Teoria das categorias superiores - Higher category theory
Em matemática , a teoria das categorias superiores é a parte da teoria das categorias em uma ordem superior , o que significa que algumas igualdades são substituídas por setas explícitas para poder estudar explicitamente a estrutura por trás dessas igualdades. A teoria das categorias superiores é frequentemente aplicada na topologia algébrica (especialmente na teoria da homotopia ), onde se estuda invariantes algébricos de espaços , como seu ∞-grupóide fundamental fraco .
Categorias superiores estritas
Uma categoria comum tem objetos e morfismos , que são chamados de 1-morfismos no contexto da teoria das categorias superiores. Uma categoria 2 generaliza isso incluindo também morfismos 2 entre os morfismos 1. Continuando isso até n -morfismos entre ( n - 1) -morfismos resulta em uma n -categoria.
Assim como a categoria conhecida como Gato , que é a categoria de pequenas categorias e functores é na verdade uma categoria 2 com transformações naturais como seus 2-morfismos, a categoria n - Gato de (pequenas) n- categorias é na verdade uma ( n + 1) -categoria.
Uma categoria n é definida por indução em n por:
- Uma categoria 0 é um conjunto ,
- Uma ( n + 1) -categoria é uma categoria enriquecida com a categoria n - Cat .
Portanto, uma categoria 1 é apenas uma categoria ( pequena localmente ).
A estrutura monoidal de Set é aquela dada pelo produto cartesiano como tensor e um singleton como unidade. Na verdade, qualquer categoria com produtos finitos pode receber uma estrutura monoidal. A construção recursiva de n - Cat funciona bem porque, se uma categoria C tem produtos finitos, a categoria de categorias enriquecidas com C também tem produtos finitos.
Embora este conceito seja muito estrito para alguns propósitos, por exemplo, na teoria da homotopia , onde estruturas "fracas" surgem na forma de categorias superiores, grupóides de homotopia superior cúbica estrita também surgiram como uma nova base para a topologia algébrica na fronteira entre homologia e teoria da homotopia ; consulte o artigo Topologia algébrica nãoabeliana , referenciado no livro abaixo.
Categorias superiores fracas
Em n- categorias fracas , as condições de associatividade e identidade não são mais estritas (ou seja, não são dadas por igualdades), mas são satisfeitas até um isomorfismo do próximo nível. Um exemplo em topologia é a composição de caminhos , onde as condições de identidade e associação valem apenas até a reparameterização e, portanto, até a homotopia , que é o 2-isomorfismo para esta 2-categoria . Esses n -isomorfismos devem se comportar bem entre hom-sets e expressar isso é a dificuldade na definição de n- categorias fracas . As 2 categorias fracas , também chamadas de bicategorias , foram as primeiras a serem definidas explicitamente. Uma particularidade delas é que uma bicategoria com um objeto é exatamente uma categoria monoidal , de modo que as bicategorias podem ser chamadas de "categorias monoidais com muitos objetos". 3 categorias fracas , também chamadas de tricategorias , e generalizações de nível superior são cada vez mais difíceis de definir explicitamente. Várias definições foram dadas, e dizer quando elas são equivalentes, e em que sentido, tornou-se um novo objeto de estudo na teoria das categorias.
Quase categorias
Complexos de Kan fracos, ou quase categorias, são conjuntos simpliciais que satisfazem uma versão fraca da condição de Kan. André Joyal mostrou que eles são uma boa base para a teoria das categorias superiores. Recentemente, em 2009, a teoria foi sistematizada ainda mais por Jacob Lurie, que simplesmente as chama de categorias do infinito, embora o último termo também seja um termo genérico para todos os modelos de (infinito, k ) categorias para qualquer k .
Categorias simplificadas de maneira simplificada
As categorias simplificadas, ou categorias simplificiais, são categorias enriquecidas em relação aos conjuntos simpliciais. No entanto, quando olhamos para eles como um modelo para (infinito, 1) -categorias , muitas noções categóricas (por exemplo, limites ) não concordam com as noções correspondentes no sentido de categorias enriquecidas. O mesmo para outros modelos enriquecidos, como categorias topologicamente enriquecidas.
Categorias topologicamente enriquecidas
Categorias topologicamente enriquecidas (às vezes simplesmente chamadas de categorias topológicas) são categorias enriquecidas em alguma categoria conveniente de espaços topológicos, por exemplo, a categoria de espaços de Hausdorff gerados compactamente .
Categorias Segal
Esses são modelos de categorias superiores introduzidos por Hirschowitz e Simpson em 1998, parcialmente inspirados nos resultados de Graeme Segal em 1974.
Veja também
Notas
Referências
- Baez, John C .; Dolan, James (1998). "Categorização". arXiv : math / 9802029 .
- Leinster, Tom (2004). Óperadas superiores, categorias superiores . Cambridge University Press. arXiv : math.CT / 0305049 . ISBN 0-521-53215-9 .
- Simpson, Carlos (2010). "Teoria da homotopia de categorias superiores". arXiv : 1001,4071 [ math.CT ]. Rascunho de um livro. PDF alternativo com hiperlinks )
- Lurie, Jacob (2009). Teoria do Topos Superior . Princeton University Press. arXiv : math.CT / 0608040 . ISBN 978-0-691-14048-3 . Como PDF .
- nLab , o projeto coletivo e aberto de caderno wiki sobre teoria das categorias superiores e aplicações em física, matemática e filosofia
- Catlab de Joyal , um wiki dedicado a exposições polidas de matemática categórica e categórica superior com provas
- Brown, Ronald ; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011). Topologia algébrica nãoabeliana: espaços filtrados, complexos cruzados, grupóides homotópicos cúbicos . Tracts in Mathematics. 15 . European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-083-8 .
links externos
- Baez, John (24 de fevereiro de 1996). "Semana 73: Conto de n- categorias" .
- The n-Category Cafe - um blog de grupo dedicado à teoria das categorias superiores.
- Leinster, Tom (8 de março de 2010). "Uma perspectiva sobre a teoria das categorias superiores" .