Anel de funções simétricas - Ring of symmetric functions

Na álgebra e em particular na combinatória algébrica , o anel das funções simétricas é um limite específico dos anéis dos polinômios simétricos em n indeterminados, à medida que n vai ao infinito. Este anel serve como uma estrutura universal na qual as relações entre polinômios simétricos podem ser expressas de uma maneira independente do número n de indeterminados (mas seus elementos não são polinômios nem funções). Entre outras coisas, este anel desempenha um papel importante na teoria da representação do grupo simétrico .

O anel de funções simétricas pode receber um coproduto e uma forma bilinear, tornando-o uma álgebra de Hopf graduada auto-adjunta positiva que é tanto comutativa quanto cocomutativa.

Polinômios simétricos

O estudo de funções simétricas é baseado no de polinômios simétricos. Em um anel polinomial em algum conjunto finito de indeterminados, um polinômio é chamado de simétrico se permanecer o mesmo sempre que os indeterminados forem permutados de alguma forma. Mais formalmente, há uma ação por automorfismos de anel do grupo simétrico S _n no anel polinomial em n indeterminados, onde uma permutação atua em um polinômio substituindo simultaneamente cada um dos indeterminados por outro de acordo com a permutação usada. Os invariantes para esta ação formam o subanel de polinômios simétricos. Se os indeterminados são X ₁ , ..., X _n , então exemplos de tais polinômios simétricos são

${\ displaystyle X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}, \,}$

${\ displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + \ cdots + X_ {n} ^ {3}, \,}$

e

${\ displaystyle X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}. \,}$

Um exemplo um pouco mais complicado é X ₁ ³ X ₂ X ₃ + X ₁ X ₂ ³ X ₃ + X ₁ X ₂ X ₃ ³ + X ₁ ³ X ₂ X ₄ + X ₁ X ₂ ³ X ₄ + X ₁ X ₂ X ₄ ³ + ... onde a soma passa a incluir todos os produtos da terceira potência de alguma variável e duas outras variáveis. Existem muitos tipos específicos de polinômios simétricos, como polinômios simétricos elementares , polinômios simétricos de soma de potência , polinômios simétricos monomiais , polinômios simétricos homogêneos completos e polinômios de Schur .

O anel de funções simétricas

A maioria das relações entre polinômios simétricos não depende do número n de indeterminados, exceto que alguns polinômios na relação podem exigir que n seja grande o suficiente para serem definidos. Por exemplo, a identidade de Newton para o polinômio da terceira soma de potências p ₃ leva a

${\ displaystyle p_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {3} -3e_ {2} ( X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) + 3e_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ,}$

onde o denotam polinômios simétricos elementares; esta fórmula é válida para todos os números naturais n , e a única dependência notável dela é que e _k ( X ₁ , ..., X _n ) = 0 sempre que n  <  k . Gostaríamos de escrever isso como uma identidade ${\ displaystyle e_ {i}}$

${\ displaystyle p_ {3} = e_ {1} ^ {3} -3e_ {2} e_ {1} + 3e_ {3}}$

isso não depende de n de forma alguma, e isso pode ser feito no anel de funções simétricas. Nesse anel existem elementos diferentes de zero e _k para todos os inteiros k  ≥ 1, e qualquer elemento do anel pode ser dado por uma expressão polinomial nos elementos e _k .

Definições

Um anel de funções simétricas pode ser definido sobre qualquer anel comutativo R , e será denotado Λ _R ; o caso básico é para R  =  Z . O anel Λ _R é de fato uma R - álgebra graduada . Existem duas construções principais para ele; o primeiro dado abaixo pode ser encontrado em (Stanley, 1999), e o segundo é essencialmente aquele dado em (Macdonald, 1979).

Como um anel de série de poder formal

A construção mais fácil (embora um tanto pesada) começa com o anel da série de potências formal sobre R em infinitamente (contáveis) muitos indeterminados; os elementos desse anel de série de potências são somas infinitas de termos formais, cada uma das quais consiste em um coeficiente de R multiplicado por um monômio, onde cada monômio é um produto de muitas potências finitas de indeterminados. Define-se Λ _R como seu subanel que consiste naquelas séries de potências S que satisfazem ${\ displaystyle R [[X_ {1}, X_ {2}, ...]]}$

1. S é invariante sob qualquer permutação dos indeterminados, e
2. os graus dos monômios que ocorrem em S são limitados.

Observe que, devido à segunda condição, as séries de potências são usadas aqui apenas para permitir um número infinito de termos de um grau fixo, em vez de somar termos de todos os graus possíveis. Permitir isso é necessário porque um elemento que contém, por exemplo, um termo X ₁ também deve conter um termo X _i para cada i  > 1 para ser simétrico. Ao contrário de todo o anel da série de potências, o subanel Λ _R é graduado pelo grau total de monômios: devido à condição 2, cada elemento de Λ _R é uma soma finita de elementos homogêneos de Λ _R (que são somas infinitas de termos iguais grau). Para todo k  ≥ 0, o elemento e _k  ∈ Λ _R é definido como a soma formal de todos os produtos de k indeterminados distintos, que é claramente homogêneo de grau k .

Como um limite algébrico

Outra construção de Λ _R leva um pouco mais de tempo para descrever, mas indica melhor a relação com os anéis R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} de polinômios simétricos em n indeterminados. Para cada n há um homomorfismo de anel sobrejetivo ρ _n do anel análogo R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} com mais um indeterminado em R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} , definido pela configuração do último indeterminado X _{n +1} para 0. Embora ρ _n tenha um kernel não trivial, os elementos não zero desse kernel têm grau pelo menos (eles são múltiplos de X ₁ X ₂ ... X _{n +1} ). Isso significa que a restrição de ρ _n a elementos de grau no máximo n é um mapa linear bijetivo, e ρ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} )) =  e _k ( X ₁ , .. ., X _n ) para todo k  ≤  n . O inverso desta restrição pode ser estendido exclusivamente a um homomorfismo de anel φ _n de R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} a R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} , como segue, por exemplo, do teorema fundamental dos polinômios simétricos . Como as imagens φ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X _n )) =  e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) para k  = 1, ..., n ainda são algebricamente independentes sobre  R , o homomorfismo φ _n é injetivo e pode ser visto como uma inclusão (um tanto incomum) de anéis; aplicar φ _n a um polinômio soma a soma de todos os monômios contendo o novo indeterminado obtido por simetria de monômios já presentes. O anel Λ _R é então a "união" ( limite direto ) de todos esses anéis sujeitos a essas inclusões. Como todos os φ _n são compatíveis com a graduação pelo grau total dos anéis envolvidos, Λ _R obtém a estrutura de um anel graduado. ${\ displaystyle n + 1}$

Esta construção difere ligeiramente daquela em (Macdonald, 1979). Essa construção usa apenas os morfismos sobrejetivos ρ _n sem mencionar os morfismos injetivos φ _n : ela constrói os componentes homogêneos de Λ _R separadamente, e equipa sua soma direta com uma estrutura em anel usando o ρ _n . Observa-se também que o resultado pode ser descrito como um limite inverso na categoria dos anéis graduados . Essa descrição, no entanto, obscurece um pouco uma propriedade importante típica para um limite direto de morfismos injetivos, a saber, que cada elemento individual (função simétrica) já está fielmente representado em algum objeto usado na construção do limite, aqui um anel R [ X ₁ , ... , X _d ] ^{S _d} . Basta tomar para d o grau da função simétrica, uma vez que a parte em grau d desse anel é mapeada isomorficamente para anéis com mais indeterminados por φ _n para todo n  ≥  d . Isso implica que, para estudar relações entre elementos individuais, não há diferença fundamental entre polinômios simétricos e funções simétricas.

Definindo funções simétricas individuais

O nome "função simétrica" ​​para elementos de Λ _R é um equívoco : em nenhuma das construções as funções dos elementos e, de fato, ao contrário dos polinômios simétricos, nenhuma função de variáveis ​​independentes pode ser associada a tais elementos (por exemplo, e ₁ seria o soma de todas as infinitas variáveis, que não é definida a menos que sejam impostas restrições às variáveis). No entanto, o nome é tradicional e bem estabelecido; pode ser encontrado tanto em (Macdonald, 1979), que diz (nota de rodapé na p. 12)

Os elementos de Λ (ao contrário daqueles de Λ _n ) não são mais polinômios: eles são somas infinitas formais de monômios. Portanto, voltamos à terminologia mais antiga de funções simétricas.

(aqui Λ _n denota o anel de polinômios simétricos em n indeterminados), e também em (Stanley, 1999).

Para definir uma função simétrica deve-se indicar diretamente uma série de potências como na primeira construção, ou dar um polinômio simétrico em n indeterminados para todo número natural n de uma forma compatível com a segunda construção. Uma expressão em um número não especificado de indeterminados pode fazer ambos, por exemplo

${\ displaystyle e_ {2} = \ sum _ {i <j} X_ {i} X_ {j} \,}$

pode ser tomada como a definição de uma função simétrica elementar se o número de indeterminados for infinito, ou como a definição de um polinômio simétrico elementar em qualquer número finito de indeterminados. Polinômios simétricos para a mesma função simétrica devem ser compatíveis com os morfismos ρ _n (diminuindo o número de indeterminados é obtido definindo alguns deles para zero, de modo que os coeficientes de qualquer monômio nos indeterminados restantes permaneçam inalterados), e seu grau deve permanecem limitados. (Um exemplo de uma família de polinômios simétricos que falha em ambas as condições é ; a família falha apenas na segunda condição.) Qualquer polinômio simétrico em n indeterminados pode ser usado para construir uma família compatível de polinômios simétricos, usando os morfismos ρ _i para i  <  n para diminuir o número de indeterminados, e φ _i para i  ≥  n para aumentar o número de indeterminados (o que equivale a adicionar todos os monômios em novos indeterminados obtidos por simetria de monômios já presentes). ${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {n} (X_ {i} +1)}$

A seguir estão exemplos fundamentais de funções simétricas.

• As funções simétricas monomiais m _α . Suponha que α = (α ₁ , α ₂ , ...) seja uma sequência de inteiros não negativos, apenas finitamente muitos dos quais são diferentes de zero. Então podemos considerar o monômio definido por α: X ^α = X ₁ ^{α ₁} X ₂ ^{α ₂} X ₃ ^{α ₃} .... Então m _α é a função simétrica determinada por X ^α , ou seja, a soma de todos os monômios obtidos de X ^α por simetria. Para uma definição formal, defina β ~ α para significar que a sequência β é uma permutação da sequência α e conjunto

${\ displaystyle m _ {\ alpha} = \ sum \ nolimits _ {\ beta \ sim \ alpha} X ^ {\ beta}.}$

Esta função simétrica corresponde ao polinômio monomial simétrico m _α ( X ₁ , ..., X _n ) para qualquer n grande o suficiente para ter o monômio X ^α . As funções monomiais simétricas distintas são parametrizadas pelas partições inteiras (cada m _α tem um único representante monomial X ^λ com as partes λ _i em ordem decrescente fraca). Uma vez que qualquer função simétrica contendo qualquer um dos monômios de alguns m _α deve conter todos eles com o mesmo coeficiente, cada função simétrica pode ser escrita como uma combinação R- linear de funções monomiais simétricas, e as funções monomiais simétricas distintas, portanto, formam uma base Λ de _R como R - módulo .

• As funções simétricas elementares e _k , para qualquer número natural k ; tem-se e _k  =  m _α onde . Como uma série de potências, essa é a soma de todos os produtos distintos de k indeterminados distintos. Esta função simétrica corresponde ao polinômio simétrico elementar e _k ( X ₁ , ..., X _n ) para qualquer n  ≥  k .${\ displaystyle \ textstyle X ^ {\ alpha} = \ prod _ {i = 1} ^ {k} X_ {i}}$
• As funções simétricas da soma das potências p _k , para qualquer número inteiro positivo k ; tem-se p _k  =  m _{( k )} , a função simétrica monomial para o monomial X ₁ ^k . Esta função simétrica corresponde ao polinômio simétrico da soma das potências p _k ( X ₁ , ..., X _n ) =  X ₁ ^k + ... + X _n ^k para qualquer n  ≥ 1.
• As funções simétricas homogêneas completas h _k , para qualquer número natural k ; h _k é a soma de todas as funções simétricas monomiais m _α onde α é uma partição de  k . Como uma série de potências, essa é a soma de todos os monômios de grau k , que é o que motiva seu nome. Esta função simétrica corresponde ao polinômio simétrico homogêneo completo h _k ( X ₁ , ..., X _n ) para qualquer n  ≥  k .
• As funções de Schur s _λ para qualquer partição λ, que corresponde ao polinômio de Schur s _λ ( X ₁ , ..., X _n ) para qualquer n grande o suficiente para ter o monômio X ^λ .

Não existe função simétrica de soma de potências p ₀ : embora seja possível (e em alguns contextos natural) definir como um polinômio simétrico em n variáveis, esses valores não são compatíveis com os morfismos ρ _n . O "discriminante" é outro exemplo de uma expressão que fornece um polinômio simétrico para todos os n , mas não define nenhuma função simétrica. As expressões que definem polinômios de Schur como um quociente de polinômios alternados são um pouco semelhantes àquelas para o discriminante, mas os polinômios s _λ ( X ₁ , ..., X _n ) acabam sendo compatíveis para variar n e, portanto, definem um função simétrica. ${\ displaystyle \ textstyle p_ {0} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i} ^ {0} = n}$${\ displaystyle \ textstyle (\ prod _ {i <j} (X_ {i} -X_ {j})) ^ {2}}$

Um princípio que relaciona polinômios simétricos e funções simétricas

Para qualquer função simétrica P , os polinômios simétricos correspondentes em n indeterminados para qualquer número natural n podem ser designados por P ( X ₁ , ..., X _n ). A segunda definição do anel de funções simétricas implica o seguinte princípio fundamental:

Se P e Q são funções simétricas de grau d , então um tem a identidade de funções simétricas se e apenas um tem a identidade P ( X ₁ , ..., X _d ) =  Q ( X ₁ , ..., X _d ) de polinômios simétricos em d indeterminados. Nesse caso, temos de fato P ( X ₁ , ..., X _n ) =  Q ( X ₁ , ..., X _n ) para qualquer número n de indeterminados.${\ displaystyle P = Q}$

Isso ocorre porque sempre se pode reduzir o número de variáveis ​​substituindo zero por algumas variáveis, e pode-se aumentar o número de variáveis ​​aplicando os homomorfismos φ _n ; a definição desses homomorfismos assegura que φ _n ( P ( X ₁ , ..., X _n )) =  P ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) (e da mesma forma para Q ) sempre que n  ≥  d . Veja uma prova das identidades de Newton para uma aplicação eficaz deste princípio.

Propriedades do anel de funções simétricas

Identidades

O anel de funções simétricas é uma ferramenta conveniente para escrever identidades entre polinômios simétricos que são independentes do número de indeterminados: em Λ _R não existe tal número, mas pelo princípio acima qualquer identidade em Λ _R automaticamente dá às identidades os anéis de simétricos polinômios sobre R em qualquer número de indeterminados. Algumas identidades fundamentais são

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} e_ {i} h_ {ki} = 0 = \ sum _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} h_ {i} e_ {ki} \ quad {\ mbox {para todos}} k> 0,}$

que mostra uma simetria entre funções simétricas homogêneas elementares e completas; essas relações são explicadas sob polinômio simétrico homogêneo completo .

${\ displaystyle ke_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} (- 1) ^ {i-1} p_ {i} e_ {ki} \ quad {\ mbox {para todos}} k \ geq 0,}$

as identidades de Newton , que também têm uma variante para funções simétricas homogêneas completas:

${\ displaystyle kh_ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} h_ {ki} \ quad {\ mbox {para todos}} k \ geq 0.}$

Propriedades estruturais de Λ _R

Propriedades importantes de Λ _R incluem o seguinte.

1. O conjunto de funções simétricas monomiais parametrizadas por meio de divisórias formar uma base de Λ _R como graduada R - módulo , aqueles parametrizada por partições de d ser homogénea de grau d ; o mesmo é verdade para o conjunto de funções de Schur (também parametrizadas por partições).
2. Λ _R é isomórfico como uma álgebra R graduada a um anel polinomial R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] em infinitas variáveis, onde Y _i recebe grau  i para todo i  > 0, sendo um isomorfismo aquele que envia Y _i para e _i  ∈ Λ _R para cada  i .
3. Existe um automorfismo involutório ω de Λ _R que intercambia as funções simétricas elementares e _i e a função simétrica homogênea completa h _i para todo i . Ele também envia cada função simétrica de soma de potências p _i para (−1) ^{i −1} p _i , e permuta as funções de Schur entre si, trocando s _λ e s _{λ ^t} onde λ ^t é a partição transposta de λ. 

A propriedade 2 é a essência do teorema fundamental dos polinômios simétricos . Imediatamente implica em algumas outras propriedades:

• O subanel de Λ _R gerado por seus elementos de grau no máximo n é isomórfico ao anel de polinômios simétricos sobre R em n variáveis;
• A série Hilbert – Poincaré de Λ _R é , a função geradora das partições inteiras (isto também segue da propriedade 1);${\ displaystyle \ textstyle \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-t ^ {i}}}}$
• Para cada n  > 0, o R -módulo formado pela parte homogênea de Λ _R de grau n , módulo sua interseção com o subanel gerado por seus elementos de grau estritamente menor que n , é livre de classificação 1, e (a imagem de ) e _n é um gerador deste módulo- R ;
• Para cada família de funções simétricas ( f _i ) _{i > 0} em que f _i é homogênea de grau  i e dá um gerador do módulo R livre do ponto anterior (para todo i ), existe um isomorfismo alternativo de R graduado -álgebras de R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] como acima para Λ _R que envia Y _i para f _i ; em outras palavras, a família ( f _i ) _{i > 0} forma um conjunto de geradores polinomiais livres Λ _R .

Este último ponto se aplica em particular à família ( h _i ) _{i > 0} de funções simétricas homogêneas completas. Se R contém o campo  de números racionais , também se aplica à família ( p _i ) _{i > 0} de funções simétricas de soma de potências. Isso explica por que os primeiros n elementos de cada uma dessas famílias definem conjuntos de polinômios simétricos em n variáveis ​​que são geradores de polinômios livres daquele anel de polinômios simétricos. ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

O fato de as funções simétricas homogêneas completas formarem um conjunto de geradores polinomiais livres de Λ _R já mostra a existência de um automorfismo ω enviando as funções simétricas elementares às homogêneas completas, conforme mencionado na propriedade 3. O fato de ω ser uma involução de Λ _R segue da simetria entre funções simétricas homogêneas elementares e completas expressas pelo primeiro conjunto de relações dado acima.

O anel de funções simétricas Λ _Z é o anel Exp do inteiros Z . É também um anel lambda de uma forma natural; na verdade, é o anel lambda universal em um gerador.

Gerando funções

A primeira definição de Λ _R como um subanel de permite que as funções geradoras de várias sequências de funções simétricas sejam elegantemente expressas. Ao contrário das relações mencionadas anteriormente, que são internas a Λ _R , essas expressões envolvem operações que ocorrem em R [[ X ₁ , X ₂ , ...; t ]], mas fora de seu subanel Λ _R [[ t ]], então eles são significativos apenas se as funções simétricas forem vistas como séries de potências formais em indeterminados X _i . Devemos escrever "( X )" após as funções simétricas para enfatizar esta interpretação. ${\ displaystyle R [[X_ {1}, X_ {2}, ...]]}$

A função geradora para as funções simétricas elementares é

${\ displaystyle E (t) = \ sum _ {k \ geq 0} e_ {k} (X) t ^ {k} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} (1 + X_ {i} t).}$

Da mesma forma, para funções simétricas homogêneas completas

${\ displaystyle H (t) = \ sum _ {k \ geq 0} h_ {k} (X) t ^ {k} = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} \ left (\ sum _ { k \ geq 0} (X_ {i} t) ^ {k} \ right) = \ prod _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-X_ {i} t}}. }$

O fato óbvio que explica a simetria entre funções simétricas homogêneas elementares e completas. A função geradora para as funções simétricas de soma de potência pode ser expressa como ${\ displaystyle E (-t) H (t) = 1 = E (t) H (-t)}$

${\ displaystyle P (t) = \ sum _ {k> 0} p_ {k} (X) t ^ {k} = \ sum _ {k> 0} \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} (X_ {i} t) ^ {k} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {X_ {i} t} {1-X_ {i} t}} = {\ frac { tE '(- t)} {E (-t)}} = {\ frac {tH' (t)} {H (t)}}}$

((Macdonald, 1979) define P ( t ) como Σ _{k > 0}  p _k ( X ) t ^{k −1} , e suas expressões, portanto, carecem de um fator t com respeito àquelas fornecidas aqui). As duas expressões finais, envolvendo as derivadas formais das funções geradoras E ( t ) e H ( t ), implicam as identidades de Newton e suas variantes para as funções simétricas homogêneas completas. Essas expressões às vezes são escritas como

${\ displaystyle P (t) = - t {\ frac {d} {dt}} \ log (E (-t)) = t {\ frac {d} {dt}} \ log (H (t)), }$

que equivale ao mesmo, mas requer que R contenha os números racionais, de modo que o logaritmo da série de potências com termo constante 1 seja definido (por ). ${\ displaystyle \ textstyle \ log (1-tS) = - \ sum _ {i> 0} {\ frac {1} {i}} (tS) ^ {i}}$

Veja também

• Identidades de Newton
• Função quasisymmetric

Referências

• Macdonald, IG Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 pp. ISBN  0-19-853530-9 MR 553598
• Macdonald, IG Symmetric functions and Hall polynomials. Segunda edição. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x + 475 pp.  ISBN  0-19-853489-2 MR 1354144
• Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics , Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN  0-521-56069-1 (capa dura) ISBN  0-521-78987-7 (capa dura ).