derivado de formal - Formal derivative

Em matemática , o derivado formal, é uma operação em elementos de um anel polinomial ou um anel de série poder formal que imita a forma do derivado de cálculo . Embora eles pareçam semelhantes, a vantagem algébrica de um derivado formal é que não contam com a noção de um limite , que é em geral impossível definir um anel . Muitas das propriedades do derivado são verdadeiras do derivado formal, mas alguns, especialmente aqueles que fazem declarações numéricos, não são.

Diferenciação formal é usada na álgebra para testar várias raízes de uma polinomial .

Definição

A definição de derivado formal é como se segue: fixar um anel R (não necessariamente conmutativo) e deixe Um = R [ X ] é o anel de polinómios mais de R . Em seguida, o derivado de formal é uma operação em elementos de uma , onde se

${\ Displaystyle f (x) \, = \, a_ {n} ^ x} {n + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

em seguida, sua derivada formal é

${\ Displaystyle f (x) \, = \, Df (x) = na_ {n} ^ x {n-1} + \ + cdots 2a_ {2} x + a_ {1}}$

assim como para polinômios sobre os reais ou complexos números. Aqui não significa multiplicação no ringue, mas onde nunca é usado dentro da soma. ${\ Displaystyle ma_ {i}}$${\ Displaystyle \ soma _ {k = 1} ^ {m} a_ {i},}$${\ Displaystyle k}$

Há um problema com esta definição para os anéis comutativos. A fórmula em si é correcta, mas não há forma de um padrão polinomial. Portanto, usar essa definição, é difícil provar${\ Displaystyle (f (x) \ cdot b) '= f (x) \ cdot b.}$

definição alternativa bem adequado para os anéis comutativos

Vamos para detém deixar Vamos definir derivado de expressões, de tal forma que e${\ Displaystyle r \ em R}$${\ Displaystyle r '= 0,}$${\ Displaystyle x '= 1.}$${\ Displaystyle (a + b) '= a' + b',}$${\ Displaystyle (um \ cdot b) '= A' \ cdot b + a b \ cdot'.}$

Temos de provar que esta definição dá o mesmo resultado para uma expressão independente sobre o método a expressão foi avaliada, portanto, que é compatível com os axiomas da igualdade.

• ${\ Displaystyle (a + b) '= a' + b '= b' + A '= (b + a)',}$
• ${\ Displaystyle ((a + b) + c) '= (a + b)' + c '= (a' + b ') + C' = a '+ (b' + c ') = a' + ( b + c) '= (a + (b + c))',}$
• ${\ Displaystyle (a (bc)) '= A' (bc) + a (bc) '= + a'bc um (b'c + bc') = + a'bc AB'C + ABC "=}$

${\ Displaystyle = (A'B + ab ') c + (ab) c' = (ab) 'c + (ab) c' = ((AB) C)',}$

• ${\ Displaystyle ((a + b) c) '= (a + b)' c + (a + b) c '= (a' + b ') c + (a + b) c' = (A'C + b 'c) + (ac' + bc ') =}$

${\ Displaystyle = \ cdots = (A'C + (b'c + ac ')) + bc' = (+ A'C (ac '+ b'c)) + bc' = \ cdots = (+ AC A'C ') + (+ bc b'c') =}$

${\ Displaystyle = (ac) '+ (BC)' = (AC + bc)',}$

e o distribuitivamente a partir do outro lado da simetria.

Linearidade naturalmente resulta da definição.

Fórmula para o derivado de um polinómio (de forma padrão para os anéis de conmutativos) é consequência directa da definição: ${\ Displaystyle (\ soma _ {i} a_ {i} x ^ {i}) '= \ soma _ {i} (a_ {i} x ^ {i})' = \ soma _ {i} ((a_ {i}) 'x ^ {i} + a_ {i} (x ^ {i})') = \ soma _ {i} (0x ^ {i} + a_ {i} (\ soma _ {j = 1 } ^ {i} x ^ {j-1} (x ') x ^ {ij})) = \ soma _ {i} \ soma _ {j = 1} ^ {i} a_ {i} x ^ {i -1}.}$

propriedades

Pode-se verificar que:

• Diferenciação formal é linear: de qualquer dois polinómios f ( x ), g ( x ) e elementos de r , s de R , temos

${\ Displaystyle (r \ cdot f + s \ cdot g) '(x) = r \ cdot f (x) + s \ cdot g' (x)}.$

Quando R não é comutativa existe outro, propriedade da linearidade diferente em que r e s aparecem à direita em vez de à esquerda. Quando R não contém um elemento de identidade, em seguida, nenhum destes reduz ao caso de uma simples soma de polinômios ou a soma de um polinômio com um múltiplo de outra polinomial, que também deve ser incluído como uma propriedade "linearidade".

• O derivado formais satisfaz a regra de Leibniz , ou regra do produto:

${\ Displaystyle (f \ cdot g) '(x) = f (x) \ cdot g (x) + f (x) \ cdot g' (x)}.$

Note que a ordem dos factores; quando R não é comutativa isso é importante.

Estas duas propriedades tornam D uma derivação em um (ver também módulo de formas diferenciais relativos para uma discussão de uma generalização).

Aplicação de encontrar fatores repetidos

Como no cálculo, o derivado detecta múltiplas raízes: se R é um campo em seguida, R [ x ] é um domínio Euclidiana , e nesta situação, podemos definir multiplicidade de raízes; ou seja, para cada polinomial f ( x ) e cada elemento de r de R , existe um número inteiro não negativo m _r e um polinomial g ( x ) tal que

${\ Displaystyle f (x) = (xr) ^ {m_ {r}} g (x)}$

onde g ( r ) não é igual a 0 . m _r é a multiplicidade da r como uma raiz de f . Resulta do que regra Leibniz que, nesta situação, m _r é também o número de diferenciações que deve ser realizada em f ( x ) antes de r não é uma raiz do polinomial resultante. A utilidade desta observação é que, embora em geral não cada polinómio de grau n em R [ x ] tem n raízes contando multiplicidade (isto é o máximo, pelo teorema acima), que pode passar para as extensões de campo em que isto é verdadeiro ( nomeadamente, fecho algébrico ). Uma vez que fazemos, podemos descobrir uma raiz múltipla que não era uma raiz de todo simplesmente sobre R . Por exemplo, se R é o campo com três elementos, o polinomial

${\ Displaystyle f (x) \, = \, x ^ {6} 1}$

não tem raízes em R ; no entanto, o seu derivado formal é zero desde 3 = 0 em R e em qualquer extensão de R , por isso, quando passam para o fecho algébrico que tem uma raiz múltipla que não poderia ter sido detectado pelo fatoração em R si. Assim, a diferenciação formal, permite uma efetiva noção de multiplicidade. Isso é importante na teoria de Galois , onde é feita a distinção entre extensão separável campo (definidos por polinômios sem múltiplas raízes) e os inseparáveis.

Correspondência para derivado analítico

Quando o anel R de escalares é conmutativo, existe uma definição alternativa e equivalente do derivado formal, o que se assemelha a uma vista em cálculo diferencial. O elemento de Y-X do anel R [X, Y] divide Y ⁿ - X ⁿ para qualquer nero inteiro n negativo de n , e, por conseguinte, divide f (Y) - f (X) para qualquer polinomial f em um indeterminado. Se o quociente (em R [X, Y]) é denotada por g :

${\ Displaystyle g (X, Y) = {\ frac {f (Y) -f (X) {}}}} YX$

em seguida, ele não é difícil de verificar se g (X, X) (em R [X]) coincide com o derivado formal da f tal como foi definido acima.

Esta formulação do derivado funciona igualmente bem para uma série de potências formal, assumindo apenas que o anel de escalares é conmutativo.

Na verdade, se a divisão nesta definição é feita na classe de funções de contínuo a , ele vai recuperar a definição clássica do derivado. Se ele é realizado na classe das funções contínuas em ambos e , temos diferenciabilidade uniforme, e nossa função será continuamente diferenciável. Da mesma forma, escolhendo diferentes classes de funções (digamos, a classe Lipschitz), temos diferentes sabores de diferenciabilidade. Desta forma, a diferenciação se torna uma parte da álgebra de funções. ${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle f}$

Veja também

• Derivado
• domínio euclidiano
• Módulo de formas diferenciais relativos
• teoria de Galois
• séries de potências formais
• derivado Pincherle

Referências

• Lang, Serge (2002), álgebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revisto terceira ed.), Nova Iorque: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1.878.556 , Zbl  0.984,00001
• Michael Livshits, você pode simplificar o cálculo, arXiv: 0905.3611v1