Média geométrica - Geometric mean

Exemplo de média geométrica: (vermelho) é a média geométrica de e , em um exemplo em que o segmento de linha é dado como uma perpendicular a , animação no final da pausa de 10 s.

Em matemática, a média geométrica é uma média ou média , que indica a tendência central ou valor típico de um conjunto de números usando o produto de seus valores (em oposição à média aritmética que usa sua soma). A média geométrica é definido como o n th raiz do produto de n números, ou seja, para um conjunto de números x 1 , x 2 , ..., x n , a média geométrica é definido como

Por exemplo, a média geométrica de dois números, digamos 2 e 8, é apenas a raiz quadrada de seu produto, ou seja ,. Como outro exemplo, a média geométrica dos três números 4, 1 e 1/32 é a raiz cúbica de seu produto (1/8), que é 1/2, ou seja ,. A média geométrica se aplica apenas a números positivos.

A média geométrica é freqüentemente usada para um conjunto de números cujos valores devem ser multiplicados juntos ou são de natureza exponencial, como um conjunto de números de crescimento: valores da população humana ou taxas de juros de um investimento financeiro ao longo do tempo.

A média geométrica pode ser entendida em termos de geometria . A média geométrica de dois números, e , é o comprimento de um lado de um quadrado cuja área é igual à área de um retângulo com lados de comprimentos e . De igual modo, a média geométrica de três números, , , e , é o comprimento de uma aresta de um cubo , cujo volume é a mesma que a de um paralelepípedo com lados cujos comprimentos são iguais aos três números dados.

A média geométrica é uma das três médias pitagóricas clássicas , junto com a média aritmética e a média harmônica . Para todos os conjuntos de dados positivos contendo pelo menos um par de valores desiguais, a média harmônica é sempre a menor das três médias, enquanto a média aritmética é sempre a maior das três e a média geométrica está sempre entre (ver Desigualdade da aritmética e meios geométricos .)

Cálculo

A média geométrica de um conjunto de dados é dada por:

A figura acima usa a notação pi maiúscula para mostrar uma série de multiplicações. Cada lado das mostras do sinal igual que um conjunto de valores é multiplicado em sucessão (o número de valores está representado por "n") para dar um total de produto do conjunto, e, em seguida, o n th raiz do produto total é levado a dê a média geométrica do conjunto original. Por exemplo, em um conjunto de quatro números , o produto de é e a média geométrica é a quarta raiz de 24, ou ~ 2,213. O expoente no lado esquerdo é equivalente a tirar a raiz n . Por exemplo ,.

Meios iterativos

A média geométrica de um conjunto de dados é menor que a média aritmética do conjunto de dados, a menos que todos os membros do conjunto de dados sejam iguais, caso em que as médias geométricas e aritméticas são iguais. Isso permite a definição da média aritmético-geométrica , uma interseção das duas que sempre se encontra no meio.

A média geométrica também é a média aritmético-harmônica no sentido de que se duas sequências ( ) e ( ) são definidas:

e

onde é a média harmônica dos valores anteriores das duas sequências, então e irá convergir para a média geométrica de e .

Isso pode ser visto facilmente pelo fato de que as sequências convergem para um limite comum (que pode ser mostrado pelo teorema de Bolzano-Weierstrass ) e o fato de que a média geométrica é preservada:

Substituir a média aritmética e harmônica por um par de médias generalizadas de expoentes finitos opostos produz o mesmo resultado.

Relação com logaritmos

A média geométrica também pode ser expressa como o exponencial da média aritmética dos logaritmos. Ao usar identidades logarítmicas para transformar a fórmula, as multiplicações podem ser expressas como uma soma e a potência como uma multiplicação:

Quando

além disso, se valores negativos de são permitidos,

onde m é o número de números negativos.

Isso às vezes é chamado de média logarítmica (não deve ser confundida com a média logarítmica ). Ele está simplesmente computando a média aritmética dos valores transformados por logaritmo de (ou seja, a média aritmética na escala logarítmica) e, em seguida, usando a exponenciação para retornar o cálculo à escala original, ou seja, é a média f generalizada com . Por exemplo, a média geométrica de 2 e 8 pode ser calculada da seguinte forma, onde é qualquer base de um logaritmo (comumente 2 ou 10):

Em relação ao anterior, pode-se observar que para uma dada amostra de pontos , a média geométrica é o minimizador de

,

Considerando que a média aritmética é o minimizador de

.

Assim, a média geométrica fornece um resumo das amostras cujo expoente melhor corresponde aos expoentes das amostras (no sentido de mínimos quadrados).

A forma logarítmica da média geométrica é geralmente a alternativa preferida para implementação em linguagens de computador porque o cálculo do produto de muitos números pode levar a um estouro aritmético ou um estouro negativo aritmético . É menos provável que isso ocorra com a soma dos logaritmos de cada número.

Comparação com a média aritmética

Prova sem palavras da desigualdade de meios aritméticos e geométricos :
PR é o diâmetro de um círculo centrado em O; seu raio AO é a média aritmética de a e b . Usando o teorema da média geométrica , a altitude GQ do triângulo PGR é a média geométrica . Para qualquer proporção a : b , AO ≥ GQ.
Prova geométrica sem palavras que max  ( a , b ) > raiz quadrada média ( RMS ) ou média quadrática ( QM ) > média aritmética ( AM ) > média geométrica ( GM ) > média harmônica ( HM ) > min  ( a , b ) de dois números positivos a e b

A média geométrica de um conjunto de dados não vazio de números (positivos) é sempre, no máximo, sua média aritmética. A igualdade só é obtida quando todos os números no conjunto de dados são iguais; caso contrário, a média geométrica é menor. Por exemplo, a média geométrica de 242 e 288 é igual a 264, enquanto sua média aritmética é 265. Em particular, isso significa que quando um conjunto de números não idênticos está sujeito a uma propagação que preserva a média - ou seja, os elementos do conjuntos são "separados" mais uns dos outros, enquanto deixam a média aritmética inalterada - sua média geométrica diminui.

Taxa média de crescimento

Em muitos casos, a média geométrica é a melhor medida para determinar a taxa média de crescimento de alguma quantidade. (Por exemplo, se em um ano as vendas aumentam 80% e no ano seguinte 25%, o resultado final é o mesmo de uma taxa de crescimento constante de 50%, já que a média geométrica de 1,80 e 1,25 é 1,50.) Para determinar a taxa média de crescimento, não é necessário obter o produto das taxas de crescimento medidas em cada etapa. Deixe a quantidade ser dada como a sequência , onde é o número de etapas do estado inicial ao final. A taxa de crescimento entre medições sucessivas e é . A média geométrica dessas taxas de crescimento é então apenas:

Aplicação a valores normalizados

A propriedade fundamental da média geométrica, que não vale para qualquer outro meio, é que para duas sequências e de igual comprimento,

Isso torna a média geométrica a única média correta ao calcular a média dos resultados normalizados ; ou seja, resultados que são apresentados como proporções para valores de referência. Esse é o caso ao apresentar o desempenho do computador em relação a um computador de referência ou ao calcular um único índice médio de várias fontes heterogêneas (por exemplo, expectativa de vida, anos de escolaridade e mortalidade infantil). Nesse cenário, o uso da média aritmética ou harmônica mudaria a classificação dos resultados dependendo do que é usado como referência. Por exemplo, faça a seguinte comparação de tempo de execução de programas de computador:

  Computador A Computador B Computador C
Programa 1 1 10 20
Programa 2 1000 100 20
Média aritmética 500,5 55 20
Média geométrica 31.622. . . 31.622. . . 20
Média harmônica 1.998. . . 18.182. . . 20

Os meios aritméticos e geométricos "concordam" que o computador C é o mais rápido. No entanto, apresentando valores normalizados apropriadamente e usando a média aritmética, podemos mostrar que qualquer um dos outros dois computadores é o mais rápido. A normalização pelo resultado de A dá A como o computador mais rápido de acordo com a média aritmética:

  Computador A Computador B Computador C
Programa 1 1 10 20
Programa 2 1 0,1 0,02
Média aritmética 1 5.05 10,01
Média geométrica 1 1 0,632. . .
Média harmônica 1 0,198. . . 0,039. . .

enquanto a normalização pelo resultado de B dá B como o computador mais rápido de acordo com a média aritmética, mas A como o mais rápido de acordo com a média harmônica:

  Computador A Computador B Computador C
Programa 1 0,1 1 2
Programa 2 10 1 0,2
Média aritmética 5.05 1 1,1
Média geométrica 1 1 0,632
Média harmônica 0,198. . . 1 0,363. . .

e a normalização pelo resultado de C dá C como o computador mais rápido de acordo com a média aritmética, mas A como o mais rápido de acordo com a média harmônica:

  Computador A Computador B Computador C
Programa 1 0,05 0,5 1
Programa 2 50 5 1
Média aritmética 25.025 2,75 1
Média geométrica 1.581. . . 1.581. . . 1
Média harmônica 0,099. . . 0,909. . . 1

Em todos os casos, a classificação dada pela média geométrica permanece igual à obtida com valores não normalizados.

No entanto, esse raciocínio foi questionado. Dar resultados consistentes nem sempre é igual a dar os resultados corretos. Em geral, é mais rigoroso atribuir pesos a cada um dos programas, calcular o tempo de execução médio ponderado (usando a média aritmética) e depois normalizar esse resultado para um dos computadores. As três tabelas acima apenas dão um peso diferente para cada um dos programas, explicando os resultados inconsistentes das médias aritméticas e harmônicas (a primeira tabela dá peso igual a ambos os programas, a segunda dá um peso de 1/1000 para o segundo programa, e o terceiro dá um peso de 1/100 para o segundo programa e 1/10 para o primeiro). O uso da média geométrica para agregar números de desempenho deve ser evitado, se possível, porque a multiplicação dos tempos de execução não tem significado físico, em contraste com a adição de tempos como na média aritmética. As métricas que são inversamente proporcionais ao tempo (speedup, IPC ) devem ser calculadas usando a média harmônica.

A média geométrica pode ser derivada da média generalizada, pois seu limite vai para zero. Da mesma forma, isso é possível para a média geométrica ponderada.

Média geométrica de uma função contínua

Se for uma função contínua de valor real, sua média geométrica neste intervalo é

Por exemplo, considerando a função de identidade sobre o intervalo de unidade mostra que a média geométrica dos números positivos entre 0 e 1 é igual a .

Formulários

Crescimento proporcional

A média geométrica é mais apropriada do que a média aritmética para descrever o crescimento proporcional, tanto o crescimento exponencial (crescimento proporcional constante) quanto o crescimento variável; nos negócios, a média geométrica das taxas de crescimento é conhecida como taxa composta de crescimento anual (CAGR). A média geométrica de crescimento ao longo dos períodos produz a taxa de crescimento constante equivalente que produziria o mesmo valor final.

Suponha que uma laranjeira rende 100 laranjas em um ano e 180, 210 e 300 nos anos seguintes, então o crescimento é de 80%, 16,6666% e 42,8571% para cada ano, respectivamente. Usando a média aritmética calcula um crescimento médio (linear) de 46,5079% (80% + 16,6666% + 42,8571%, essa soma então dividida por 3). No entanto, se começarmos com 100 laranjas e deixá-lo crescer 46,5079% a cada ano, o resultado é 314 laranjas, e não 300, por isso, a média linear ao longo -states o crescimento ano-a-ano.

Em vez disso, podemos usar a média geométrica. Crescer com 80% corresponde à multiplicação por 1,80, então tomamos a média geométrica de 1,80, 1,166666 e 1,428571, ou seja ; assim, o crescimento "médio" por ano é de 44,2249%. Se começarmos com 100 laranjas e deixarmos o número crescer com 44,2249% a cada ano, o resultado será 300 laranjas.

Financeiro

A média geométrica tem sido usada de tempos em tempos para calcular índices financeiros (a média é sobre os componentes do índice). Por exemplo, no passado, o índice FT 30 usava uma média geométrica. Também é usado na medida de inflação " RPIJ " recentemente introduzida no Reino Unido e na União Europeia.

Isso tem o efeito de subestimar os movimentos no índice em comparação com o uso da média aritmética.

Aplicações nas ciências sociais

Embora a média geométrica tenha sido relativamente rara no cálculo de estatísticas sociais, a partir de 2010, o Índice de Desenvolvimento Humano das Nações Unidas mudou para este modo de cálculo, com o fundamento de que refletia melhor a natureza não substituível das estatísticas sendo compiladas e comparadas:

A média geométrica diminui o nível de substituibilidade entre as dimensões [sendo comparadas] e, ao mesmo tempo, garante que um declínio de 1% na expectativa de vida ao nascer tenha o mesmo impacto no IDH que um declínio de 1% na educação ou renda. Assim, como base para comparações de realizações, esse método também respeita mais as diferenças intrínsecas entre as dimensões do que uma média simples.

Nem todos os valores usados ​​para calcular o IDH (Índice de Desenvolvimento Humano) são normalizados; alguns deles, em vez disso, têm o formulário . Isso torna a escolha da média geométrica menos óbvia do que seria de se esperar da seção "Propriedades" acima.

A renda equivalente de bem-estar igualmente distribuída associada a um Índice Atkinson com um parâmetro de aversão à desigualdade de 1,0 é simplesmente a média geométrica das rendas. Para valores diferentes de um, o valor equivalente é uma norma Lp dividida pelo número de elementos, com p igual a um menos o parâmetro de aversão à desigualdade.

Geometria

A altitude de um triângulo retângulo de seu ângulo reto até sua hipotenusa é a média geométrica dos comprimentos dos segmentos em que a hipotenusa é dividida. Usando o teorema de Pitágoras nos 3 triângulos de lados ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) e ( s , h , q  ) ,

No caso de um triângulo retângulo , sua altitude é o comprimento de uma linha que se estende perpendicularmente da hipotenusa até seu vértice de 90 °. Imaginando que essa linha divide a hipotenusa em dois segmentos, a média geométrica desses comprimentos de segmento é o comprimento da altitude. Esta propriedade é conhecida como teorema da média geométrica .

Em uma elipse , o semi-eixo menor é a média geométrica das distâncias máximas e mínimas da elipse a um foco ; é também a média geométrica do semi-eixo maior e do semi-latus reto . O semi-eixo maior de uma elipse é a média geométrica da distância do centro para qualquer foco e a distância do centro para qualquer diretriz .

A distância ao horizonte de uma esfera é aproximadamente igual à média geométrica da distância ao ponto mais próximo da esfera e a distância ao ponto mais distante da esfera quando a distância ao ponto mais próximo da esfera é pequena.

Tanto na aproximação da quadratura do círculo segundo SA Ramanujan (1914) quanto na construção do Heptadecágono segundo "enviado por TP Stowell, creditado a Leybourn's Math. Repository, 1818" , a média geométrica é empregada.

Razões de aspecto

Comparação de área igual das proporções usadas por Kerns Powers para derivar o padrão SMPTE 16: 9 .   TV 4: 3 / 1,33 em vermelho,   1,66 em laranja,   16: 9 / 1,7 7 em azul ,  1,85 em amarelo,   Panavision /2.2 em lilás e  CinemaScope / 2,35 em roxo.

A média geométrica foi usada na escolha de uma relação de aspecto de compromisso em filme e vídeo: dadas duas relações de aspecto, a média geométrica delas fornece um meio-termo entre elas, distorcendo ou recortando ambos em certo sentido igualmente. Concretamente, dois retângulos de área igual (com o mesmo centro e lados paralelos) de diferentes proporções se cruzam em um retângulo cuja proporção é a média geométrica, e seu casco (menor retângulo que contém ambos) também tem a proporção de seus média geométrica.

Na escolha da relação de aspecto 16: 9 pelo SMPTE , balanceando 2,35 e 4: 3, a média geométrica é , e assim ... foi escolhida. Isso foi descoberto empiricamente por Kerns Powers, que cortou retângulos com áreas iguais e os moldou para combinar com cada uma das relações de aspecto populares. Quando sobrepostos com seus pontos centrais alinhados, ele descobriu que todos esses retângulos de proporção se encaixam em um retângulo externo com uma proporção de 1,77: 1 e todos eles também cobrem um retângulo interno comum menor com a mesma proporção de 1,77: 1. O valor encontrado por Powers é exatamente a média geométrica das relações de aspecto extremas, 4: 3 (1,33: 1) e CinemaScope (2,35: 1), que é coincidentemente próximo de ( ). As proporções intermediárias não têm efeito no resultado, apenas as duas proporções extremas.   

Aplicar a mesma técnica de média geométrica a 16: 9 e 4: 3 aproximadamente produz a proporção de aspecto de 14: 9 ( ...), que também é usada como um meio-termo entre essas proporções. Neste caso, 14: 9 é exatamente a média aritmética de e , uma vez que 14 é a média de 16 e 12, enquanto a média geométrica precisa é, mas as duas médias diferentes , aritmética e geométrica, são aproximadamente iguais porque ambos os números são suficientemente próximos de entre si (uma diferença de menos de 2%).

Nivelamento espectral

No processamento de sinal , a planura espectral , uma medida de quão plano ou pontiagudo é um espectro, é definida como a razão entre a média geométrica do espectro de potência e sua média aritmética.

Revestimentos anti-reflexos

Em revestimentos ópticos, onde a reflexão precisa ser minimizado entre dois meios de índices de refracção n 0 e n 2 , o índice de refracção óptima n 1 do revestimento anti-reflexo é dado pela média geométrica: .

Mistura de cores subtrativas

A curva de refletância espectral para misturas de tintas (de intensidade de tingimento , opacidade e diluição iguais ) é aproximadamente a média geométrica das curvas de refletância individuais das tintas calculadas em cada comprimento de onda de seus espectros .

Processamento de imagem

O filtro de média geométrica é usado como filtro de ruído no processamento de imagens .

Veja também

Notas e referências

links externos