Conceito em teoria de probabilidade e estatística
Em teoria de probabilidade e estatística , a função geradora de momento de uma variável aleatória de valor real é uma especificação alternativa de sua distribuição de probabilidade . Assim, ele fornece a base de uma rota alternativa para resultados analíticos em comparação com o trabalho direto com funções de densidade de probabilidade ou funções de distribuição cumulativa . Existem resultados particularmente simples para as funções geradoras de momentos de distribuições definidas pelas somas ponderadas de variáveis aleatórias. No entanto, nem todas as variáveis aleatórias têm funções geradoras de momento.
Como o seu nome implica, o momento função geradora pode ser utilizado para calcular uma distribuição de momentos : a n th momento cerca de 0 é o n th derivada da função de geração de momento, avaliou a 0.
Além das distribuições de valor real (distribuições univariadas), funções geradoras de momento podem ser definidas para variáveis aleatórias de valor vetorial ou matriz e podem até mesmo ser estendidas para casos mais gerais.
A função geradora de momento de uma distribuição com valor real nem sempre existe, ao contrário da função característica . Existem relações entre o comportamento da função geradora de momentos de uma distribuição e as propriedades da distribuição, como a existência de momentos.
Definição
Let Ser uma variável aleatória com cdf . A função geradora de momento (mgf) de (ou ), denotada por , é
desde que essa expectativa exista para em algum bairro de 0. Ou seja, existe um tal que para todos em , existe. Se a expectativa não existe em uma vizinhança de 0, dizemos que a função geradora de momento não existe.
Em outras palavras, a função geradora de momento de X é a expectativa da variável aleatória . Mais geralmente, quando , um vetor aleatório dimensional e é um vetor fixo, usa-se em vez de :
sempre existe e é igual a 1. No entanto, um problema chave com as funções geradoras de momentos é que os momentos e a função geradora de momentos podem não existir, já que as integrais não precisam convergir absolutamente. Em contraste, a função característica ou transformada de Fourier sempre existe (porque é a integral de uma função limitada em um espaço de medida finita ) e, para alguns fins, pode ser usada em seu lugar.
A função geradora de momentos recebe esse nome porque pode ser usada para encontrar os momentos da distribuição. A expansão da série é
Por isso
onde está o º momento . Diferenciando tempos com respeito a e configuração , obtemos o ésimo momento sobre a origem ,; veja Cálculos de momentos abaixo.
Se for uma variável aleatória contínua, a seguinte relação entre sua função geradora de momento e a transformada de Laplace de dois lados de sua função de densidade de probabilidade é válida:
uma vez que a transformação de Laplace de dois lados do PDF é fornecida como
e a definição da função geradora de momento se expande (pela lei do estatístico inconsciente ) para
Isso é consistente com a função característica de ser uma rotação Wick de quando a função geradora de momento existe, pois a função característica de uma variável aleatória contínua é a transformada de Fourier de sua função de densidade de probabilidade e, em geral, quando uma função é de ordem exponencial , a transformada de Fourier é uma rotação Wick de sua transformada de Laplace de dois lados na região de convergência. Veja a relação das transformadas de Fourier e Laplace para mais informações.
Exemplos
Aqui estão alguns exemplos da função geradora de momento e da função característica para comparação. Pode-se ver que a função característica é uma rotação Wick da função geradora de momento quando esta existe.
Distribuição
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Função geradora de momento
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Função característica
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Degenerar
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Bernoulli
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Geométrico
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Binomial
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Binomial negativo
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Poisson
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Uniforme (contínuo)
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Uniforme (discreto)
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Laplace
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Normal
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Qui-quadrado
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Qui-quadrado não central
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Gama
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Exponencial
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Normal multivariado
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Cauchy
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Não existe
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Cauchy multivariado
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Não existe
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Cálculo
A função geradora de momento é a expectativa de uma função da variável aleatória, ela pode ser escrita como:
Observe que, para o caso em que tem uma função de densidade de probabilidade contínua , é a transformada de Laplace de dois lados .
onde está o º momento .
Transformações lineares de variáveis aleatórias
Se a variável aleatória tem função geradora de momento , então tem função geradora de momento
Combinação linear de variáveis aleatórias independentes
Se , em que o X i são variáveis aleatórias independentes e a um i são constantes, em seguida, a função de densidade de probabilidade para S n é a convolução das funções de densidade de probabilidade de cada um dos X i , e a função de momento de geração para S n é dado por
Variáveis aleatórias com valor vetorial
Para variáveis aleatórias de valor vetorial com componentes reais , a função geradora de momento é dada por
onde é um vetor e é o produto escalar .
Propriedades importantes
As funções geradoras de momento são positivas e convexas logarítmicas , com M (0) = 1.
Uma propriedade importante da função geradora de momento é que ela determina a distribuição de maneira única. Em outras palavras, se e são duas variáveis aleatórias e para todos os valores de t ,
então
para todos os valores de x (ou equivalentemente X e Y têm a mesma distribuição). Esta afirmação não é equivalente à afirmação "se duas distribuições têm os mesmos momentos, então elas são idênticas em todos os pontos." Isso ocorre porque, em alguns casos, os momentos existem, mas a função geradora de momentos não, porque o limite
pode não existir. A distribuição log-normal é um exemplo de quando isso ocorre.
Cálculos de momentos
A função geradora de momento é assim chamada porque se existe em um intervalo aberto em torno de t = 0, então é a função geradora exponencial dos momentos da distribuição de probabilidade :
Isto é, com n sendo um número inteiro não negativo, o n th momento cerca de 0 é o n th derivado da função geradora momento, avaliada em t = 0.
Outras propriedades
A desigualdade de Jensen fornece um limite inferior simples na função de geração de momento:
onde representa a média de X .
Superior que limita a função de geração de momento podem ser utilizados em conjunto com a desigualdade de Markov para limitar o limite superior de uma variável aleatória verdadeiro X . Esta declaração também é chamada de limite de Chernoff . Uma vez que está aumentando monotonicamente para , temos
para todo e qualquer a , desde que exista. Por exemplo, quando X é uma distribuição normal padrão e , podemos escolher e recuperar isso . Isso dá , que está dentro de um fator de 1+ a do valor exato.
Vários lemas, como o lema de Hoeffding ou a desigualdade de Bennett fornecem limites na função geradora de momento no caso de uma variável aleatória limitada de média zero.
Quando não é negativo, a função geradora de momento fornece um limite simples e útil para os momentos:
Para qualquer e .
Isso decorre da simples desigualdade na qual podemos substituir qualquer implicação . Agora, se e , isso pode ser reorganizado para . Pegar a expectativa de ambos os lados dá o limite em termos de .
Como exemplo, considere com graus de liberdade. Então nós sabemos . Pegando e conectando no limite, obtemos
Sabemos que , neste caso, o limite correto é . Para comparar os limites, podemos considerar as assintóticas como grandes . Aqui está o limite de Mgf , onde está o limite real . O limite de Mgf é, portanto, muito forte neste caso.
Relação com outras funções
Relacionado à função geradora de momento, há uma série de outras transformações que são comuns na teoria da probabilidade:
- Função característica
- A função característica está relacionada à função geradora de momento através da função característica é a função geradora de momento de iX ou a função geradora de momento de X avaliada no eixo imaginário. Essa função também pode ser vista como a transformada de Fourier da função densidade de probabilidade , que pode, portanto, ser deduzida dela pela transformada inversa de Fourier.
- Função de geração de cumulante
- A função geradora de cumulantes é definida como o logaritmo da função geradora de momento; alguns, em vez disso, definem a função geradora de cumulantes como o logaritmo da função característica , enquanto outros chamam esta última de segunda função geradora de cumulantes.
- Função geradora de probabilidade
- A função geradora de probabilidade é definida como Isso implica imediatamente que
Veja também
Referências
Citações
Origens