Quer dizer - Mean

Existem vários tipos de meios em matemática , especialmente em estatísticas .

Para um conjunto de dados , a média aritmética , também conhecida como média aritmética, é um valor central de um conjunto finito de números: especificamente, a soma dos valores dividida pelo número de valores. A média aritmética de um conjunto de números x ₁ , x ₂ , ..., x _n é tipicamente denotada por . Se o conjunto de dados foi baseado em uma série de observações obtidas por amostragem de uma população estatística , a média aritmética é a média da amostra (denotada ) para distingui-la da média, ou valor esperado , da distribuição subjacente, a média da população (denotada) ou ). ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu _ {x}}$

Fora da probabilidade e da estatística, uma ampla gama de outras noções de média é freqüentemente usada em geometria e análise matemática ; exemplos são dados abaixo.

Tipos de meios

Pitagóricas significa

Média aritmética (AM)

A média aritmética (ou simplesmente média ) de uma lista de números é a soma de todos os números dividida pelo número de números. Da mesma forma, a média de uma amostra , geralmente denotada por , é a soma dos valores amostrados dividida pelo número de itens na amostra ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$

{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac { x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Por exemplo, a média aritmética de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 é:

{\ displaystyle {\ frac {4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Média geométrica (GM)

A média geométrica é uma média útil para conjuntos de números positivos, que são interpretados de acordo com seu produto (como é o caso das taxas de crescimento) e não sua soma (como é o caso da média aritmética):

{\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left ( x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Por exemplo, a média geométrica de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 é:

{\ displaystyle (4 \ times 36 \ times 45 \ times 50 \ times 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt [{5}] {24 \; 300 \; 000}} = 30 .}

Média harmônica (HM)

A média harmônica é uma média útil para conjuntos de números definidos em relação a alguma unidade , como no caso da velocidade (ou seja, distância por unidade de tempo):

{\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}}} \ right) ^ {- 1}}

Por exemplo, a média harmônica dos cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 é

{\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45}} + {\ tfrac {1} { 50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relacionamento entre AM, GM e HM

Prova sem palavras da desigualdade de meios aritméticos e geométricos :
PR é o diâmetro de um círculo centrado em O; seu raio AO é a média aritmética de a e b . Usando o teorema da média geométrica , a altitude GQ do triângulo PGR é a média geométrica . Para qualquer proporção a : b , AO ≥ GQ.

AM, GM e HM satisfazem estas desigualdades:

{\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

A igualdade é mantida se todos os elementos da amostra fornecida forem iguais.

Localização estatística

é a comparação da média aritmética, mediana e modo de duas distribuições enviesadas ( log-normal ).

Visualização geométrica do modo, mediana e média de uma função de densidade de probabilidade arbitrária.

Na estatística descritiva , a média pode ser confundida com a mediana , moda ou intervalo médio , pois qualquer um deles pode ser chamado de "média" (mais formalmente, uma medida de tendência central ). A média de um conjunto de observações é a média aritmética dos valores; no entanto, para distribuições distorcidas , a média não é necessariamente igual ao valor médio (mediana) ou ao valor mais provável (moda). Por exemplo, a renda média é tipicamente distorcida para cima por um pequeno número de pessoas com rendas muito grandes, de modo que a maioria tem uma renda inferior à média. Em contraste, a renda mediana é o nível em que metade da população está abaixo e a outra acima. A modalidade renda é a renda mais provável e favorece o maior número de pessoas com renda mais baixa. Embora a mediana e o modo sejam frequentemente medidas mais intuitivas para esses dados distorcidos, muitas distribuições distorcidas são, na verdade, melhor descritas por sua média, incluindo as distribuições exponencial e de Poisson .

Média de uma distribuição de probabilidade

A média de uma distribuição de probabilidade é o valor médio aritmético de longo prazo de uma variável aleatória com essa distribuição. Se a variável aleatória for denotada por , ela também será conhecida como o valor esperado de (denotada ). Para uma distribuição de probabilidade discreta , a média é dada por , onde a soma é feita sobre todos os valores possíveis da variável aleatória e é a função de massa de probabilidade . Para uma distribuição contínua , a média é , onde é a função de densidade de probabilidade . Em todos os casos, incluindo aqueles em que a distribuição não é discreta nem contínua, a média é a integral de Lebesgue da variável aleatória em relação à sua medida de probabilidade . A média não precisa existir ou ser finita; para algumas distribuições de probabilidade, a média é infinita ( $+ \infty$ ou $-\infty$ ), enquanto para outras a média é indefinida . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle E (X)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}$ ${\ displaystyle f (x)}$

Meios generalizados

Poder significa

A média generalizada , também conhecida como média de potência ou média de Hölder, é uma abstração das médias quadráticas, aritméticas, geométricas e harmônicas. É definido para um conjunto de n números positivos x _i por

{\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ({\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Ao escolher diferentes valores para o parâmetro m , os seguintes tipos de meios são obtidos:

${\ displaystyle m \ rightarrow \ infty}$	máximo de ${\ displaystyle x_ {i}}$
${\ displaystyle m = 2}$	média quadrática
${\ displaystyle m = 1}$	média aritmética
${\ displaystyle m \ rightarrow 0}$	média geométrica
${\ displaystyle m = -1}$	média harmônica
${\ displaystyle m \ rightarrow - \ infty}$	mínimo de ${\ displaystyle x_ {i}}$

f- significa

Isso pode ser generalizado ainda mais como o $f-$ médio generalizado

{\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ { i} \ right)}} \ right)}

e, novamente, uma escolha adequada de um $f$ invertível dará

${\ displaystyle f (x) = x}$	média aritmética ,
${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$	média harmônica ,
${\ displaystyle f (x) = x ^ {m}}$	poder significa ,
${\ displaystyle f (x) = \ ln (x)}$	média geométrica .

Média aritmética ponderada

A média aritmética ponderada (ou média ponderada) é usada se alguém quiser combinar valores médios de amostras de tamanhos diferentes da mesma população:

{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Onde e são a média e o tamanho da amostra, respectivamente. Em outras aplicações, eles representam uma medida da confiabilidade da influência sobre a média pelos respectivos valores. ${\ displaystyle {\ bar {x_ {i}}}}$ ${\ displaystyle w_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$

Média truncada

Às vezes, um conjunto de números pode conter outliers (ou seja, valores de dados que são muito mais baixos ou muito mais altos do que os outros). Freqüentemente, outliers são dados errôneos causados por artefatos . Nesse caso, pode-se usar uma média truncada . Envolve descartar determinadas partes dos dados na extremidade superior ou inferior, normalmente uma quantidade igual em cada extremidade e, em seguida, obter a média aritmética dos dados restantes. O número de valores removidos é indicado como uma porcentagem do número total de valores.

Média interquartil

A média interquartil é um exemplo específico de uma média truncada. É simplesmente a média aritmética depois de remover o menor e o maior quarto dos valores.

{\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i}}

assumindo que os valores foram ordenados, é simplesmente um exemplo específico de uma média ponderada para um conjunto específico de pesos.

Média de uma função

Em algumas circunstâncias, os matemáticos podem calcular a média de um conjunto infinito (ou mesmo incontável ) de valores. Isso pode acontecer ao calcular o valor médio de uma função . Intuitivamente, a média de uma função pode ser considerada como o cálculo da área sob uma seção de uma curva e, em seguida, a divisão pelo comprimento dessa seção. Isso pode ser feito grosseiramente contando quadrados em papel milimetrado ou, mais precisamente, por integração . A fórmula de integração é escrita como: ${\ displaystyle y _ {\ text {avg}}}$ ${\ displaystyle f (x)}$

{\ displaystyle y _ {\ text {avg}} (a, b) = {\ frac {1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! f (x) \, dx}

Nesse caso, deve-se ter cuidado para garantir que a integral converge. Mas a média pode ser finita, mesmo que a própria função tenda ao infinito em alguns pontos.

Média de ângulos e quantidades cíclicas

Ângulos , horas do dia e outras quantidades cíclicas requerem aritmética modular para somar e combinar números. Em todas essas situações, não haverá um meio único. Por exemplo, os horários uma hora antes e depois da meia-noite são equidistantes da meia-noite e do meio-dia. Também é possível que não exista meio. Considere uma roda de cores - não há significado para o conjunto de todas as cores. Nessas situações, você deve decidir qual meio é mais útil. Você pode fazer isso ajustando os valores antes de calcular a média ou usando uma abordagem especializada para a média de quantidades circulares .

Fréchet significa

A média de Fréchet fornece uma maneira de determinar o "centro" de uma distribuição de massa em uma superfície ou, mais geralmente, uma variedade Riemanniana . Ao contrário de muitos outros meios, a média de Fréchet é definida em um espaço cujos elementos não podem necessariamente ser somados ou multiplicados por escalares. Às vezes também é conhecido como o meio de Karcher (em homenagem a Hermann Karcher).

Regra de Swanson

Esta é uma aproximação da média para uma distribuição moderadamente distorcida. É usado na exploração de hidrocarbonetos e é definido como

{\ displaystyle m = 0,3P_ {10} + 0,4P_ {50} + 0,3P_ {90}}

onde P ₁₀ , P ₅₀ e P ₉₀ 10º, 50º e 90º percentis da distribuição.

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