Utilitário quasilinear - Quasilinear utility

Em economia e teoria do consumidor , quasilineares utilidade funções são lineares em um argumento, geralmente o numerário . As preferências quasilineares podem ser representadas pela função de utilidade onde é estritamente côncava . Uma propriedade útil da função de utilidade quase linear é que a demanda marshalliana / walrasiana por não depende da riqueza e, portanto, não está sujeita a um efeito riqueza ; A ausência de um efeito riqueza simplifica a análise e torna as funções de utilidade quase-lineares uma escolha comum para modelagem. Além disso, quando a utilidade é quase linear, a variação compensatória (CV), a variação equivalente (EV) e o excedente do consumidor${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {1} + \ theta (x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$são algébricamente equivalentes. No projeto do mecanismo , a utilidade quase-linear garante que os agentes possam compensar uns aos outros com pagamentos colaterais.

Definição em termos de preferências

Uma relação de preferência é quase-linear em relação à mercadoria 1 (chamada, neste caso, a mercadoria numerada ) se: ${\ displaystyle \ succsim}$

• Todos os conjuntos de indiferença são deslocamentos paralelos uns dos outros ao longo do eixo da mercadoria 1. Ou seja, se um pacote "x" é indiferente a um pacote "y" (x ~ y), então ${\ displaystyle \ left (x + \ alpha e_ {1} \ right) \ sim \ left (y + \ alpha e_ {1} \ right), \ forall \ alpha \ in \ mathbb {R}, e_ {1} = \ esquerda (1,0, ..., 0 \ direita)}$
• Bom 1 é desejável; isso é,${\ displaystyle \ left (x + \ alpha e_ {1} \ right) \ succ \ left (x \ right), \ forall \ alpha> 0}$

Em outras palavras: uma relação de preferência é quase linear se houver uma mercadoria, chamada numerário, que desloca as curvas de indiferença para fora à medida que aumenta o consumo dela, sem alterar sua inclinação.

No caso bidimensional, as curvas de indiferença são paralelas ; o que é útil porque toda a função de utilidade pode ser determinada a partir de uma única curva de indiferença.

Definição em termos de funções de utilidade

Uma função de utilidade é quase linear na mercadoria 1 se estiver na forma

${\ displaystyle u \ left (x_ {1}, \ dots, x_ {L} \ right) = x_ {1} + \ theta \ left (x_ {2}, ..., x_ {L} \ right)}$

onde é uma função arbitrária. No caso de dois bens, esta função pode ser, por exemplo,${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle u \ left (x, y \ right) = x + {\ sqrt {y}}.}$

A forma quase-linear é especial porque as funções de demanda para todos os bens de consumo, exceto um, dependem apenas dos preços e não da renda. Por exemplo, com duas commodities com preços p _x = 1 e p _y , se

${\ displaystyle u (x, y) = x + \ theta (y)}$

então, maximizando a utilidade sujeita à restrição de que as demandas pelos dois bens somam um determinado nível de renda, a demanda por y é derivada da equação

${\ displaystyle \ theta ^ {\ prime} (y) = p_ {y}}$

tão

${\ displaystyle y (p, I) = (\ theta ^ {\ prime}) ^ {- 1} (p_ {y}),}$

que é independente da renda eu .

A função de utilidade indireta, neste caso, é

${\ displaystyle v (p, I) = v (p) + I,}$

que é um caso especial da forma polar Gorman .

Equivalência de definições

As definições cardinal e ordinal são equivalentes no caso de um conjunto de consumo convexo com preferências contínuas que são localmente não saciadas no primeiro argumento.

Veja também

• Função quasiconvexa
• Função de utilidade linear - um tipo especial de função de utilidade quase linear .

Referências