ displaystyle {\ boldsymbol {D}}}$
Fluxo em meios porosos	Velocidade ponderada do fluido ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu} \ mathbf {v}}$	Gradiente de pressão ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} P}$	Permeabilidade de fluidos ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ kappa}}}$
Elasticidade	Estresse ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$	Tensão ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$	Rigidez ${\ displaystyle \ mathbf {C}}$

Usar na matriz implica isso . Usando leads para e . As restrições de energia geralmente exigem e, portanto, devemos ter . Portanto, as propriedades do material de um material isotrópico transversalmente são descritas pela matriz ${\ displaystyle \ theta = \ pi}$${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}}}$${\ displaystyle K_ {13} = K_ {31} = K_ {23} = K_ {32} = 0}$${\ displaystyle \ theta = {\ tfrac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle K_ {11} = K_ {22}}$${\ displaystyle K_ {12} = - K_ {21}}$${\ displaystyle K_ {12}, K_ {21} \ geq 0}$${\ displaystyle K_ {12} = K_ {21} = 0}$

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {K}}}} = {\ begin {bmatrix} K_ {11} & 0 & 0 \\ 0 & K_ {11} & 0 \\ 0 & 0 & K_ {33} \ end {bmatrix}}}$

Em elasticidade linear

Condição para simetria do material

Na elasticidade linear , a tensão e a deformação são relacionadas pela lei de Hooke , ou seja,

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ sigma}}}} = {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} ~ {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ varepsilon}} }}}$

ou, usando a notação Voigt ,

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\\ sigma _ {2} \\\ sigma _ {3} \\\ sigma _ {4} \\\ sigma _ {5} \\\ sigma _ {6} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & C_ {14} & C_ {15} & C_ {16} \\ C_ {12} & C_ { 22} & C_ {23} & C_ {24} & C_ {25} & C_ {26} \\ C_ {13} & C_ {23} & C_ {33} & C_ {34} & C_ {35} & C_ {36} \\ C_ {14} & C_ {24} & C_ {34} & C_ {44} & C_ {45} & C_ {46} \\ C_ {15} & C_ {25} & C_ {35} & C_ {45} & C_ {55} & C_ {56} \\ C_ { 16} & C_ {26} & C_ {36} & C_ {46} & C_ {56} & C_ {66} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {1} \\\psilon _ {2} \\ \ varepsilon _ {3} \\\ varepsilon _ {4} \\\ varepsilon _ {5} \\\ varepsilon _ {6} \ end {bmatrix}}}$

A condição para simetria do material em materiais elásticos lineares é.

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} = {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}} ^ {T} ~ {\ underline { \ underline {\ mathsf {C}}}} ~ {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}}}$

Onde

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {A}} _ {\ varepsilon}}}} = {\ begin {bmatrix} A_ {11} ^ {2} & A_ {12} ^ {2} & A_ { 13} ^ {2} & A_ {12} A_ {13} & A_ {11} A_ {13} & A_ {11} A_ {12} \\ A_ {21} ^ {2} & A_ {22} ^ {2} & A_ { 23} ^ {2} & A_ {22} A_ {23} & A_ {21} A_ {23} & A_ {21} A_ {22} \\ A_ {31} ^ {2} & A_ {32} ^ {2} & A_ { 33} ^ {2} & A_ {32} A_ {33} & A_ {31} A_ {33} & A_ {31} A_ {32} \\ 2A_ {21} A_ {31} & 2A_ {22} A_ {32} & 2A_ { 23} A_ {33} e A_ {22} A_ {33} + A_ {23} A_ {32} e A_ {21} A_ {33} + A_ {23} A_ {31} e A_ {21} A_ {32} + A_ {22} A_ {31} \\ 2A_ {11} A_ {31} e 2A_ {12} A_ {32} e 2A_ {13} A_ {33} & A_ {12} A_ {33} + A_ {13} A_ {32} & A_ {11} A_ {33} + A_ {13} A_ {31} & A_ {11} A_ {32} + A_ {12} A_ {31} \\ 2A_ {11} A_ {21} & 2A_ {12} A_ { 22} e 2A_ {13} A_ {23} e A_ {12} A_ {23} + A_ {13} A_ {22} e A_ {11} A_ {23} + A_ {13} A_ {21} e A_ {11} A_ { 22} + A_ {12} A_ {21} \ end {bmatrix}}}$

Tensor de elasticidade

Usando os valores específicos de na matriz , pode ser mostrado que o tensor de rigidez de elasticidade de quarto grau pode ser escrito em notação de Voigt de 2 índices como a matriz ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {A}}}}}$

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\ C_ {12} & C_ {11} & C_ { 13} & 0 & 0 & 0 \\ C_ {13} & C_ {13} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & (C_ {11} -C_ {12}) / 2 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {11} -2C_ {66} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\ C_ {11} -2C_ {66} & C_ {11} & C_ {13} & 0 & 0 & 0 \ \ C_ {13} & C_ {13} & C_ {33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {44} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_ {66} \ end {bmatrix}}.}$

A matriz de elasticidade-rigidez tem 5 constantes independentes, que estão relacionadas a módulos elásticos de engenharia bem conhecidos da seguinte maneira. Esses módulos de engenharia são determinados experimentalmente. ${\ displaystyle C_ {ij}}$

A matriz de conformidade (inversa da matriz de rigidez elástica) é

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} ^ {- 1} = {\ frac {1} {\ Delta}} {\ begin {bmatrix} C_ {11} C_ {33} - C_ {13} ^ {2} & C_ {13} ^ {2} -C_ {12} C_ {33} & (C_ {12} -C_ {11}) C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\ C_ {13} ^ { 2} -C_ {12} C_ {33} & C_ {11} C_ {33} -C_ {13} ^ {2} & (C_ {12} -C_ {11}) C_ {13} & 0 & 0 & 0 \\ (C_ { 12} -C_ {11}) C_ {13} & (C_ {12} -C_ {11}) C_ {13} & C_ {11} ^ {2} -C_ {12} ^ {2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { \ frac {\ Delta} {C_ {44}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\ frac {\ Delta} {C_ {44}}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\ frac {2 \ Delta} {(C_ {11} - C_ {12})}} \ end {bmatrix}}}$

onde . Em notação de engenharia, ${\ displaystyle \ Delta: = (C_ {11} -C_ {12}) [(C_ {11} + C_ {12}) C_ {33} -2C_ {13} C_ {13}]}$

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ mathsf {C}}}} ^ {- 1} = {\ begin {bmatrix} {\ tfrac {1} {E _ {\ rm {x}}}} & - { \ tfrac {\ nu _ {\ rm {yx}}} {E _ {\ rm {x}}}} & - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {zx}}} {E _ {\ rm {z} }}} & 0 & 0 & 0 \\ - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {xy}}} {E _ {\ rm {x}}}} & {\ tfrac {1} {E _ {\ rm {x}}} } & - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {zx}}} {E _ {\ rm {z}}}} & 0 & 0 & 0 \\ - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {xz}}} {E_ {\ rm {x}}}} & - {\ tfrac {\ nu _ {\ rm {xz}}} {E _ {\ rm {x}}}} & {\ tfrac {1} {E _ {\ rm { z}}}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {\ tfrac {1} {G _ {\ rm {xz}}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\ tfrac {1} {G _ {\ rm {xz}}}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\ tfrac {2 (1+ \ nu _ {\ rm {xy}})} {E _ {\ rm {x}}}} \ end {bmatrix}}}$

A comparação dessas duas formas da matriz de conformidade nos mostra que o módulo de Young longitudinal é dado por

${\ displaystyle E_ {L} = E _ {\ rm {z}} = C_ {33} -2C_ {13} C_ {13} / (C_ {11} + C_ {12})}$

Da mesma forma, o módulo de Young transversal é

${\ displaystyle E_ {T} = E _ {\ rm {x}} = E _ {\ rm {y}} = (C_ {11} -C_ {12}) (C_ {11} C_ {33} + C_ {12 } C_ {33} -2C_ {13} C_ {13}) / (C_ {11} C_ {33} -C_ {13} C_ {13})}$

O módulo de cisalhamento no plano é

${\ displaystyle G_ {xy} = (C_ {11} -C_ {12}) / 2 = C_ {66}}$

e o coeficiente de Poisson para carregamento ao longo do eixo polar é

${\ displaystyle \ nu _ {LT} = \ nu _ {zx} = C_ {13} / (C_ {11} + C_ {12})}$.

Aqui, L representa a direção longitudinal (polar) e T representa a direção transversal.

Em geofísica

Em geofísica, uma suposição comum é que as formações rochosas da crosta são anisotrópicas localmente polares (transversalmente isotrópicas); este é o caso mais simples de interesse geofísico. O upscaling backus é freqüentemente usado para determinar as constantes elásticas transversalmente isotrópicas efetivas da mídia em camadas para ondas sísmicas de comprimento de onda longo.

As suposições feitas na aproximação de Backus são:

• Todos os materiais são linearmente elásticos
• Sem fontes de dissipação de energia intrínseca (por exemplo, atrito)
• Válido no limite de comprimento de onda infinito, portanto, bons resultados apenas se a espessura da camada for muito menor que o comprimento de onda
• As estatísticas de distribuição das propriedades elásticas da camada são estacionárias, ou seja, não há tendência correlacionada nessas propriedades.

Para comprimentos de onda mais curtos, o comportamento das ondas sísmicas é descrito usando a superposição de ondas planas . Meios transversalmente isotrópicos suportam três tipos de ondas planas elásticas:

• uma onda quase P ( direção de polarização quase igual à direção de propagação)
• uma onda quase S
• uma onda S (polarizada ortogonal à onda quase-S, ao eixo de simetria e à direção de propagação).

Soluções para problemas de propagação de ondas em tais meios podem ser construídas a partir dessas ondas planas, usando a síntese de Fourier .

Backus upscaling (aproximação de comprimento de onda longo)

Um modelo em camadas de material homogêneo e isotrópico pode ser ampliado para um meio isotrópico transversal, proposto por Backus.

Backus apresentou uma teoria do meio equivalente, um meio heterogêneo pode ser substituído por um homogêneo que prevê a propagação da onda no meio real. Backus mostrou que a estratificação em uma escala muito mais fina do que o comprimento de onda tem um impacto e que várias camadas isotrópicas podem ser substituídas por um meio isotrópico transversalmente homogêneo que se comporta exatamente da mesma maneira que o meio real sob carga estática no limite de comprimento de onda infinito .

Se cada camada é descrita por 5 parâmetros isotrópicos transversalmente , especificando a matriz ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle (a_ {i}, b_ {i}, c_ {i}, d_ {i}, e_ {i})}$

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {C}} _ ​​{i}}}} = {\ begin {bmatrix} a_ {i} & a_ {i} -2e_ {i} & b_ {i} & 0 & 0 & 0 \ \ a_ {i} -2e_ {i} & a_ {i} & b_ {i} & 0 & 0 & 0 \\ b_ {i} & b_ {i} & c_ {i} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_ {i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & d_ {i} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & e_ {i} \\\ end {bmatrix}}}$

Os módulos elásticos para o meio efetivo serão

${\ displaystyle {\ underline {\ underline {{\ mathsf {C}} _ ​​{\ mathrm {eff}}}}} = {\ begin {bmatrix} A & A-2E & B & 0 & 0 & 0 & 0 \\ A-2E & A & B & 0 & 0 & 0 \\ B & B & C & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & D & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & E \ end {bmatrix}}}$

Onde

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A & = \ langle ab ^ {2} c ^ {- 1} \ rangle + \ langle c ^ {- 1} \ rangle ^ {- 1} \ langle bc ^ {- 1} \ rangle ^ {2} \\ B & = \ langle c ^ {- 1} \ rangle ^ {- 1} \ langle bc ^ {- 1} \ rangle \\ C & = \ langle c ^ {- 1} \ rangle ^ {-1} \\ D & = \ langle d ^ {- 1} \ rangle ^ {- 1} \\ E & = \ langle e \ rangle \\\ end {alinhado}}}$

${\ displaystyle \ langle \ cdot \ rangle}$ denota a média ponderada do volume em todas as camadas.

Isso inclui camadas isotrópicas, já que a camada é isotrópica se , e . ${\ displaystyle b_ {i} = a_ {i} -2e_ {i}}$${\ displaystyle a_ {i} = c_ {i}}$${\ displaystyle d_ {i} = e_ {i}}$

Aproximação de comprimento de onda curto e médio

Soluções para problemas de propagação de ondas em meios lineares elásticos transversalmente isotrópicos podem ser construídas superpondo soluções para a onda quase-P, a onda quase-S e uma onda-S polarizada ortogonal à onda-quase-S. No entanto, as equações para a variação angular da velocidade são algebricamente complexas e as velocidades das ondas planas são funções do ângulo de propagação . As velocidades de onda dependentes da direção para ondas elásticas através do material podem ser encontradas usando a equação de Christoffel e são dadas por ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} V_ {qP} (\ theta) & = {\ sqrt {\ frac {C_ {11} \ sin ^ {2} (\ theta) + C_ {33} \ cos ^ {2 } (\ theta) + C_ {44} + {\ sqrt {M (\ theta)}}} {2 \ rho}}} \\ V_ {qS} (\ theta) & = {\ sqrt {\ frac {C_ {11} \ sin ^ {2} (\ theta) + C_ {33} \ cos ^ {2} (\ theta) + C_ {44} - {\ sqrt {M (\ theta)}}} {2 \ rho }}} \\ V_ {S} & = {\ sqrt {\ frac {C_ {66} \ sin ^ {2} (\ theta) + C_ {44} \ cos ^ {2} (\ theta)} {\ rho}}} \\ M (\ theta) & = \ left [\ left (C_ {11} -C_ {44} \ right) \ sin ^ {2} (\ theta) - \ left (C_ {33} - C_ {44} \ right) \ cos ^ {2} (\ theta) \ right] ^ {2} + \ left (C_ {13} + C_ {44} \ right) ^ {2} \ sin ^ {2} (2 \ theta) \\\ fim {alinhado}}}$

onde é o ângulo entre o eixo de simetria e a direção de propagação da onda, é a densidade de massa e são os elementos da matriz de rigidez elástica . Os parâmetros de Thomsen são usados ​​para simplificar essas expressões e torná-las mais fáceis de entender. ${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ theta \ end {alinhado}}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle C_ {ij}}$

Parâmetros Thomsen

Os parâmetros de Thomsen são combinações adimensionais de módulos elásticos que caracterizam materiais isotrópicos transversalmente, que são encontrados, por exemplo, em geofísica . Em termos dos componentes da matriz de rigidez elástica , esses parâmetros são definidos como:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ epsilon & = {\ frac {C_ {11} -C_ {33}} {2C_ {33}}} \\\ delta & = {\ frac {(C_ {13} + C_ {44}) ^ {2} - (C_ {33} -C_ {44}) ^ {2}} {2C_ {33} (C_ {33} -C_ {44})}} \\\ gama & = {\ frac {C_ {66} -C_ {44}} {2C_ {44}}} \ end {alinhado}}}$

onde o índice 3 indica o eixo de simetria ( ). Esses parâmetros, em conjunto com as velocidades das ondas P e S associadas , podem ser usados ​​para caracterizar a propagação da onda por meio de camadas fracamente anisotrópicas. Empiricamente, os parâmetros de Thomsen para a maioria das formações rochosas em camadas são muito menores do que 1. ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3}}$

O nome se refere a Leon Thomsen, professor de geofísica da Universidade de Houston , que propôs esses parâmetros em seu artigo de 1986 "Anisotropia Elástica Fraca".

Expressões simplificadas para velocidades de onda

Em geofísica, a anisotropia nas propriedades elásticas é geralmente fraca, caso em que . Quando as expressões exatas para as velocidades de onda acima são linearizadas nessas pequenas quantidades, elas simplificam para ${\ displaystyle \ delta, \ gamma, \ epsilon \ ll 1}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} V_ {qP} (\ theta) & \ approx V_ {P0} (1+ \ delta \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta + \ epsilon \ sin ^ {4} \ theta) \\ V_ {qS} (\ theta) & \ aprox V_ {S0} \ left [1+ \ left ({\ frac {V_ {P0}} {V_ {S0}}} \ right ) ^ {2} (\ epsilon - \ delta) \ sin ^ {2} \ theta \ cos ^ {2} \ theta \ right] \\ V_ {S} (\ theta) & \ aprox V_ {S0} (1 + \ gamma \ sin ^ {2} \ theta) \ end {alinhado}}}$

Onde

${\ displaystyle V_ {P0} = {\ sqrt {C_ {33} / \ rho}} ~; ~~ V_ {S0} = {\ sqrt {C_ {44} / \ rho}}}$

são as velocidades das ondas P e S na direção do eixo de simetria ( ) (em geofísica, esta é geralmente, mas nem sempre, a direção vertical). Observe que pode ser linearizado ainda mais, mas isso não leva a uma simplificação adicional. ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {3}}$${\ displaystyle \ delta}$

As expressões aproximadas para as velocidades das ondas são simples o suficiente para serem interpretadas fisicamente e suficientemente precisas para a maioria das aplicações geofísicas. Essas expressões também são úteis em alguns contextos onde a anisotropia não é fraca.

Veja também

• Lei de Hooke
• Elasticidade linear
• Material ortotrópico

Referências