Média aritmética - Arithmetic mean


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Em matemática e estatísticas , a média aritmética ( / ˌ Æ r ɪ q m ɛ t ɪ k m i n / , estresse na terceira sílaba de "aritmética"), ou simplesmente a média ou média quando o contexto for claro, é a soma de um conjunto de números divididos pela contagem de números na coleção. A coleção é muitas vezes um conjunto de resultados de uma experiência ou um estudo observacional , ou frequentemente um conjunto de resultados de uma pesquisa . O termo "média aritmética" é preferido, em alguns contextos em matemática e estatística, porque ajuda a distingui-lo de outros meios , tais como a média geométrica e a média harmónica .

Além de matemática e estatística, a média aritmética é usado com freqüência em muitos campos diversos tais como economia , antropologia e história , e é utilizado em quase todos os campos acadêmico, até certo ponto. Por exemplo, a renda per capita é a renda média aritmética da população de um país.

Embora a média aritmética é muitas vezes usado para reportar tendência central , que não é uma estatística robusta , o que significa que ele é grandemente influenciada por valores extremos (valores que são muito maiores ou menores do que a maioria dos valores). Notavelmente, para distribuições distorcidas , como a distribuição de renda para a qual os rendimentos de algumas pessoas são substancialmente maiores do que da maioria das pessoas, a média aritmética pode não coincidir com a própria noção de "meio", e as estatísticas robustas, como a média , pode ser uma melhor descrição de tendência central.

Definição

A média aritmética (ou média ou média ), (li bar ), é a média dos valores .

A média aritmética é a medida mais comumente utilizado e facilmente compreendida de tendência central em um conjunto de dados . Na estatística, a média termo refere-se a qualquer uma das medidas de tendência central. A média aritmética de um conjunto de dados observada é definido como sendo igual à soma dos valores numéricos de cada uma e cada observação, dividido pelo número total de observações. Simbolicamente, se tivermos um conjunto de dados consistindo de valores , então a média aritmética é definido pela fórmula:

(Veja somatório para obter uma explicação do operador somatório ).

Por exemplo, vamos considerar o salário mensal de 10 funcionários de uma empresa: 2500, 2700, 2400, 2300, 2550, 2650, 2750, 2450, 2600, 2400. A média aritmética é

Se o conjunto de dados é uma população estatística (isto é, é composto de cada observação possível e não apenas um subconjunto deles), em seguida a média de população que é chamado a média da população . Se o conjunto de dados é uma amostra estatística (um subconjunto de população), a que chamamos a estatística resultante a partir deste cálculo de uma média da amostra .

Propriedades de motivação

A média aritmética tem várias propriedades que a tornam útil, especialmente como uma medida da tendência central. Esses incluem:

  • Se os números têm dizer , então . Desde é a distância a partir de um determinado número à média, uma maneira de interpretar esta propriedade é como dizendo que os números à esquerda da média são equilibradas pelos números à direita da média. A média é o único número único para o qual os resíduos (desvios a partir da estimativa) somar a zero.
  • Se for necessário usar um único número como um valor "típico" de um conjunto de números conhecidos , então a média aritmética dos números faz isso melhor, no sentido de minimizar a soma dos desvios quadrados do valor típico: a soma de . (Segue-se que a média da amostra é também o melhor preditor única no sentido de ter o menor erro quadrático .) Se a média aritmética de um conjunto de números é desejada, então a estimativa de que é imparcial é a média aritmética de uma amostra retirada da população.

Contraste com mediana

A média aritmética pode ser contrastado com a mediana. A mediana é definida de tal modo que não mais do que metade os valores são maiores do que, e não mais do que metade são menores do que a mediana. Se elementos nos dados aumentar aritmeticamente , quando colocado em alguma ordem, em seguida, a mediana e média aritmética são iguais. Por exemplo, considere a amostra de dados . A média é , como é o mediano. No entanto, quando consideramos uma amostra que não podem ser organizadas de modo a aumentar aritmeticamente, tais como , a mediana e média aritmética podem diferir significativamente. Neste caso, a média aritmética é de 6,2 e a mediana é 4. Em geral, o valor médio pode variar significativamente desde a maioria dos valores na amostra, e pode ser maior ou menor do que a maior parte deles.

Existem aplicações deste fenómeno em muitos campos. Por exemplo, desde os anos 1980, a renda média nos Estados Unidos aumentou mais lentamente do que a média aritmética de renda.

generalizações

Média ponderada

A média ponderada, ou média ponderada, é uma média em que alguns pontos de dados contar mais fortemente do que os outros, em que eles são dadas mais peso no cálculo. Por exemplo, a média aritmética dos e é , ou equivalentemente . Em contraste, um ponderado média em que o primeiro número recebe, por exemplo, o dobro do peso como a segunda (talvez porque se supõe que aparecem duas vezes mais frequentemente na população em geral a partir dos quais estes números foram amostrados) seria calculada como . Aqui os pesos, os quais necessariamente soma o valor um, são e , sendo o dobro do último ao primeiro. Note-se que a média aritmética (por vezes chamada a "média simples" ou "média igualmente ponderada") pode ser interpretada como um caso especial de uma média ponderada, em que todos os pesos são iguais uns aos outros (igual à do exemplo acima, e igual a em uma situação com números sendo em média).

distribuições de probabilidade contínuas

Comparação de duas distribuições de log-normal, com média igual, mas diferente de assimetria , resultando em diferentes medianas e modos .

Se uma propriedade numérica e qualquer amostra de dados a partir dele, pode assumir qualquer valor a partir de uma faixa contínua, em vez de, por exemplo, apenas números inteiros, então a probabilidade de um número de queda em algum intervalo de valores possíveis pode ser descrito através da integração uma distribuição de probabilidade contínua em toda esta gama, mesmo quando a probabilidade ingénuo para um número de amostra tendo um determinado valor de infinitamente muitas é zero. O análogo de uma média ponderada, neste contexto, em que há um número infinito de possibilidades para o valor preciso da variável em cada intervalo, é chamado a média da distribuição de probabilidade . A distribuição de probabilidade mais amplamente encontrado é chamado de distribuição normal ; que tem a propriedade de que todas as medidas de sua tendência central, incluindo não apenas a média, mas também a mediana acima mencionado e o modo (os três M de), são iguais entre si. Esta igualdade não se sustenta para outras distribuições de probabilidade, como ilustrado para a distribuição lognormal aqui.

ângulos

Cuidado especial deve ser feita quando se utiliza dados cíclicos, tais como fases ou ângulos . Naïvely tomando a média aritmética de 1 ° e 359 ° produz um resultado de 180 °. Isso é incorreto por duas razões:

  • Em primeiro lugar, as medições de ângulo são definidos apenas até uma constante de aditivo de 360 ° (ou 2π, se medir em radianos ). Assim, pode-se facilmente como estas chamar 1 ° e -1 ° ou 361 ° e 719 °, cada um dos quais dá uma média diferente.
  • Em segundo lugar, nesta situação, 0 ° (de modo equivalente, 360 °) é geometricamente uma melhor média valor: há menor dispersão sobre ele (os pontos são ambos 1 ° a partir dele, e 179 ° a partir de 180 °, a média putativo).

Na aplicação geral, uma tal supervisão levará ao valor médio artificialmente movendo em direção ao meio da faixa numérica. Uma solução para este problema é a utilização da formulação optimização ( viz. , Definir a média como o ponto central: o ponto sobre o qual se tem o menor dispersão), e redefinir a diferença como uma distância modular (isto é, a distância sobre o círculo : de modo a distância modular entre 1 ° e 359 ° é ° 2, não 358 °).

Símbolos e codificação

A média aritmética é frequentemente indicado por uma barra, por exemplo, como em (li bar ).

Alguns softwares ( processadores de texto , navegadores web ) pode não exibir o símbolo X corretamente. Por exemplo, o símbolo x em HTML é realmente uma combinação de dois códigos - a carta de base x mais um código para a linha acima (& # 772: ou ¯).

Em alguns textos, como pdfs , o símbolo X pode ser substituído por um cento símbolo (¢) ( Unicode & # 162) quando copiados para o processador de texto como o Microsoft Word .

Veja também

Referências

Outras leituras

links externos