Independência de alternativas irrelevantes - Independence of irrelevant alternatives

A independência de alternativas irrelevantes ( IIA ), também conhecida como independência binária ou axioma da independência , é um axioma da teoria da decisão e de várias ciências sociais . O termo é usado com conotações diferentes em vários contextos. Embora sempre tente fornecer uma explicação do comportamento individual racional ou agregação de preferências individuais, a formulação exata difere amplamente tanto na linguagem quanto no conteúdo exato.

Talvez a maneira mais fácil de entender o axioma seja como ele se aplica à votação. Lá, o axioma diz que se Charlie (a alternativa irrelevante) entrar em uma disputa entre Alice e Bob , com Alice (líder) sendo mais apreciada do que Bob (vice-campeã), então o eleitor individual que gosta menos de Charlie do que Alice não mudará seu voto de Alice para Bob. Por causa disso, uma violação do IIA é comumente chamada de " efeito spoiler ": o apoio a Charlie "estraga" a eleição de Alice, enquanto "logicamente" não deveria. Afinal, Alice era mais apreciada do que Bob, e Charlie era menos apreciado do que Alice.

Em contextos de tomada de decisão coletiva, o axioma assume uma forma mais refinada e está matematicamente intimamente ligado aos métodos de Condorcet , ao teorema de Gibbard-Satterthwaite e ao teorema da impossibilidade de flecha . Todos eles têm a ver com maiorias cíclicas entre conjuntos ordenados , e as provas relacionadas assumem a mesma forma básica. A economia comportamental mostrou que o axioma é comumente violado pelos humanos.

As muitas formas de IIA

Na teoria da escolha individual , IIA às vezes se refere à condição de Chernoff ou α (alfa) de Sen : se uma alternativa x for escolhida de um conjunto T , e x também for um elemento de um subconjunto S de T , então x deve ser escolhido de S . Ou seja, eliminar algumas das alternativas não escolhidas não deve afetar a seleção de x como a melhor opção.

Na teoria da escolha social , o IIA de Arrow é uma das condições do teorema da impossibilidade de Arrow , que afirma que é impossível agregar preferências individuais de ordem de classificação ("votos") que satisfaçam o IIA além de certas outras condições razoáveis. Arrow define IIA assim:

As preferências sociais entre as alternativas x e y dependem apenas das preferências individuais entre x e y .

Na teoria da escolha social , IIA é definido como:

Se A for selecionado em vez de B no conjunto de escolha { A , B } por uma regra de votação para determinadas preferências do eleitor de A , B , e uma terceira alternativa X indisponível , então, se apenas as preferências para X mudarem, a regra de votação não deve liderar para 'B s sendo seleccionada sobre um .

Na teoria da votação, isso geralmente acontece por causa de incentivos perversos causados ​​pelo método de votação. Mas, na verdade, as pessoas também violam o axioma por razões psicológicas .

Por exemplo, na microeconomia , o axioma está ainda mais conectado à teoria da preferência revelada e da racionalidade instrumental formalizada : na economia neoclássica geralmente é considerado verdadeiro, como uma parte básica e preditiva da estrutura, e algo que teoricamente impede os livros holandeses de acontecendo. No entanto, uma vez que é empiricamente falando ou doentio ou, na melhor das hipóteses, uma aproximação grosseira do comportamento humano vivo , o axioma continua a evocar um debate animado. Até porque pode-se argumentar que, para uma pessoa ser racional , ela deve obedecer ao axioma - tornando, assim, o axioma também uma questão de filosofia moral e axiologia .

Teoria da votação

Em sistemas de votação , a independência de alternativas irrelevantes é freqüentemente interpretada como, se um candidato ( X ) vencesse uma eleição, e se um novo candidato ( Y ) fosse adicionado à cédula, então X ou Y venceria a eleição.

A votação para aprovação , a votação por faixa e o julgamento da maioria satisfazem o critério do IIA se for assumido que os eleitores classificam os candidatos individualmente e independentemente de conhecerem as alternativas disponíveis na eleição, usando sua própria escala absoluta. Essa suposição implica que alguns eleitores com preferências significativas em uma eleição com apenas duas alternativas irão necessariamente votar com pouco ou nenhum poder de voto, ou necessariamente se absterão. Se for considerado pelo menos possível que qualquer eleitor com preferências não se abstenha ou vote em seus candidatos favoritos e menos favoritos nas classificações superior e inferior respectivamente, então esses sistemas falham no IIA. Permitir apenas uma dessas condições causa falha. Outro sistema cardinal, o voto cumulativo , não satisfaz o critério, independentemente de qualquer uma das suposições.

Uma interpretação alternativa para o caso cardinal é que as próprias cédulas passam pelo IIA (isto é, alterando a cédula depois de terem sido lançadas), mas não as preferências internas do eleitor (isto é, mudando o contexto no qual as cédulas foram criadas). Sob o pressuposto de sinceridade, as informações classificadas nas cédulas classificadas e a ordem de preferência do eleitor são as mesmas, portanto, essa distinção não é feita e ambos os conjuntos de informações classificadas são considerados um e o mesmo. No cenário da votação cardinal, o contexto da eleição e a intensidade relativa das preferências é o que leva a uma votação cardinal específica (e não a uma escala absoluta) e, portanto, mudar o contexto mudaria a votação. Sob essa interpretação, não há necessidade de supor que os eleitores votem em cédulas que avaliem cada candidato de forma independente em uma escala absoluta, já que as informações na cédula cardinal representam uma escala comparativa relativa. Esta interpretação é empiricamente suportada pela forma como os indivíduos respondem às avaliações comparativas cardinais.

Uma anedota que ilustra uma violação do IIA foi atribuída a Sidney Morgenbesser :

Depois de terminar o jantar, Sidney Morgenbesser decide pedir sobremesa. A garçonete diz que ele tem duas opções: torta de maçã e torta de mirtilo. Sidney pede a torta de maçã. Depois de alguns minutos, a garçonete retorna e diz que eles também têm torta de cereja, momento em que Morgenbesser diz: "Nesse caso, eu quero a torta de mirtilo".

Todos os sistemas de votação têm algum grau de suscetibilidade inerente a considerações de nomeação estratégica . Alguns consideram essas considerações menos sérias, a menos que o sistema de votação falhe no critério de independência de clones mais fácil de satisfazer .

Independência local

Um critério mais fraco do que o IIA proposto por H. Peyton Young e A. Levenglick é chamado de independência local de alternativas irrelevantes (LIIA). LIIA exige que ambas as seguintes condições sempre sejam válidas:

• Se a opção que terminou em último lugar for excluída de todos os votos, a ordem de acabamento das opções restantes não deve ser alterada. (O vencedor não deve mudar.)
• Se a opção vencedora for excluída de todos os votos, a ordem de acabamento das opções restantes não deve ser alterada. (A opção que terminou em segundo lugar deve se tornar a vencedora.)

Uma forma equivalente de expressar LIIA é que se um subconjunto de opções estiver em posições consecutivas na ordem de acabamento, sua ordem relativa de chegada não deve mudar se todas as outras opções forem excluídas dos votos. Por exemplo, se todas as opções exceto aquelas no 3º, 4º e 5º lugar forem excluídas, a opção que terminou em 3º deve vencer, o 4º deve terminar em segundo e o 5º deve terminar em 3º.

Outra forma equivalente de expressar LIIA é que se duas opções forem consecutivas na ordem de chegada, aquela que terminar mais alto deverá ganhar se todas as opções, exceto aquelas duas, forem excluídas dos votos.

LIIA é mais fraca do que IIA porque a satisfação com IIA implica satisfação com LIIA, mas não vice-versa.

Apesar de ser um critério mais fraco (ou seja, mais fácil de satisfazer) do que o IIA, o LIIA é satisfeito por poucos métodos de votação. Isso inclui Kemeny-Young e pares classificados , mas não Schulze . Assim como com o IIA, o cumprimento do LIIA para métodos de classificação, como votação de aprovação , votação por faixa e julgamento da maioria, exige a suposição de que os eleitores classifiquem cada alternativa individualmente e independentemente de conhecer quaisquer outras alternativas, em uma escala absoluta (calibrada antes da eleição), mesmo quando essa suposição implica que os eleitores com preferências significativas em uma eleição de dois candidatos necessariamente se absterão.

Críticas ao IIA

O IIA é amplamente incompatível com o critério da maioria, a menos que haja apenas duas alternativas.

Considere um cenário em que há três candidatos A , B e C , e as preferências dos eleitores são as seguintes:

25% dos votantes preferem Uma sobre B , e B sobre C . ( A > B > C )

40% dos votantes preferem B sobre C , e C sobre um . ( B > C > A )

35% dos votantes preferem C sobre uma , e um sobre B . ( C > A > B )

(Estas são preferências, não votos e, portanto, são independentes do método de votação.)

75% preferem C sobre um , 65% preferem B sobre C , e 60% preferem Uma sobre B . A presença dessa intransitividade social é o paradoxo da votação . Independentemente do método de votação e dos votos reais, existem apenas três casos a serem considerados:

• Caso 1: A é eleito. O IIA é violado porque os 75% que preferem C a A elegeriam C se B não fosse um candidato.
• Caso 2: B é eleito. O IIA é violado porque os 60% que preferem A a B elegeriam A se C não fosse um candidato.
• Caso 3: C é eleito. O IIA é violado porque os 65% que preferem B a C elegeriam B se A não fosse um candidato.

Para mostrar o fracasso, só se presume que é possível que um número suficiente de eleitores na maioria lance um voto minimamente positivo em seu candidato preferido quando houver apenas dois candidatos, em vez de se abster. A maioria dos métodos de votação por classificação e votação na pluralidade satisfazem o Critério da Maioria e, portanto, reprovam no IIA automaticamente pelo exemplo acima. Enquanto isso, a aprovação do IIA por votação por aprovação e intervalo exige, em certos casos, que os eleitores da maioria sejam necessariamente excluídos da votação (presume-se que eles necessariamente se abstêm em uma corrida de dois candidatos, apesar de terem uma preferência significativa entre as alternativas).

Portanto, mesmo que o IIA seja desejável, exigir sua satisfação parece permitir apenas métodos de votação indesejáveis ​​de alguma outra forma, como tratar um dos eleitores como ditador. Portanto, o objetivo deve ser descobrir quais métodos de votação são os melhores, em vez de quais são perfeitos.

Pode-se argumentar que o próprio IIA é indesejável. O IIA assume que, ao decidir se A é provável que seja melhor do que B , as informações sobre as preferências dos eleitores em relação a C são irrelevantes e não devem fazer diferença. No entanto, a heurística que leva à regra da maioria quando há apenas duas opções é que quanto maior o número de pessoas que pensam que uma opção é melhor do que a outra, maior a probabilidade de que seja melhor, se todas as outras forem iguais (ver o Júri de Condorcet Teorema ). É mais provável que uma maioria do que a minoria oposta esteja certa sobre qual dos dois candidatos é melhor, se todo o resto for igual, daí o uso da regra da maioria.

A mesma heurística implica que quanto maior a maioria, mais provável é que eles estejam certos. Também parece implicar que, quando há mais de uma maioria, as maiorias maiores têm mais probabilidade de estar certas do que as maiorias menores. Supondo que seja assim, os 75% que preferem C em vez de A e os 65% que preferem B em vez de C têm mais probabilidade de estar certos do que os 60% que preferem A em vez de B , e uma vez que não é possível que todas as três maiorias estejam certo, a pequena maioria (que prefere A em vez de B ) tem maior probabilidade de estar errada e menos probabilidade do que sua minoria oposta de estar certa. Em vez de ser irrelevante para saber se A é melhor do que B , as informações adicionais sobre as preferências dos eleitores em relação a C fornecem uma forte indicação de que esta é uma situação em que tudo o mais não é igual.

Na escolha social

De Kenneth Arrow , cada "eleitor" i na sociedade tem uma ordem R _i que classifica os objetos (concebíveis) de escolha social - x , y e z no caso mais simples - de alto a baixo. Uma regra de agregação ( regra de votação ), por sua vez, mapeia cada perfil ou tupla (R ₁ , ..., R _n ) das preferências do eleitor (ordenações) para uma ordenação social R que determina a preferência social (classificação) de x , y , e z .

O IIA da Arrow requer que sempre que um par de alternativas for classificado da mesma maneira em dois perfis de preferência (sobre o mesmo conjunto de escolha), a regra de agregação deve ordenar essas alternativas de forma idêntica nos dois perfis. Por exemplo, suponha que uma regra de agregação classifique a acima de b no perfil fornecido por

• ( acbd , dbac ),

(ou seja, o primeiro indivíduo prefere a primeiro, c segundo, b terceiro, d último; o segundo indivíduo prefere d primeiro, ... e c último). Então, se satisfizer o IIA, deve classificar a acima de b nos três perfis a seguir:

• ( abcd , bdca )
• ( abcd , bacd )
• ( ACDB , BCDA ).

As duas últimas formas de perfis (colocando os dois no topo; e colocando os dois no topo e na base) são especialmente úteis nas provas de teoremas envolvendo IIA.

O IIA de Arrow não implica um IIA semelhante aos diferentes deste no início deste artigo, nem o contrário.

Na primeira edição de seu livro, Arrow interpretou mal o IIA ao considerar a remoção de uma escolha do conjunto de considerações. Entre os objetos de escolha, ele distinguiu aqueles que por hipótese são especificados como factíveis e inviáveis . Considere dois conjuntos possíveis de ordenações de eleitores ( , ..., ) e ( , ..., ) de modo que a classificação de X e Y para cada eleitor i seja a mesma para e . A regra de votação gera ordenações sociais R e R 'correspondentes. Agora, suponha que X e Y sejam viáveis, mas Z seja inviável (digamos, o candidato não está na cédula ou o estado social está fora da curva de possibilidade de produção ). A seta exigia que a regra de votação de que R e R ' selecionassem a mesma escolha social (melhor classificado) do conjunto viável (X, Y), e que esse requisito fosse válido independentemente da classificação de Z inviável em relação a X e Y nos dois conjuntos de ordenações. O IIA não permite "remover" uma alternativa do conjunto disponível (um candidato da cédula) e não diz nada sobre o que aconteceria em tal caso: todas as opções são consideradas "viáveis". ${\ displaystyle R_ {1}}$${\ displaystyle R_ {n}}$ ${\ displaystyle R_ {1} '}$${\ displaystyle R_ {n} '}$${\ displaystyle R_ {i}}$${\ displaystyle R_ {i} '}$

Exemplos

Contagem de Borda

Em uma eleição de contagem de Borda , 5 eleitores classificam 5 alternativas [ A , B , C , D , E ].

3 classificação dos eleitores [ A > B > C > D > E ]. 1 eleitor classifica [ C > D > E > B > A ]. 1 eleitor classifica [ E > C > D > B > A ].

Contagem de Borda ( a = 0, b = 1): C = 13, A = 12, B = 11, D = 8, E = 6. C vence.

Agora, o eleitor que classifica [ C > D > E > B > A ] em vez disso classifica [ C > B > E > D > A ]; e o eleitor que classifica [ E > C > D > B > A ] em vez disso classifica [ E > C > B > D > A ]. Eles mudam suas preferências apenas sobre os pares [ B , D ], [ B , E ] e [ D , E ].

A nova contagem de Borda: B = 14, C = 13, A = 12, E = 6, D = 5. B vence.

A escolha social mudou o ranking de [ B , A ] e [ B , C ]. As mudanças na classificação da escolha social dependem de mudanças irrelevantes no perfil de preferência. Em particular, B agora vence em vez de C , embora nenhum eleitor tenha mudado sua preferência em relação a [ B , C ].

Contagem de Borda e votação estratégica

Considere uma eleição em que há três candidatos, A , B e C , e apenas dois eleitores. Cada eleitor classifica os candidatos em ordem de preferência. O candidato mais bem classificado na preferência do eleitor recebe 2 pontos, o segundo mais bem classificado 1 e o menos classificado 0; a classificação geral de um candidato é determinada pela pontuação total que obtém; o candidato com a melhor classificação vence.

Considerando dois perfis:

• Nos perfis 1 e 2, o primeiro eleitor lança seus votos na ordem BAC , então B recebe 2 pontos, A recebe 1 e C recebe 0 desse eleitor.
• No perfil 1, o segundo eleitor vota em ACB , de modo que A vencerá imediatamente (pontuação total: A 3, B 2, C 1).
• No perfil 2, o segundo eleitor vota no ABC , então A e B empatam (pontuação total: A 3, B 3, C 0).

Assim, se o segundo eleitor deseja A ser eleito, ele teve melhor votação ACB independentemente de sua opinião real de C e B . Isso viola a ideia de "independência de alternativas irrelevantes" porque a opinião comparativa do eleitor sobre C e B afeta se A é eleito ou não. Em ambos os perfis, as classificações de A em relação a B são as mesmas para cada eleitor, mas as classificações sociais de A em relação a B são diferentes.

Copeland

Este exemplo mostra que o método de Copeland viola o IIA. Suponha quatro candidatos A, B, C e D com 6 eleitores com as seguintes preferências:

nº de eleitores	Preferências
1	A> B> C> D
1	A> C> B> D
2	B> D> A> C
2	C> D> A> B

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Preferências Pairwise

		X
		UMA	B	C	D
Y	UMA		[X] 2 [Y] 4	[X] 2 [Y] 4	[X] 4 [Y] 2
	B	[X] 4 [Y] 2		[X] 3 [Y] 3	[X] 2 [Y] 4
	C	[X] 4 [Y] 2	[X] 3 [Y] 3		[X] 2 [Y] 4
	D	[X] 2 [Y] 4	[X] 4 [Y] 2	[X] 4 [Y] 2
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		2-0-1	1-1-1	1-1-1	1-0-2

• [X] indica os eleitores que preferiram o candidato da legenda da coluna ao da legenda da linha
• [Y] indica os eleitores que preferiram o candidato da legenda da linha àquele da legenda da coluna

Resultado : A tem duas vitórias e uma derrota, enquanto nenhum outro candidato tem mais vitórias do que derrotas. Assim, A é eleito vencedor de Copeland.

Mudança de preferências irrelevantes

Agora, suponha que todos os eleitores levantariam D sobre B e C sem alterar a ordem de A e D. As preferências dos eleitores agora seriam:

nº de eleitores	Preferências
1	A> D> B> C
1	A> D> C> B
2	D> B> A> C
2	D> C> A> B

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Preferências Pairwise

		X
		UMA	B	C	D
Y	UMA		[X] 2 [Y] 4	[X] 2 [Y] 4	[X] 4 [Y] 2
	B	[X] 4 [Y] 2		[X] 3 [Y] 3	[X] 6 [Y] 0
	C	[X] 4 [Y] 2	[X] 3 [Y] 3		[X] 6 [Y] 0
	D	[X] 2 [Y] 4	[X] 0 [Y] 6	[X] 0 [Y] 6
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		2-0-1	0-1-2	0-1-2	3-0-0

Resultado : D vence todos os três oponentes. Assim, D é eleito vencedor de Copeland.

Conclusão

Os eleitores mudaram apenas suas ordens de preferência sobre B, C e D. Como resultado, a ordem de resultado de D e A mudou. A passou de vencedor a perdedor sem qualquer mudança nas preferências dos eleitores em relação a A. Assim, o método de Copeland falha no critério do IIA.

Votação instantânea

Em uma eleição de segundo turno , 5 eleitores classificam 3 alternativas [ A , B , C ].

2 votantes classificam [ A > B > C ]. 2 votantes classificam [ C > B > A ]. 1 eleitor classifica [ B > A > C ].

Rodada 1: A = 2, B = 1, C = 2; B eliminado. Rodada 2: A = 3, C = 2; A vence.

Agora, os dois eleitores que classificam [ C > B > A ] em vez disso classificam [ B > C > A ]. Mudam apenas as suas preferências sobre B e C .

Rodada 1: A = 2, B = 3, C = 0; B vence com a maioria dos votos.

A classificação da escolha social de [ A , B ] é dependente das preferências sobre as alternativas irrelevantes [ B , C ].

Método Kemeny-Young

Este exemplo mostra que o método Kemeny-Young viola o critério IIA. Suponha três candidatos A, B e C com 7 eleitores e as seguintes preferências:

nº de eleitores	Preferências
3	A> B> C
2	B> C> A
2	C> A> B

O método Kemeny-Young organiza as contagens de comparação de pares na seguinte tabela de contagem:

Todos os pares possíveis de nomes de escolha		Número de votos com preferência indicada
		Prefira X em vez de Y	Preferência igual	Prefira Y em vez de X
X = A	Y = B	5	0	2
X = A	Y = C	3	0	4
X = B	Y = C	5	0	2

As pontuações de todas as classificações possíveis são:

Preferências	1. vs 2.	1. vs 3.	2. vs 3.	Total
A> B> C	5	3	5	13
A> C> B	3	5	2	10
B> A> C	2	5	3	10
B> C> A	5	2	4	11
C> A> B	4	2	5	11
C> B> A	2	4	2	8

Resultado : a classificação A> B> C tem a pontuação de classificação mais alta. Assim, A vence à frente de B e C.

Mudança de preferências irrelevantes

Agora, suponha que os dois eleitores (marcados em negrito) com preferências B> C> A mudariam suas preferências sobre o par B e C. As preferências dos eleitores seriam então no total:

nº de eleitores	Preferências
3	A> B> C
2	C> B> A
2	C> A> B

O método Kemeny-Young organiza as contagens de comparação de pares na seguinte tabela de contagem:

Todos os pares possíveis de nomes de escolha		Número de votos com preferência indicada
		Prefira X em vez de Y	Preferência igual	Prefira Y em vez de X
X = A	Y = B	5	0	2
X = A	Y = C	3	0	4
X = B	Y = C	3	0	4

As pontuações de todas as classificações possíveis são:

Preferências	1. vs 2.	1. vs 3.	2. vs 3.	Total
A> B> C	5	3	3	11
A> C> B	3	5	4	12
B> A> C	2	3	3	8
B> C> A	3	2	4	9
C> A> B	4	4	5	13
C> B> A	4	4	2	10

Resultado : a classificação C> A> B tem a pontuação de classificação mais alta. Assim, C vence à frente de A e B.

Conclusão

Os dois eleitores mudaram apenas suas preferências sobre B e C, mas isso resultou em uma mudança da ordem de A e C no resultado, transformando A de vencedor em perdedor, sem qualquer mudança nas preferências dos eleitores em relação a A. Assim, o Kemeny -O método jovem falha no critério IIA.

Minimax

Este exemplo mostra que o método Minimax viola o critério IIA. Suponha que quatro candidatos A, B e C e 13 eleitores com as seguintes preferências:

nº de eleitores	Preferências
2	B> A> C
4	A> B> C
3	B> C> A
4	C> A> B

Uma vez que todas as preferências são classificações estritas (sem igual), todos os três métodos do Minimax (votos vencedores, margens e pares opostos) elegem os mesmos vencedores.

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares

		X
		UMA	B	C
Y	UMA		[X] 5 [Y] 8	[X] 7 [Y] 6
	B	[X] 8 [Y] 5		[X] 4 [Y] 9
	C	[X] 6 [Y] 7	[X] 9 [Y] 4
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		1-0-1	1-0-1	1-0-1
pior derrota de pares (votos vencedores):		7	8	9
pior derrota dos pares (margens):		1	3	5
pior oposição de pares:		7	8	9

• [X] indica os eleitores que preferiram o candidato da legenda da coluna ao da legenda da linha
• [Y] indica os eleitores que preferiram o candidato da legenda da linha àquele da legenda da coluna

Resultado : A tem a maior derrota mais próxima. Assim, A é eleito vencedor do Minimax.

Mudança de preferências irrelevantes

Agora, suponha que os dois eleitores (marcados em negrito) com preferências B> A> C alterem as preferências sobre o par A e C. As preferências dos eleitores seriam então no total:

nº de eleitores	Preferências
4	A> B> C
5	B> C> A
4	C> A> B

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares

		X
		UMA	B	C
Y	UMA		[X] 5 [Y] 8	[X] 9 [Y] 4
	B	[X] 8 [Y] 5		[X] 4 [Y] 9
	C	[X] 4 [Y] 9	[X] 9 [Y] 4
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		1-0-1	1-0-1	1-0-1
pior derrota de pares (votos vencedores):		9	8	9
pior derrota dos pares (margens):		5	3	5
pior oposição de pares:		9	8	9

Resultado : agora, B tem a maior derrota mais próxima. Assim, B é eleito vencedor do Minimax.

Conclusão

Assim, ao alterar a ordem de A e C nas preferências de alguns eleitores, a ordem de A e B no resultado mudou. B é transformado de perdedor em vencedor sem qualquer mudança nas preferências dos eleitores em relação a B. Portanto, o método Minimax falha no critério do IIA.

Sistema de votação de pluralidade

Em um sistema de votação de pluralidade, 7 eleitores classificam 3 alternativas ( A , B , C ).

• Classificação de 3 eleitores ( A > B > C )
• Classificação de 2 eleitores ( B > A > C )
• Classificação de 2 eleitores ( C > B > A )

Em uma eleição, inicialmente apenas A e B de execução: B vitórias com 4 votos a A' s 3, mas a entrada de C para a corrida faz um novo vencedor.

As posições relativas de A e B são invertidas pela introdução de C , uma alternativa "irrelevante".

Pares classificados

Este exemplo mostra que o método de pares classificados viola o critério IIA. Considere três candidatos A, B e C e 7 eleitores com as seguintes preferências:

nº de eleitores	Preferências
3	A> B> C
2	B> C> A
2	C> A> B

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares

		X
		UMA	B	C
Y	UMA		[X] 2 [Y] 5	[X] 4 [Y] 3
	B	[X] 5 [Y] 2		[X] 2 [Y] 5
	C	[X] 3 [Y] 4	[X] 5 [Y] 2
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		1-0-1	1-0-1	1-0-1

A lista classificada de vitórias seria:

Par	Vencedora
A (5) vs. B (2)	A 5
B (5) vs. C (2)	B 5
A (3) vs. C (4)	C 4

Resultado : A> B e B> C estão bloqueados (e C> A não pode ser bloqueado depois disso), então a classificação completa é A> B> C. Assim, A é eleito vencedor dos pares classificados.

Mudança de preferências irrelevantes

Agora, suponha que os dois eleitores (marcados em negrito) com preferências B> C> A mudem suas preferências sobre o par B e C. As preferências dos eleitores seriam então no total:

nº de eleitores	Preferências
3	A> B> C
2	C> B> A
2	C> A> B

Os resultados seriam tabulados da seguinte forma:

Resultados da eleição de pares

		X
		UMA	B	C
Y	UMA		[X] 2 [Y] 5	[X] 4 [Y] 3
	B	[X] 5 [Y] 2		[X] 4 [Y] 3
	C	[X] 3 [Y] 4	[X] 3 [Y] 4
Resultados da eleição de pares (ganho-empate-derrota):		1-0-1	0-0-2	2-0-0

A lista classificada de vitórias seria:

Par	Vencedora
A (5) vs. B (2)	A 5
B (3) vs. C (4)	C 4
A (3) vs. C (4)	C 4

Resultado : todos os três duelos são travados, então a classificação completa é C> A> B. Assim, o vencedor de Condorcet C é eleito vencedor dos pares classificados.

Conclusão

Assim, ao mudar suas preferências sobre B e C, os dois votantes mudaram a ordem de A e C no resultado, transformando A de vencedor em perdedor sem qualquer mudança nas preferências dos eleitores em relação a A. Assim, o método de pares classificados falha no Critério do IIA.

Método Schulze

Este exemplo mostra que o método Schulze viola o critério IIA. Suponha quatro candidatos A, B, C e D e 12 eleitores com as seguintes preferências:

nº de eleitores	Preferências
4	A> B> C> D
2	C> B> D> A
3	C> D> A> B
2	D> A> B> C
1	D> B> C> A

As preferências dos pares seriam tabuladas da seguinte forma:

Matriz de preferências de pares

	d [*, A]	d [*, B]	d [*, C]	d [*, D]
d [A, *]		9	6	4
d [B, *]	3		7	6
d [C, *]	6	5		9
d [D, *]	8	6	3

Agora, os caminhos mais fortes devem ser identificados, por exemplo, o caminho D> A> B é mais forte do que o caminho direto D> B (que é anulado, pois é um empate).

Pontos fortes dos caminhos mais fortes

	d [*, A]	d [*, B]	d [*, C]	d [*, D]
d [A, *]		9	7	7
d [B, *]	7		7	7
d [C, *]	8	8		9
d [D, *]	8	8	7

Resultado : a classificação completa é C> D> A> B. Assim, C é eleito vencedor Schulze e D tem preferência sobre A.

Mudança de preferências irrelevantes

Agora, suponha que os dois eleitores (marcados em negrito) com preferências C> B> D> A mudem suas preferências sobre o par B e C. As preferências dos eleitores seriam então no total:

nº de eleitores	Preferências
4	A> B> C> D
2	B> C> D> A
3	C> D> A> B
2	D> A> B> C
1	D> B> C> A

Portanto, as preferências de pares seriam tabuladas da seguinte forma:

Matriz de preferências de pares

	d [*, A]	d [*, B]	d [*, C]	d [*, D]
d [A, *]		9	6	4
d [B, *]	3		9	6
d [C, *]	6	3		9
d [D, *]	8	6	3

Agora, os caminhos mais fortes precisam ser identificados:

Pontos fortes dos caminhos mais fortes

	d [*, A]	d [*, B]	d [*, C]	d [*, D]
d [A, *]		9	9	9
d [B, *]	8		9	9
d [C, *]	8	8		9
d [D, *]	8	8	8

Resultado : agora, a classificação completa é A> B> C> D. Assim, A é eleito vencedor Schulze e tem preferência sobre D.

Conclusão

Assim, ao mudar suas preferências sobre B e C, os dois votantes mudaram a ordem de A e D no resultado, transformando A de perdedor em vencedor sem qualquer mudança nas preferências dos eleitores em relação a A. Assim, o método Schulze falha no IIA critério.

Sistema de duas rodadas

Um exemplo provável do sistema de dois turnos que não atendeu a esse critério foi a eleição presidencial de 2002 na França . As pesquisas que antecederam a eleição sugeriram um segundo turno entre o candidato de centro-direita Jacques Chirac e o candidato de centro-esquerda Lionel Jospin , no qual Jospin deve vencer. No entanto, o primeiro turno foi contestado por 16 candidatos sem precedentes, incluindo candidatos de esquerda que pretendiam apoiar Jospin no segundo turno, resultando no candidato da extrema direita, Jean-Marie Le Pen , terminando em segundo lugar e entrando no segundo turno em vez de Jospin, que Chirac venceu por uma grande margem. Assim, a presença de muitos candidatos que não pretendiam vencer no pleito alterou os candidatos que venceram.

Críticas ao pressuposto do IIA

O IIA implica que adicionar outra opção ou alterar as características de uma terceira opção não afeta as probabilidades relativas entre as duas opções consideradas. Essa implicação não é realista para aplicativos com opções semelhantes.

Considere o exemplo Red Bus / Blue Bus, devido a Daniel McFadden. O passageiro John Doe enfrenta uma decisão entre pegar um carro ou um ônibus vermelho. Suponha que ele escolha entre essas duas opções com igual probabilidade em um determinado dia (por causa do clima ou capricho). A razão de chances entre o carro e o ônibus vermelho é então igual a 1: 1. Agora adicione uma terceira alternativa: ônibus azul. Se Doe não se importasse com a cor do ônibus, esperaríamos que a probabilidade do carro permanecesse 0,5, enquanto a probabilidade de cada um dos dois tipos de ônibus seria 0,25. Mas o IIA descarta isso. Diz que a nova escolha não deve alterar a razão de chances de 1: 1 entre o carro e o ônibus vermelho. Como a indiferença de Doe à cor exige que as probabilidades de ônibus vermelho e azul sejam iguais, as novas probabilidades devem ser: carro 0,33, ônibus vermelho 0,33, ônibus azul 0,33. A probabilidade geral de viagens de carro caiu de 0,5 para 0,33, o que é absurdo. O problema com o axioma IIA é que ele não leva em consideração o fato de que o ônibus vermelho e o ônibus azul são substitutos perfeitos.

O fracasso deste pressuposto também foi observado na prática, por exemplo, na sondagem de opinião para as Eleições Europeias de 2019 realizadas no Reino Unido. Em uma pesquisa, 21% dos eleitores em potencial expressaram apoio ao Partido Trabalhista no cenário em que havia três partidos anti-Brexit menores para escolher, mas em um cenário em que dois desses três partidos não apresentavam candidatos, o apoio ao Partido Trabalhista caiu para 18%. Isso significa que pelo menos 3% dos eleitores em potencial pararam de apoiar seu partido preferido quando um partido menos preferido desistiu.

Em econometria

O IIA é uma consequência direta dos pressupostos subjacentes aos modelos logit multinomial e logit condicional em econometria . Se esses modelos forem usados ​​em situações que de fato violam a independência (como eleições multicandidatas nas quais as preferências exibem ciclismo ou situações que imitam o exemplo do Barramento Vermelho / Barramento Azul dado acima), esses estimadores tornam-se inválidos.

Muitos avanços de modelagem foram motivados pelo desejo de aliviar as preocupações levantadas pelo IIA. Valor extremo generalizado , probit multinomial (também chamado de probit condicional ) e logit misto são modelos para resultados nominais que relaxam IIA, mas eles geralmente têm suposições próprias que podem ser difíceis de cumprir ou são computacionalmente inviáveis. O IIA pode ser relaxado especificando um modelo hierárquico, classificando as alternativas de escolha. O mais popular deles é o modelo logit aninhado .

Os modelos de valor extremo generalizado e probit multinomial possuem outra propriedade, a proporção invariante de substituição, que sugere um comportamento de escolha individual contraintuitivo semelhante.

Escolha sob incerteza

Na teoria da utilidade esperada de von Neumann e Morgenstern , quatro axiomas juntos implicam que os indivíduos agem em situações de risco como se maximizassem o valor esperado de uma função de utilidade . Um dos axiomas é um axioma de independência análogo ao axioma IIA:

Se , então, para qualquer e , ${\ displaystyle \, L \ prec M}$${\ displaystyle \, N}$${\ displaystyle \, p \ in (0,1]}$

${\ displaystyle \, pL + (1-p) N \ prec pM + (1-p) N,}$

onde P é uma probabilidade, pL + (1- p ) N significa uma aposta com probabilidade p de produzir L e probabilidade (1- p ) de originando N , e meios que M é preferido em relação L . Este axioma diz que se um resultado (ou bilhete de loteria) L é considerado não tão bom quanto outro ( M ), então ter uma chance com probabilidade p de receber L em vez de N é considerado não tão bom quanto ter uma chance com probabilidade p de receber M em vez de N . ${\ displaystyle \, L \ prec M}$

Na natureza

A seleção natural pode favorecer as escolhas dos animais não do tipo IIA, provavelmente devido à disponibilidade ocasional de alimentos, de acordo com um estudo publicado em janeiro de 2014.

Veja também

• Independência de alternativas dominadas por Smith
• O axioma de escolha de Luce
• Princípio da certeza
• Dependência do menu
  • Efeito chamariz
  • Previsivelmente irracional # A verdade sobre a relatividade

Notas de rodapé

Referências

• Arrow, Kenneth Joseph (1951). Escolha social e valores individuais (1ª ed.). Wiley.
• Arrow, Kenneth Joseph (1963). Social Choice and Individual Values (2ª ed.). Wiley.
• Kennedy, Peter (2003). A Guide to Econometrics (5ª ed.). MIT Press. ISBN 978-0-262-61183-1.
• Maddala, GS (1983). Variáveis ​​Limitadas Dependentes e Qualitativas em Econometria . Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-78241-9.
• Ray, Paramesh (1973). "Independence from Irrelevant Alternatives". Econometrica . 41 (5): 987–991. doi : 10.2307 / 1913820 . JSTOR  1913820 . Discute e deduz as diferenças nem sempre reconhecidas entre as várias formulações de IIA.

Leitura adicional

• Callander, Steven; Wilson, Catherine H. (julho de 2006). “Votação dependente do contexto”. Quarterly Journal of Political Science . Now Publishing Inc. 1 (3): 227–254. doi : 10.1561 / 100.00000007 .
• Steenburgh, Thomas J. (2008). "A proporção invariante de propriedade de substituição (IPS) de modelos de escolha discreta" (PDF) . Marketing Science . 27 (2): 300–307. doi : 10.1287 / mksc.1070.0301 . Arquivado do original (PDF) em 15/06/2010.