Projeto de mecanismo - Mechanism design

O diagrama de Stanley Reiter acima ilustra um jogo de projeto de mecanismo. O espaço superior esquerdo representa o espaço de tipo e o espaço superior direito X o espaço de resultados. A função de escolha social mapeia um perfil de tipo para um resultado. Em jogos de design de mecanismo, os agentes enviam mensagens em um ambiente de jogo . O equilíbrio no jogo pode ser projetado para implementar alguma função de escolha social .${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle f (\ theta)}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ xi (M, g, \ theta)}$${\ displaystyle f (\ theta)}$

O projeto de mecanismos é um campo da economia e da teoria dos jogos que adota uma abordagem de objetivos em primeiro lugar para projetar mecanismos ou incentivos econômicos , em direção aos objetivos desejados, em cenários estratégicos , onde os jogadores agem racionalmente . Como ela começa no final do jogo e depois vai para trás, também é chamada de teoria reversa do jogo . Ele tem amplas aplicações, desde economia e política em campos como design de mercado , teoria do leilão e teoria da escolha social até sistemas em rede (roteamento entre domínios da Internet, leilões de busca patrocinados).

Projeto de mecanismo estuda conceitos de solução para uma classe de jogos de informação privada. Leonid Hurwicz explica que 'em um problema de projeto, a função objetivo é o principal "dado", enquanto o mecanismo é o desconhecido. Portanto, o problema de design é o “inverso” da teoria econômica tradicional, que normalmente se dedica à análise do desempenho de um dado mecanismo. ' Portanto, duas características distintas desses jogos são:

• que um "designer" de jogo escolhe a estrutura do jogo em vez de herdar uma
• que o designer está interessado no resultado do jogo

O Prêmio Nobel de Ciências Econômicas de 2007 foi concedido a Leonid Hurwicz , Eric Maskin e Roger Myerson "por terem lançado as bases da teoria do projeto de mecanismo".

Intuição

Em uma classe interessante de jogos bayesianos , um jogador, chamado de "principal", gostaria de condicionar seu comportamento a informações de conhecimento privado de outros jogadores. Por exemplo, o diretor gostaria de saber a verdadeira qualidade de um carro usado que um vendedor está apresentando. Ele não pode aprender nada simplesmente perguntando ao vendedor, porque é do interesse do vendedor distorcer a verdade. No entanto, no projeto de mecanismo, o principal tem uma vantagem: ele pode projetar um jogo cujas regras podem influenciar os outros a agirem da maneira que ele gostaria.

Sem a teoria do projeto do mecanismo, o problema do diretor seria difícil de resolver. Ele teria que considerar todos os jogos possíveis e escolher aquele que melhor influencia as táticas dos outros jogadores. Além disso, o diretor teria que tirar conclusões de agentes que podem mentir para ele. Graças ao desenho do mecanismo, e particularmente ao princípio da revelação , o diretor só precisa considerar jogos nos quais os agentes relatam com veracidade suas informações privadas.

Fundações

Mecanismo

Um jogo de desenho de mecanismo é um jogo de informação privada em que um dos agentes, denominado principal, escolhe a estrutura de payoff. Seguindo Harsanyi  ( 1967 ), os agentes recebem "mensagens" secretas da natureza contendo informações relevantes aos payoffs. Por exemplo, uma mensagem pode conter informações sobre suas preferências ou a qualidade de um produto à venda. Chamamos essas informações de "tipo" do agente (geralmente anotado e, portanto, o espaço dos tipos ). Em seguida, os agentes relatam um tipo ao diretor (geralmente identificado com um chapéu ) que pode ser uma mentira estratégica. Após o relatório, o principal e os agentes são pagos de acordo com a estrutura de pagamento escolhida pelo principal. ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ Theta}$${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$

O momento do jogo é:

1. O diretor se compromete com um mecanismo que concede um resultado em função do tipo relatado${\ displaystyle y ()}$${\ displaystyle y}$
2. Os agentes relatam, possivelmente de forma desonesta, um perfil de tipo ${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$
3. O mecanismo é executado (os agentes recebem o resultado )${\ displaystyle y ({\ hat {\ theta}})}$

Para entender quem recebe o quê, é comum dividir o resultado em uma alocação de bens e uma transferência de dinheiro, onde representa uma alocação de bens prestados ou recebidos em função do tipo e representa uma transferência monetária em função de modelo. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y (\ theta) = \ {x (\ theta), t (\ theta) \}, \ x \ in X, t \ in T}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

Como referência, o designer geralmente define o que aconteceria com informações completas. Defina um função de escolha social mapeando o perfil de tipo (verdadeiro) diretamente para a alocação de bens recebidos ou prestados, ${\ displaystyle f (\ theta)}$

${\ displaystyle f (\ theta): \ Theta \ rightarrow X}$

Em contraste, um mecanismo mapeia o perfil de tipo relatado para um resultado (novamente, tanto uma alocação de bens quanto uma transferência de dinheiro ) ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle y ({\ hat {\ theta}}): \ Theta \ rightarrow Y}$

Princípio de revelação

Um mecanismo proposto constitui um jogo Bayesiano (um jogo de informação privada) e, se for bem comportado, o jogo possui um equilíbrio de Nash Bayesiano . No equilíbrio, os agentes escolhem seus relatórios estrategicamente em função do tipo

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta)}$

É difícil resolver para o equilíbrio bayesiano em tal cenário porque envolve a solução para as estratégias de melhor resposta dos agentes e para a melhor inferência de uma possível mentira estratégica. Graças a um resultado abrangente chamado de princípio da revelação, não importa o mecanismo, um designer pode limitar a atenção a equilíbrios nos quais os agentes relatam o tipo de maneira verdadeira. O princípio da revelação afirma: "A cada equilíbrio de Nash Bayesiano corresponde um jogo Bayesiano com o mesmo resultado de equilíbrio, mas no qual os jogadores relatam o tipo de maneira verdadeira".

Isso é extremamente útil. O princípio permite que se resolva um equilíbrio Bayesiano assumindo que todos os jogadores relatam o tipo de verdade (sujeito a uma restrição de compatibilidade de incentivo ). Com um golpe, ele elimina a necessidade de considerar o comportamento estratégico ou a mentira.

Sua prova é bastante direta. Suponha um jogo bayesiano no qual a estratégia e o payoff do agente são funções de seu tipo e o que os outros fazem ,. Por definição, a estratégia de equilíbrio do agente i é Nash em utilidade esperada: ${\ displaystyle u_ {i} \ left (s_ {i} (\ theta _ {i}), s _ {- i} (\ theta _ {- i}), \ theta _ {i} \ right)}$${\ displaystyle s (\ theta _ {i})}$

${\ displaystyle s_ {i} (\ theta _ {i}) \ in \ arg \ max _ {s '_ {i} \ in S_ {i}} \ sum _ {\ theta _ {- i}} \ p (\ theta _ {- i} \ mid \ theta _ {i}) \ u_ {i} \ left (s '_ {i}, s _ {- i} (\ theta _ {- i}), \ theta _ {eu certo)}$

Basta definir um mecanismo que induziria os agentes a escolher o mesmo equilíbrio. O mais fácil de definir é que o mecanismo se comprometa a jogar para eles as estratégias de equilíbrio dos agentes .

${\ displaystyle y ({\ hat {\ theta}}): \ Theta \ rightarrow S (\ Theta) \ rightarrow Y}$

Sob tal mecanismo, os agentes naturalmente consideram ótimo revelar o tipo, uma vez que o mecanismo executa as estratégias que eles consideram ótimas de qualquer maneira. Formalmente, escolha tal que ${\ displaystyle y (\ theta)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ theta _ {i} \ in {} & \ arg \ max _ {\ theta '_ {i} \ in \ Theta} \ sum _ {\ theta _ {- i}} \ p (\ theta _ {- i} \ mid \ theta _ {i}) \ u_ {i} \ left (y (\ theta '_ {i}, \ theta _ {- i}), \ theta _ { i} \ right) \\ [5pt] & = \ sum _ {\ theta _ {- i}} \ p (\ theta _ {- i} \ mid \ theta _ {i}) \ u_ {i} \ left (s_ {i} (\ theta), s _ {- i} (\ theta _ {- i}), \ theta _ {i} \ right) \ end {alinhado}}}$

Implementabilidade

O projetista de um mecanismo geralmente espera que

• para projetar um mecanismo que "implemente" uma função de escolha social${\ displaystyle y ()}$
• para encontrar o mecanismo que maximiza algum critério de valor (por exemplo, lucro)${\ displaystyle y ()}$

Para implementar uma função de escolha social é encontrar alguma função de transferência que os agentes motiva a escolher . Formalmente, se o perfil da estratégia de equilíbrio sob o mecanismo mapeia para a mesma alocação de bens como uma função de escolha social, ${\ displaystyle f (\ theta)}$${\ displaystyle t (\ theta)}$${\ displaystyle f (\ theta)}$

${\ displaystyle f (\ theta) = x \ left ({\ hat {\ theta}} (\ theta) \ right)}$

dizemos que o mecanismo implementa a função de escolha social.

Graças ao princípio da revelação, o designer geralmente pode encontrar uma função de transferência para implementar uma escolha social, resolvendo um jogo de contar a verdade associado. Se os agentes acharem ideal para relatar o tipo de verdade, ${\ displaystyle t (\ theta)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ theta}} (\ theta) = \ theta}$

dizemos que esse mecanismo é verdadeiramente implementável (ou apenas "implementável"). A tarefa é, então, resolver para um implementável de verdade e imputar essa função de transferência ao jogo original. Uma alocação é verdadeiramente implementável se houver uma função de transferência tal que ${\ displaystyle t (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle t (\ theta)}$

${\ displaystyle u (x (\ theta), t (\ theta), \ theta) \ geq u (x ({\ hat {\ theta}}), t ({\ hat {\ theta}}), \ theta ) \ \ forall \ theta, {\ hat {\ theta}} \ in \ Theta}$

que também é chamada de restrição de compatibilidade de incentivo (IC).

Em aplicações, a condição IC é a chave para descrever a forma de qualquer forma útil. Sob certas condições, pode até isolar a função de transferência analiticamente. Além disso, às vezes é adicionada uma restrição de participação ( racionalidade individual ) se os agentes tiverem a opção de não jogar. ${\ displaystyle t (\ theta)}$

Necessidade

Considere uma configuração em que todos os agentes têm uma função de utilidade contingente do tipo . Considere também uma alocação de bens com valor e tamanho vetorial (que permite o número de bens) e suponha que seja contínua por partes em relação aos seus argumentos. ${\ displaystyle u (x, t, \ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

A função é implementável apenas se ${\ displaystyle x (\ theta)}$

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left ({\ frac {\ partial u / \ partial x_ {k}} {\ left | \ parcial u / \ parcial t \ direita |}} \ direita) {\ frac {\ parcial x} {\ parcial \ theta}} \ geq 0}$

sempre que e e x for contínuo em . Esta é uma condição necessária e é derivada das condições de primeira e segunda ordem do problema de otimização do agente, pressupondo que se diga a verdade. ${\ displaystyle x = x (\ theta)}$${\ displaystyle t = t (\ theta)}$${\ displaystyle \ theta}$

Seu significado pode ser entendido em duas partes. A primeira parte diz que a taxa marginal de substituição (MRS) do agente aumenta em função do tipo,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left ({\ frac {\ partial u / \ partial x_ {k}} {\ left | \ partial u / \ partial t \ right |} } \ right) = {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ mathrm {MRS} _ {x, t}}$

Em suma, os agentes não dirão a verdade se o mecanismo não oferecer um melhor negócio aos tipos de agentes superiores. Caso contrário, os tipos superiores que enfrentam qualquer mecanismo que pune os tipos altos para relatar irão mentir e declarar que são tipos inferiores, violando a restrição do IC de dizer a verdade. A segunda peça é uma condição de monotonicidade esperando para acontecer,

${\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial \ theta}}}$

o que, para ser positivo, significa que os tipos superiores devem receber mais do que é bom.

Existe potencial para as duas peças interagirem. Se, para alguma faixa de tipo, o contrato oferecesse menos quantidade a tipos superiores , é possível que o mecanismo compensasse dando aos tipos superiores um desconto. Mas tal contrato já existe para agentes de tipo baixo, então esta solução é patológica. Essa solução às vezes ocorre no processo de resolução de um mecanismo. Nestes casos, deve ser " passado ". Em um ambiente de vários produtos, também é possível para o designer recompensar o agente com mais de um produto para substituir menos do outro (por exemplo, manteiga no lugar da margarina ). Mecanismos de múltiplos bens são um problema contínuo na teoria do projeto de mecanismos. ${\ displaystyle \ partial x / \ partial \ theta <0}$

Suficiência

Os documentos de design de mecanismo geralmente fazem duas suposições para garantir a implementabilidade:

1. ${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} {\ frac {\ partial u / \ partial x_ {k}} {\ left | \ partial u / \ partial t \ right |}}> 0 \ \ forall k}$

Isso é conhecido por vários nomes: a condição de cruzamento único , a condição de classificação e a condição Spence-Mirrlees. Isso significa que a função de utilidade é de tal forma que o tipo de MRS do agente está aumentando.

2. ${\ displaystyle \ existe K_ {0}, K_ {1} {\ text {tal que}} \ left | {\ frac {\ parcial u / \ parcial x_ {k}} {\ parcial u / \ parcial t}} \ right | \ leq K_ {0} + K_ {1} | t |}$

Esta é uma condição técnica que limita a taxa de crescimento da MRS.

Essas suposições são suficientes para fornecer que qualquer monotônico seja implementável ( existe um que pode implementá-lo). Além disso, no cenário de um único bem, a condição de cruzamento único é suficiente para fornecer que apenas um monotônico seja implementável, de modo que o designer pode limitar sua pesquisa a um monotônico . ${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle t (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

Resultados em destaque

Teorema de equivalência de receita

Vickrey  ( 1961 ) apresenta um resultado célebre de que qualquer membro de uma grande classe de leilões garante ao vendedor a mesma receita esperada e que a receita esperada é o melhor que o vendedor pode fazer. Este é o caso se

1. Os compradores têm funções de avaliação idênticas (que podem ser uma função do tipo)
2. Os tipos de compradores são distribuídos de forma independente
3. Os tipos de compradores são retirados de uma distribuição contínua
4. A distribuição de tipo tem a propriedade de taxa de risco monótona
5. O mecanismo vende o bem ao comprador com a maior avaliação

A última condição é crucial para o teorema. Uma implicação é que, para o vendedor obter uma receita maior, ele deve se arriscar a dar o item a um agente com uma avaliação mais baixa. Normalmente, isso significa que ele deve correr o risco de não vender o item.

Mecanismos de Vickrey – Clarke – Groves

O modelo de leilão de Vickrey (1961) foi posteriormente expandido por Clarke  ( 1971 ) e Groves para tratar um problema de escolha pública em que o custo de um projeto público é arcado por todos os agentes, por exemplo, a construção de uma ponte municipal. O mecanismo "Vickrey-Clarke-Groves" resultante pode motivar os agentes a escolher a alocação socialmente eficiente do bem público, mesmo que os agentes tenham avaliações conhecidas de forma privada. Em outras palavras, pode resolver a " tragédia dos comuns " - sob certas condições, em particular a utilidade quase-linear ou se o equilíbrio orçamentário não for necessário.

Considere um cenário no qual o número de agentes tem utilidade quase-linear com avaliações privadas onde a moeda é avaliada linearmente. O designer VCG projeta um mecanismo de incentivo compatível (portanto, verdadeiramente implementável) para obter o perfil de tipo verdadeiro, a partir do qual o designer implementa a alocação socialmente ideal ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle v (x, t, \ theta)}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle x_ {I} ^ {*} (\ theta) \ in {\ underset {x \ in X} {\ operatorname {argmax}}} \ sum _ {i \ in I} v (x, \ theta _ {eu})}$

A inteligência do mecanismo VCG é a maneira como ele motiva a revelação verdadeira. Elimina incentivos para relatórios incorretos, penalizando qualquer agente com o custo da distorção que ele causa. Entre os relatos que o agente pode fazer, o mecanismo VCG permite um laudo "nulo" dizendo que ele é indiferente ao bem público e se preocupa apenas com a transferência de dinheiro. Isso remove efetivamente o agente do jogo. Se um agente decidir relatar um tipo, o mecanismo VCG cobra do agente uma taxa se seu relatório for fundamental , isto é, se seu relatório alterar a alocação ótima x de modo a prejudicar outros agentes. O pagamento é calculado

${\ displaystyle t_ {i} ({\ hat {\ theta}}) = \ sum _ {j \ in Ii} v_ {j} (x_ {Ii} ^ {*} (\ theta _ {Ii}), \ theta _ {j}) - \ sum _ {j \ in Ii} v_ {j} (x_ {I} ^ {*} ({\ hat {\ theta}} _ {i}, \ theta _ {I}) , \ theta _ {j})}$

que soma a distorção nas utilidades dos outros agentes (e não nas suas) causada pelo relato de um agente.

Teorema de Gibbard-Satterthwaite

Gibbard  ( 1973 ) e Satterthwaite  ( 1975 ) fornecem um resultado de impossibilidade semelhante em espírito ao teorema da impossibilidade de Arrow . Para uma classe de jogos muito geral, apenas as funções de escolha social "ditatorial" podem ser implementadas.

Uma função de escolha social f () é ditatorial se um agente sempre recebe sua alocação de bens mais favorecida,

${\ displaystyle {\ text {for}} f (\ Theta) {\ text {,}} \ existe i \ in I {\ text {tal que}} u_ {i} (x, \ theta _ {i}) \ geq u_ {i} (x ', \ theta _ {i}) \ \ forall x' \ em X}$

O teorema afirma que, sob condições gerais, qualquer função de escolha social verdadeiramente implementável deve ser ditatorial se,

1. X é finito e contém pelo menos três elementos
2. As preferências são racionais
3. ${\ displaystyle f (\ Theta) = X}$

Teorema de Myerson-Satterthwaite

Myerson e Satterthwaite ( 1983 ) mostram que não há maneira eficiente de duas partes negociarem uma mercadoria quando cada uma delas tem avaliações secretas e probabilisticamente variáveis ​​para ela, sem o risco de forçar uma das partes a negociar com prejuízo. É um dos resultados negativos mais notáveis ​​da economia - uma espécie de espelho negativo para os teoremas fundamentais da economia do bem-estar .

Exemplos

Discriminação de preço

Mirrlees  ( 1971 ) introduz uma configuração na qual a função de transferência t () é fácil de resolver. Devido à sua relevância e tratabilidade, é um cenário comum na literatura. Considere uma configuração de agente único e bom, em que o agente tem uma utilidade quase - linear com um parâmetro de tipo desconhecido${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle u (x, t, \ theta) = V (x, \ theta) -t}$

e em que o principal tem um CDF anterior sobre o tipo do agente . O principal pode produzir bens a um custo marginal convexo c ( x ) e deseja maximizar o lucro esperado da transação ${\ displaystyle P (\ theta)}$

${\ displaystyle \ max _ {x (\ theta), t (\ theta)} \ mathbb {E} _ {\ theta} \ left [t (\ theta) -c \ left (x (\ theta) \ right) \direito]}$

sujeito às condições IC e IR

${\ displaystyle u (x (\ theta), t (\ theta), \ theta) \ geq u (x (\ theta '), t (\ theta'), \ theta) \ \ forall \ theta, \ theta ' }$

${\ displaystyle u (x (\ theta), t (\ theta), \ theta) \ geq {\ underline {u}} (\ theta) \ \ forall \ theta}$

O principal aqui é um monopolista que tenta estabelecer um esquema de preços que maximize o lucro, no qual não consegue identificar o tipo de cliente. Um exemplo comum é a definição de tarifas de uma companhia aérea para viajantes a negócios, lazer e estudantes. Devido à condição de IR, tem que dar a cada tipo um negócio bom o suficiente para induzir a participação. Devido à condição do IC, ele tem que oferecer a cada tipo um negócio bom o suficiente para que o tipo prefira seu negócio a qualquer outro.

Um truque dado por Mirrlees (1971) é usar o teorema do envelope para eliminar a função de transferência da expectativa de ser maximizada,

${\ displaystyle {\ text {let}} U (\ theta) = \ max _ {\ theta '} u \ left (x (\ theta'), t (\ theta '), \ theta \ right)}$

${\ displaystyle {\ frac {dU} {d \ theta}} = {\ frac {\ parcial u} {\ parcial \ theta}} = {\ frac {\ parcial V} {\ parcial \ theta}}}$

Integrando,

${\ displaystyle U (\ theta) = {\ underline {u}} (\ theta _ {0}) + \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} {\ frac {\ parcial V} { \ parcial {\ tilde {\ theta}}}} d {\ tilde {\ theta}}}$

onde está algum tipo de índice. Substituindo o incentivo compatível no máximo, ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$${\ displaystyle t (\ theta) = V (x (\ theta), \ theta) -U (\ theta)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & \ mathbb {E} _ {\ theta} \ left [V (x (\ theta), \ theta) - {\ underline {u}} (\ theta _ {0}) - \ int _ {\ theta _ {0}} ^ {\ theta} {\ frac {\ partial V} {\ partial {\ tilde {\ theta}}}} d {\ tilde {\ theta}} - c \ left (x (\ theta) \ right) \ right] \\ & {} = \ mathbb {E} _ {\ theta} \ left [V (x (\ theta), \ theta) - {\ underline {u} } (\ theta _ {0}) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial \ theta}} - c \ esquerda ( x (\ theta) \ right) \ right] \ end {alinhado}}}$

após uma integração por partes. Esta função pode ser maximizada pontualmente.

Por ser compatível com o incentivo, o projetista pode descartar a restrição IC. Se a função de utilidade satisfaz a condição Spence-Mirrlees, então existe uma função monotônica . A restrição de IR pode ser verificada no equilíbrio e a tabela de taxas aumentada ou diminuída de acordo. Além disso, observe a presença de uma taxa de risco na expressão. Se a distribuição de tipo carrega a propriedade de razão de risco monótona, o FOC é suficiente para resolver para t (). Caso contrário, é necessário verificar se a restrição de monotonicidade (ver suficiência , acima) é satisfeita em todos os pontos ao longo das tabelas de alocação e taxas. Caso contrário, o designer deve usar o engomadoria Myerson. ${\ displaystyle U (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

Myerson engomado

É possível resolver para um produto ou tabela de preços que satisfaça as condições de primeira ordem, mas não seja monotônico. Nesse caso, é necessário "passar" a programação escolhendo algum valor no qual nivelar a função.

Em algumas aplicações, o projetista pode resolver as condições de primeira ordem para os cronogramas de preço e alocação, mas descobrir que não são monotônicos. Por exemplo, na configuração quase-linear, isso geralmente acontece quando a razão de risco em si não é monótona. Pela condição de Spence-Mirrlees, o preço ideal e os cronogramas de alocação devem ser monotônicos, de modo que o projetista deve eliminar qualquer intervalo durante o qual o cronograma muda de direção, achatando-o.

Intuitivamente, o que está acontecendo é as descobertas de designer-lo ideal para grupo de certos tipos juntos e dar-lhes o mesmo contrato. Normalmente, o designer motiva os tipos superiores a se distinguirem, oferecendo-lhes um negócio melhor. Se houver um número insuficiente de tipos superiores na margem, o projetista não acha que vale a pena conceder aos tipos inferiores uma concessão (chamada de aluguel de informação ) para cobrar dos tipos superiores um contrato específico de tipo.

Considere uma venda principal monopolista para agentes com utilidade quase-linear, o exemplo acima. Suponha que a programação de alocação que satisfaça as condições de primeira ordem tenha um único pico interno em e uma única calha interna em , ilustrado à direita. ${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ theta _ {2}> \ theta _ {1}}$

• Seguindo Myerson (1981), aplique-o ao escolher satisfatório${\ displaystyle x}$
  $${\ displaystyle \ int _ {\ phi _ {2} (x)} ^ {\ phi _ {1} (x)} \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial x}} (x, \ theta) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ partial ^ {2} V} {\ partial \ theta \, \ partial x}} (x, \ theta) - {\ frac {\ partial c} {\ partial x}} (x) \ right) d \ theta = 0}$$

  
  onde é a função inversa de x mapeando para e é a função inversa de x mapeando para . Ou seja, retorna a antes do pico interno e retorna a após a calha interna.${\ displaystyle \ phi _ {1} (x)}$${\ displaystyle \ theta \ leq \ theta _ {1}}$${\ displaystyle \ phi _ {2} (x)}$${\ displaystyle \ theta \ geq \ theta _ {2}}$${\ displaystyle \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ phi _ {2}}$${\ displaystyle \ theta}$
• Se a região não monotônica das fronteiras for a borda do espaço de tipo, simplesmente defina a função apropriada (ou ambas) para o tipo de limite. Se houver várias regiões, consulte um livro para obter um procedimento iterativo; pode ser que mais de uma calha devam ser passadas a ferro juntas.${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$

Prova

A prova usa a teoria do controle ótimo. Ele considera o conjunto de intervalos na região não monotônica sobre os quais pode achatar o cronograma. Em seguida, ele escreve um hamiltoniano para obter as condições necessárias para a dentro dos intervalos ${\ displaystyle \ left [{\ underline {\ theta}}, {\ overline {\ theta}} \ right]}$${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

1. isso satisfaz a monotonicidade
2. para o qual a restrição de monotonicidade não é vinculativa nos limites do intervalo

A condição dois garante que a satisfação do problema de controle ótimo reconecte-se à programação no problema original nos limites do intervalo (sem saltos). Qualquer coisa que satisfaça as condições necessárias deve ser plana porque deve ser monotônica e ainda reconectar nas fronteiras. ${\ displaystyle x (\ theta)}$${\ displaystyle x (\ theta)}$

Como antes, maximize o retorno esperado do principal, mas desta vez sujeito à restrição de monotonicidade

${\ displaystyle {\ frac {\ partial x} {\ partial \ theta}} \ geq 0}$

e usar um hamiltoniano para fazer isso, com preço sombra ${\ displaystyle \ nu (\ theta)}$

${\ displaystyle H = \ left (V (x, \ theta) - {\ underline {u}} (\ theta _ {0}) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta) }} {\ frac {\ parcial V} {\ parcial \ theta}} (x, \ theta) -c (x) \ direita) p (\ theta) + \ nu (\ theta) {\ frac {\ parcial x } {\ parcial \ theta}}}$

onde é uma variável de estado e o controle. Como de costume no controle ótimo, a equação de evolução de custo deve satisfazer ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ partial x / \ partial \ theta}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ nu} {\ partial \ theta}} = - {\ frac {\ partial H} {\ partial x}} = - \ left ({\ frac {\ partial V} {\ parcial x}} (x, \ theta) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ theta \, \ parcial x}} (x, \ theta) - {\ frac {\ parcial c} {\ parcial x}} (x) \ direita) p (\ theta)}$

Aproveitando a condição 2, observe que a restrição de monotonicidade não é vinculativa nos limites do intervalo, ${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ nu ({\ underline {\ theta}}) = \ nu ({\ overline {\ theta}}) = 0}$

o que significa que a condição da variável costate pode ser integrada e também é igual a 0

${\ displaystyle \ int _ {\ underline {\ theta}} ^ {\ overline {\ theta}} \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial x}} (x, \ theta) - {\ frac {1-P (\ theta)} {p (\ theta)}} {\ frac {\ parcial ^ {2} V} {\ parcial \ theta \, \ parcial x}} (x, \ theta) - {\ frac {\ parcial c} {\ parcial x}} (x) \ direita) p (\ theta) \, d \ theta = 0}$

A distorção média do excedente do principal deve ser 0. Para nivelar o esquema, encontre um tal que sua imagem inversa mapeie para um intervalo que satisfaça a condição acima. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ theta}$

Veja também

Notas

Referências

• Clarke, Edward H. (1971). "Preços multipartes de bens públicos" (PDF) . Escolha pública . 11 (1): 17–33. doi : 10.1007 / BF01726210 . JSTOR  30022651 . S2CID  154860771 .
• Gibbard, Allan (1973). "Manipulação de esquemas de votação: um resultado geral" (PDF) . Econometrica . 41 (4): 587–601. doi : 10.2307 / 1914083 . JSTOR  1914083 .
• Groves, Theodore (1973). "Incentivos nas equipes" (PDF) . Econometrica . 41 (4): 617–631. doi : 10.2307 / 1914085 . JSTOR  1914085 .
• Harsanyi, John C. (1967). "Jogos com informação incompleta jogados por jogadores" Bayesianos ", I-III. Parte I. O Modelo Básico". Ciência da Administração . 14 (3): 159–182. doi : 10.1287 / mnsc.14.3.159 . JSTOR  2628393 .
• Mirrlees, JA (1971). "Uma exploração na teoria da tributação ótima da renda" (PDF) . Revisão de Estudos Econômicos . 38 (2): 175–208. doi : 10.2307 / 2296779 . JSTOR  2296779 . Arquivado do original (PDF) em 10/05/2017 . Página visitada em 12/08/2016 .
• Myerson, Roger B .; Satterthwaite, Mark A. (1983). "Mecanismos Eficientes para Negociação Bilateral" (PDF) . Journal of Economic Theory . 29 (2): 265–281. doi : 10.1016 / 0022-0531 (83) 90048-0 . hdl : 10419/220829 .
• Satterthwaite, Mark Allen (1975). "Resistência à estratégia e condições de Arrow: Teoremas de existência e correspondência para procedimentos de votação e funções de bem-estar social". Journal of Economic Theory . 10 (2): 187–217. CiteSeerX  10.1.1.471.9842 . doi : 10.1016 / 0022-0531 (75) 90050-2 .
• Vickrey, William (1961). "Contraespeculação, leilões e propostas seladas competitivas" (PDF) . The Journal of Finance . 16 (1): 8–37. doi : 10.1111 / j.1540-6261.1961.tb02789.x .

Leitura adicional

• Capítulo 7 de Fudenberg, Drew; Tirole, Jean (1991), Game Theory , Boston: MIT Press , ISBN 978-0-262-06141-4. Um texto padrão para a teoria dos jogos de pós-graduação.
• Capítulo 23 de Mas-Colell ; Whinston; Green (1995), Microeconomic Theory , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-507340-9. Um texto padrão para microeconomia de graduação.
• Milgrom, Paul (2004), Putting Auction Theory to Work , Nova York: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55184-7. Aplicações dos princípios de desenho de mecanismos no contexto de leilões.
• Noam Nisan . Uma palestra técnica do Google sobre projeto de mecanismo.
• Legros, Patrick; Cantillon, Estelle (2007). "O que é desenho de mecanismo e por que é importante para a formulação de políticas?" . Centro de Pesquisa de Política Econômica .
• Roger B. Myerson (2008). "Mechanism Design," The New Palgrave Dictionary of Economics Online, Abstract.
• Diamantaras, Dimitrios (2009), A Toolbox for Economic Design , Nova York: Palgrave Macmillan , ISBN 978-0-230-61060-6. Um texto de graduação focado especificamente no projeto de mecanismos.

links externos

• Eric Maskin " Conferência do Prêmio Nobel " proferida em 8 de dezembro de 2007 na Aula Magna , Universidade de Estocolmo.