Desigualdade de Markov - Markov's inequality

A desigualdade de Markov fornece um limite superior para a medida do conjunto (indicado em vermelho) onde excede um determinado nível . O limite combina o nível com o valor médio de .${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle f}$

Na teoria da probabilidade , a desigualdade de Markov fornece um limite superior para a probabilidade de que uma função não negativa de uma variável aleatória seja maior ou igual a alguma constante positiva . Recebeu o nome do matemático russo Andrey Markov , embora tenha aparecido anteriormente no trabalho de Pafnuty Chebyshev (professor de Markov), e muitas fontes, especialmente em análise , referem-se a ele como a desigualdade de Chebyshev (às vezes, chamando-a de primeira desigualdade de Chebyshev referindo-se à desigualdade de Chebyshev como a segunda desigualdade de Chebyshev) ou à desigualdade de Bienaymé .

A desigualdade de Markov (e outras desigualdades semelhantes) relacionam as probabilidades às expectativas e fornecem (frequentemente vagos, mas ainda úteis) limites para a função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória.

Demonstração

Se X for uma variável aleatória não negativa e a  > 0 , então a probabilidade de que X seja pelo menos a é no máximo a expectativa de X dividido por a :

${\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {a}}.}$

Let (onde ); então podemos reescrever a desigualdade anterior como ${\ displaystyle a = {\ tilde {a}} \ cdot \ operatorname {E} (X)}$${\ displaystyle {\ tilde {a}}> 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq {\ tilde {a}} \ cdot \ operatorname {E} (X)) \ leq {\ frac {1} {\ tilde {a}}}.}$

Na linguagem da teoria da medida , a desigualdade de Markov afirma que se ( X , Σ,  μ ) é um espaço de medida , é uma função real avaliada estendida mensurável e ε > 0 , então ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ mu (\ {x \ in X: | f (x) | \ geq \ varepsilon \}) \ leq {\ frac {1} {\ varejpsilon}} \ int _ {X} | f | \, d \ mu.}$

Essa definição teórica da medida é às vezes chamada de desigualdade de Chebyshev .

Versão estendida para funções crescentes monotonicamente

Se φ for uma função não negativa monotonicamente crescente para os reais não negativos, X é uma variável aleatória, a ≥ 0 e φ ( a )> 0 , então

${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (\ varphi (| X |))} {\ varphi (a)}}.}$

Um corolário imediato, usando momentos mais altos de X suportados em valores maiores que 0, é

${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (| X | ^ {n})} {a ^ {n}}}.}$

Provas

Separamos o caso em que o espaço de medida é um espaço de probabilidade do caso mais geral porque o caso de probabilidade é mais acessível para o leitor comum.

Intuição

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ operatorname {P} (X <a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X <a) + \ operatorname {P} (X \ geq a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X \ geq a)}$onde é maior do que 0, pois o rv é não negativo e é maior do que porque a expectativa condicional só leva em consideração os valores maiores do que os rv podem assumir. ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X | X <a)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ operatorname {E} (X | X \ geq a)}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle X}$

Daí intuitivamente , o que leva diretamente a . ${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) \ geq \ operatorname {P} (X \ geq a) \ cdot \ operatorname {E} (X | X \ geq a) \ geq a \ cdot \ operatorname {P} ( X \ geq a)}$${\ displaystyle \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {a}}}$

Prova teórica de probabilidade

Método 1: a partir da definição de expectativa:

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}$

No entanto, X é uma variável aleatória não negativa, portanto,

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx = \ int _ {0} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}$

Disto podemos derivar,

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0} ^ {a} xf (x) \, dx + \ int _ {a} ^ {\ infty} xf (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {\ infty} xf (x) \, dx \ geq \ int _ {a} ^ {\ infty} af (x) \, dx = a \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x) \, dx = a \ operatorname {Pr} (X \ geq a)}$

A partir daqui, dividir por nos permite ver que ${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ Pr (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X) / a}$

Método 2: Para qualquer evento , seja a variável indicadora aleatória de , ou seja, se ocorre e não. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I_ {E}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I_ {E} = 1}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I_ {E} = 0}$

Usando essa notação, temos se o evento ocorre e se . Então, dado , ${\ displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 1}$${\ displaystyle X \ geq a}$${\ displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 0}$${\ displaystyle X <a}$${\ displaystyle a> 0}$

${\ displaystyle aI _ {(X \ geq a)} \ leq X}$

o que é claro se considerarmos os dois valores possíveis de . Se , então , e assim . Caso contrário, temos , para o qual e assim . ${\ displaystyle X \ geq a}$${\ displaystyle X <a}$${\ displaystyle I _ {(X \ geq a)} = 0}$${\ displaystyle aI _ {(X \ geq a)} = 0 \ leq X}$${\ displaystyle X \ geq a}$${\ displaystyle I_ {X \ geq a} = 1}$${\ displaystyle aI_ {X \ geq a} = a \ leq X}$

Como é uma função monotonicamente crescente, tomar a expectativa de ambos os lados de uma desigualdade não pode revertê-la. Portanto, ${\ displaystyle \ operatorname {E}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (aI _ {(X \ geq a)}) \ leq \ operatorname {E} (X).}$

Agora, usando a linearidade das expectativas, o lado esquerdo desta desigualdade é o mesmo que

${\ displaystyle a \ operatorname {E} (I _ {(X \ geq a)}) = a (1 \ cdot \ operatorname {P} (X \ geq a) +0 \ cdot \ operatorname {P} (X <a )) = a \ operatorname {P} (X \ geq a).}$

Assim nós temos

${\ displaystyle a \ operatorname {P} (X \ geq a) \ leq \ operatorname {E} (X)}$

e como a  > 0, podemos dividir os dois lados por  a .

Prova teórica da medida

Podemos assumir que a função não é negativa, uma vez que apenas seu valor absoluto entra na equação. Agora, considere a função de valor real s em X dada por ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle s (x) = {\ begin {cases} \ varepsilon, & {\ text {if}} f (x) \ geq \ varepsilon \\ 0, & {\ text {if}} f (x) < \ varejpsilon \ end {casos}}}$

Então . Pela definição da integral de Lebesgue${\ displaystyle 0 \ leq s (x) \ leq f (x)}$

${\ displaystyle \ int _ {X} f (x) \, d \ mu \ geq \ int _ {X} s (x) \, d \ mu = \ varepsilon \ mu (\ {x \ in X: \, f (x) \ geq \ varepsilon \})}$

e uma vez que ambos os lados podem ser divididos por , obtendo ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle \ mu (\ {x \ in X: \, f (x) \ geq \ varepsilon \}) \ leq {1 \ over \ varepsilon} \ int _ {X} f \, d \ mu.}$

Corolários

Desigualdade de Chebyshev

A desigualdade de Chebyshev usa a variância para limitar a probabilidade de que uma variável aleatória se desvie muito da média. Especificamente,

${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X- \ operatorname {E} (X) | \ geq a) \ leq {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}},}$

para qualquer a > 0 . Aqui Var ( X ) é a variância de X, definida como:

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (X) = \ operatorname {E} [(X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2}].}$

A desigualdade de Chebyshev segue da desigualdade de Markov, considerando a variável aleatória

${\ displaystyle (X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2}}$

e a constante para a qual a desigualdade de Markov lê ${\ displaystyle a ^ {2},}$

${\ displaystyle \ operatorname {P} ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ geq a ^ {2}) \ leq {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}$

Este argumento pode ser resumido (onde "MI" indica o uso da desigualdade de Markov):

${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X- \ operatorname {E} (X) | \ geq a) = \ operatorname {P} \ left ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ geq a ^ {2} \ right) \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} \ left ((X- \ operatorname {E} (X)) ^ {2} \ right)} {a ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}$

Outros corolários

1. O resultado "monotônico" pode ser demonstrado por:

   ${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X | \ geq a) = \ operatorname {P} {\ big (} \ varphi (| X |) \ geq \ varphi (a) {\ big)} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} (\ varphi (| X |))} {\ varphi (a)}}}$

2. O resultado de que, para uma variável aleatória não negativa X , a função de quantil de X satisfaz:

   ${\ displaystyle Q_ {X} (1-p) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {p}},}$

   a prova usando

   ${\ displaystyle p \ leq \ operatorname {P} (X \ geq Q_ {X} (1-p)) \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {MI}} {}} {\ leq}} \, {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {Q_ {X} (1-p)}}.}$

3. Let Ser uma variável aleatória auto-adjunta com valor de matriz e um > 0 . Então ${\ displaystyle M \ successq 0}$

   ${\ displaystyle \ operatorname {P} (M \ npreceq a \ cdot I) \ leq {\ frac {\ operatorname {tr} \ left (E (M) \ right)} {na}}.}$

   pode ser mostrado de maneira semelhante.

Exemplos

Assumindo que nenhuma renda seja negativa, a desigualdade de Markov mostra que não mais do que 1/5 da população pode ter mais do que 5 vezes a renda média.

Veja também

• Desigualdade de Paley-Zygmund - um limite inferior correspondente
• Desigualdade de concentração - um resumo dos limites finais em variáveis ​​aleatórias.

Referências

links externos

• A prova formal da desigualdade de Markov no sistema Mizar .