Força central - Central force

Na mecânica clássica , uma força central em um objeto é uma força que é direcionada para ou para longe de um ponto denominado centro de força .

${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ left \ vert F (\ mathbf {r}) \ right \ vert {\ hat {\ mathbf {r}} }}$

onde é a força, F é uma função de força com valor vetorial , F é uma função de força com valor escalar, r é o vetor posição , || r || é o seu comprimento e = r / || r || é o vetor unitário correspondente . ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ vec {\ text {F}}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$

Nem todos os campos de força centrais são conservadores ou esfericamente simétricos . No entanto, uma força central é conservadora se e somente se for esfericamente simétrica ou rotacionalmente invariante.

Propriedades

As forças centrais que são conservativas podem sempre ser expressas como o gradiente negativo de uma energia potencial : -

${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = - \ mathbf {\ nabla} V (\ mathbf {r}) {\ text {, onde}} V (\ mathbf {r}) = \ int _ {| \ mathbf {r} |} ^ {+ \ infty} F (r) \, \ mathrm {d} r}$

(o limite superior de integração é arbitrário, pois o potencial é definido até uma constante aditiva).

Em um campo conservador, a energia mecânica total ( cinética e potencial) é conservada:

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} m | \ mathbf {\ dot {r}} | ^ {2} + V (\ mathbf {r}) = {\ text {constant}}}$

(onde ṙ denota a derivada de r em relação ao tempo, que é a velocidade ), e em um campo de força central, então é o momento angular :

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times m \ mathbf {\ dot {r}} = {\ text {constante}}}$

porque o torque exercido pela força é zero. Como conseqüência, o corpo se move no plano perpendicular ao vetor do momento angular e contendo a origem, obedecendo à segunda lei de Kepler . (Se o momento angular for zero, o corpo se move ao longo da linha que o une à origem.)

Também pode ser mostrado que um objeto que se move sob a influência de qualquer força central obedece à segunda lei de Kepler. No entanto, a primeira e a terceira leis dependem da natureza do inverso do quadrado da lei da gravitação universal de Newton e não são válidas em geral para outras forças centrais.

Por serem conservadores, esses campos de força centrais específicos são irrotacionais, ou seja, sua ondulação é zero, exceto na origem :

${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = \ mathbf {0} {\ text {.}}}$

Exemplos

A força gravitacional e a força de Coulomb são dois exemplos familiares, sendo proporcionais apenas a 1 / r ² . Um objeto em tal campo de força com negativo (correspondendo a uma força atrativa) obedece às leis de Kepler do movimento planetário . ${\ displaystyle F (\ mathbf {r})}$${\ displaystyle F (\ mathbf {r})}$

O campo de força de um espacial oscilador harmónica é central com proporcional a r única e negativo. ${\ displaystyle F (\ mathbf {r})}$

Pelo teorema de Bertrand , esses dois, e , são os únicos campos de força centrais possíveis onde todas as órbitas limitadas são órbitas fechadas estáveis. No entanto, existem outros campos de força, que têm algumas órbitas fechadas. ${\ displaystyle F (\ mathbf {r}) = - k / r ^ {2}}$${\ displaystyle F (\ mathbf {r}) = - kr}$

Notas

^a Este artigo usa a definição de força central dada em Taylor. Outra definição comum (usado em ScienceWorld ) adiciona a restrição que a força seja simetria esférica, isto é . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) = F (|| \ mathbf {r} ||) {\ hat {\ mathbf {r}}}}$

Veja também

• Problema de força central clássico
• Partícula em um potencial esférico simétrico

Referências