Função de utilidade indireta - Indirect utility function

Em economia , a função de utilidade indireta do consumidor fornece a utilidade máxima atingível do consumidor quando confrontado com um vetor de preços de bens e uma quantidade de renda . Ele reflete as preferências do consumidor e as condições de mercado. ${\ displaystyle v (p, w)}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle w}$

Essa função é chamada de indireta porque os consumidores geralmente pensam em suas preferências em termos do que consomem, e não dos preços. A utilidade indireta de um consumidor pode ser calculada a partir de sua função de utilidade definida sobre vetores de quantidades de bens de consumo, calculando primeiro o pacote acessível mais preferido, representado pelo vetor , resolvendo o problema de maximização da utilidade e, em segundo lugar, calculando a utilidade do consumidor deriva desse pacote. A função de utilidade indireta resultante é ${\ displaystyle v (p, w)}$${\ displaystyle u (x),}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x (p, w)}$${\ displaystyle u (x (p, w))}$

${\ displaystyle v (p, w) = u (x (p, w)).}$

A função de utilidade indireta é:

• Contínuo em R ⁿ ₊ × R ₊ onde n é o número de bens;
• Diminuição dos preços;
• Aumentando estritamente na receita;
• Homogêneo com grau zero em preços e receitas; se os preços e a renda são todos multiplicados por uma determinada constante, o mesmo pacote de consumo representa um máximo, de modo que a utilidade ótima não muda;
• quase convexo em ( p , w ).

Além disso, a identidade de Roy afirma que se v ( p , w ) é diferenciável em e , então ${\ displaystyle (p ^ {0}, w ^ {0})}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial v (p, w)} {\ partial w}} \ neq 0}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ partial v (p ^ {0}, w ^ {0}) / (\ partial p_ {i})} {\ partial v (p ^ {0}, w ^ {0} ) / \ parcial w}} = x_ {i} (p ^ {0}, w ^ {0}), \ quad i = 1, \ pontos, n.}$

Utilidade indireta e despesas

A função utilidade indireta é o inverso da função despesa quando os preços são mantidos constantes. Ou seja, para cada vetor de preço e nível de utilidade : ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle v (p, e (p, u)) \ equiv u}$

Exemplo

Suponha que a função de utilidade seja a função Cobb-Douglas que tem as funções de demanda marshalliana ${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = x_ {1} ^ {. 6} x_ {2} ^ {. 4},}$

${\ displaystyle x_ {1} (p_ {1}, p_ {2}) = {\ frac {.6w} {p_ {1}}} \; \; \; \; {\ rm {e}} \; \; \; x_ {2} (p_ {1}, p_ {2}) = {\ frac {.4w} {p_ {2}}},}$

onde está a renda do consumidor. A função de utilidade indireta é encontrada substituindo as quantidades na função de utilidade pelas funções de demanda, assim: ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, w)}$

${\ displaystyle v (p_ {1}, p_ {2}, w) = u (x_ {1} ^ {*}, x_ {2} ^ {*}) = (x_ {1} ^ {*}) ^ {.6} (x_ {2} ^ {*}) ^ {. 4} = \ left ({\ frac {.6w} {p_ {1}}} \ right) ^ {. 6} \ left ({\ frac {.4w} {p_ {2}}} \ right) ^ {. 4} = (. 6 ^ {. 6} *. 4 ^ {. 4}) w ^ {. 6 + .4} p_ {1 } ^ {-. 6} p_ {2} ^ {-. 4} = Kp_ {1} ^ {-. 6} p_ {2} ^ {-. 4} w,}$

onde Observe que a função de utilidade mostra a utilidade para quaisquer quantidades que seus argumentos contenham, mesmo se eles não forem ótimos para o consumidor e não resolverem seu problema de maximização de utilidade. A função de utilidade indireta, em contraste, assume que o consumidor derivou suas funções de demanda de maneira ótima para determinados preços e renda. ${\ displaystyle K = (. 6 ^ {. 6} *. 4 ^ {. 4}).}$

Veja também

• Forma polar Gorman
• Função de demanda hicksiana
• Função de valor

Referências

Leitura adicional

• Cornes, Richard (1992). "Comportamento individual do consumidor: funções de utilidade direta e indireta". Dualidade e Economia Moderna . Nova York: Cambridge University Press. pp. 31–62. ISBN 0-521-33601-5.
• Jehle, GA ; Reny, PJ (2011). Advanced Microeconomic Theory (Terceira ed.). Harlow: Prentice Hall. pp. 28–33. ISBN 978-0-273-73191-7.
• Luenberger, David G. (1995). Teoria Microeconômica . Nova York: McGraw-Hill. pp. 103–107. ISBN 0-07-049313-8.
• Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Green, Jerry R. (1995). Teoria Microeconômica . Nova York: Oxford University Press. pp. 56–57. ISBN 0-19-507340-1.
• Nicholson, Walter (1978). Microeconomic Theory: Basic Principles and Extensions (Segunda ed.). Hinsdale: Dryden Press. pp. 57–59. ISBN 0-03-020831-9.