Desigualdade de Muirhead - Muirhead's inequality

Na matemática , a desigualdade de Muirhead , em homenagem a Robert Franklin Muirhead , também conhecido como método de "agrupamento", generaliza a desigualdade de meios aritméticos e geométricos .

Definições preliminares

um - significa

Para qualquer vetor real

${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$

definir a " a- média" [ a ] de números reais positivos x ₁ , ..., x _n por

${\ displaystyle [a] = {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {\ sigma} x _ {\ sigma _ {1}} ^ {a_ {1}} \ cdots x _ {\ sigma _ {n }} ^ {a_ {n}},}$

onde a soma se estende por todas as permutações σ de {1, ..., n }.

Quando os elementos de a são inteiros não negativos, o a -mean pode ser definido de forma equivalente por meio do polinômio monomial simétrico como ${\ displaystyle m_ {a} (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$

${\ displaystyle [a] = {\ frac {k_ {1}! \ cdots k_ {l}!} {n!}} m_ {a} (x_ {1}, \ dots, x_ {n}),}$

onde l é o número de elementos distintos em a , e k ₁ , ..., k _l são suas multiplicidades.

Note-se que a uma -mean como definido acima tem apenas as propriedades normais de uma média (por exemplo, se a média de um número igual é igual a eles) se . No caso geral, pode-se considerar , em vez disso , o que é chamado de média de Muirhead . ${\ displaystyle a_ {1} + \ cdots + a_ {n} = 1}$${\ displaystyle [a] ^ {1 / (a_ {1} + \ cdots + a_ {n})}}$

Exemplos

• Para a = (1, 0, ..., 0), a a- média é apenas a média aritmética ordinária de x ₁ , ..., x _n .
• Para a = (1 / n , ..., 1 / n ), a a- média é a média geométrica de x ₁ , ..., x _n .
• Para a = ( x , 1- x ), a a- média é a média de Heinz .
• A média de Muirhead para a = (-1, 0, ..., 0) é a média harmônica .

Matrizes duplamente estocásticas

Um n × n matriz P é duplamente estocástica precisamente se tanto P e sua transposta P ^T são matrizes estocásticas . Uma matriz estocástica é uma matriz quadrada de entradas reais não negativas em que a soma das entradas em cada coluna é 1. Assim, uma matriz duplamente estocástica é uma matriz quadrada de entradas reais não negativas em que a soma das entradas em cada linha e o a soma das entradas em cada coluna é 1.

Demonstração

A desigualdade de Muirhead afirma que [ a ] ≤ [ b ] para todo x tal que x _i > 0 para todo i ∈ {1, ..., n } se e somente se houver alguma matriz duplamente estocástica P para a qual a = Pb .

Além disso, nesse caso, temos [ a ] = [ b ] se e somente se a = b ou todos os x _i são iguais.

A última condição pode ser expressa de várias maneiras equivalentes; um deles é dado abaixo.

A prova faz uso do fato de que toda matriz duplamente estocástica é uma média ponderada de matrizes de permutação ( teorema de Birkhoff-von Neumann ).

Outra condição equivalente

Devido à simetria da soma, nenhuma generalidade é perdida classificando os expoentes em ordem decrescente:

${\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq \ cdots \ geq a_ {n}}$

${\ displaystyle b_ {1} \ geq b_ {2} \ geq \ cdots \ geq b_ {n}.}$

Então, a existência de uma matriz duplamente estocástica P tal que a = Pb é equivalente ao seguinte sistema de desigualdades:

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} a_ {1} & \ leq b_ {1} \\ a_ {1} + a_ {2} & \ leq b_ {1} + b_ {2} \\ a_ {1} + a_ {2} + a_ {3} & \ leq b_ {1} + b_ {2} + b_ {3} \\ & \, \, \, \ vdots \\ a_ {1} + \ cdots + a_ {n -1} & \ leq b_ {1} + \ cdots + b_ {n-1} \\ a_ {1} + \ cdots + a_ {n} & = b_ {1} + \ cdots + b_ {n}. \ fim {alinhado}}}$

(O último é uma igualdade; os outros são desigualdades fracas.)

A sequência é dito majorize a sequência . ${\ displaystyle b_ {1}, \ ldots, b_ {n}}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

Notação de soma simétrica

É conveniente usar uma notação especial para as somas. Um sucesso na redução de uma desigualdade nesta forma significa que a única condição para testá-la é verificar se uma sequência de expoentes ( ) torna a outra maior. ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$

${\ displaystyle \ sum _ {\ text {sym}} x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}$

Essa notação requer o desenvolvimento de cada permutação, desenvolvendo uma expressão feita de n ! monômios , por exemplo:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sum _ {\ text {sym}} x ^ {3} y ^ {2} z ^ {0} & = x ^ {3} y ^ {2} z ^ {0 } + x ^ {3} z ^ {2} y ^ {0} + y ^ {3} x ^ {2} z ^ {0} + y ^ {3} z ^ {2} x ^ {0} + z ^ {3} x ^ {2} y ^ {0} + z ^ {3} y ^ {2} x ^ {0} \\ & = x ^ {3} y ^ {2} + x ^ {3 } z ^ {2} + y ^ {3} x ^ {2} + y ^ {3} z ^ {2} + z ^ {3} x ^ {2} + z ^ {3} y ^ {2} \ end {alinhado}}}$

Exemplos

Desigualdade média aritmético-geométrica

Deixar

${\ displaystyle a_ {G} = \ left ({\ frac {1} {n}}, \ ldots, {\ frac {1} {n}} \ right)}$

e

${\ displaystyle a_ {A} = (1,0,0, \ ldots, 0).}$

Nós temos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} a_ {A1} = 1 &> a_ {G1} = {\ frac {1} {n}}, \\ a_ {A1} + a_ {A2} = 1 &> a_ {G1} + a_ {G2} = {\ frac {2} {n}}, \\ & \, \, \, \ vdots \\ a_ {A1} + \ cdots + a_ {An} & = a_ {G1} + \ cdots + a_ {Gn} = 1. \ end {alinhado}}}$

Então

[ a _A ] ≥ [ a _G ],

qual é

${\ displaystyle {\ frac {1} {n!}} (x_ {1} ^ {1} \ cdot x_ {2} ^ {0} \ cdots x_ {n} ^ {0} + \ cdots + x_ {1 } ^ {0} \ cdots x_ {n} ^ {1}) (n-1)! \ Geq {\ frac {1} {n!}} (X_ {1} \ cdot \ cdots \ cdot x_ {n} ) ^ {1 / n} n!}$

produzindo a desigualdade.

Outros exemplos

Procuramos provar que x ² + y ² ≥ 2 xy usando agrupamento (desigualdade de Muirhead). Nós o transformamos na notação de soma simétrica:

${\ displaystyle \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {2} y ^ {0} \ geq \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {1} y ^ {1}.}$

A sequência (2, 0) aumenta a sequência (1, 1), portanto, a desigualdade é mantida por agrupamento.

Da mesma forma, podemos provar a desigualdade

${\ displaystyle x ^ {3} + y ^ {3} + z ^ {3} \ geq 3xyz}$

escrevendo-o usando a notação de soma simétrica como

${\ displaystyle \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {3} y ^ {0} z ^ {0} \ geq \ sum _ {\ mathrm {sym}} x ^ {1} y ^ {1} z ^ {1},}$

que é o mesmo que

${\ displaystyle 2x ^ {3} + 2y ^ {3} + 2z ^ {3} \ geq 6xyz.}$

Uma vez que a sequência (3, 0, 0) torna a sequência (1, 1, 1) maior, a desigualdade se mantém por agrupamento.

Veja também

• Desigualdade de meios aritméticos e geométricos
• Matriz duplamente estocástica
• Polinômio simétrico monomial

Notas

Referências

• Teoria Combinatória de John N. Guidi, baseada nas palestras de Gian-Carlo Rota em 1998, MIT Copy Technology Center, 2002.
• Kiran Kedlaya, A < B ( A menos que B ) , um guia para resolver desigualdades
• Teorema de Muirhead no PlanetMath .
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952), Inequalities, Cambridge Mathematical Library (2. ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-05206-8 , MR 0046395 , Zbl  0047.05302 , Seção 2.18, Teorema 45.