Número trigonométrico - Trigonometric number

Em matemática, um número trigonométrico é um número irracional produzido tomando o seno ou cosseno de um múltiplo racional de um círculo completo , ou equivalentemente, o seno ou cosseno de um ângulo que em radianos é um múltiplo racional de π , ou o seno ou cosseno de um número racional de graus . Um dos exemplos mais simples é ${\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}.}$

Um número real diferente de 0, 1, -1, 1 / 2 , - 1 / 2 é um número trigonométrico se e somente se for a parte real de uma raiz de unidade (ver o teorema de Niven ). Assim, cada número trigonométrico é a metade da soma de duas raízes conjugadas complexas da unidade. Isso implica que um número trigonométrico é um número algébrico e duas vezes um número trigonométrico é um inteiro algébrico .

Ivan Niven deu provas de teoremas a respeito desses números. Li Zhou e Lubomir Markov recentemente melhoraram e simplificaram as provas de Niven.

Qualquer número trigonométrico pode ser expresso em termos de radicais . Aqueles que podem ser expressos em termos de raízes quadradas são bem caracterizados (veja constantes trigonométricas expressas em radicais reais ). Para expressar os outros em termos de radicais, são necessárias n- ésimas raízes de números complexos não reais , com n > 2 .

Uma prova elementar de que todo número trigonométrico é um número algébrico é a seguinte. Começa-se com o enunciado da fórmula de de Moivre para o caso de para o coprime k e n : ${\ displaystyle \ theta = 2 \ pi k / n}$

${\ displaystyle (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {n} = 1.}$

Expandir o lado esquerdo e igualar as partes reais fornece uma equação e, substituindo, fornece uma equação polinomial tendo como solução, portanto, por definição, a última é um número algébrico. Também é algébrico, pois é igual ao número algébrico. Finalmente, onde novamente é um múltiplo racional de π , é algébrico como sendo a razão de dois números algébricos. De uma forma mais elementar, isso também pode ser visto equiparando as partes imaginárias dos dois lados da expansão da equação de Moivre entre si e dividindo por para obter uma equação polinomial em ${\ displaystyle \ cos \ theta}$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta;}$${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta = 1- \ cos ^ {2} \ theta}$${\ displaystyle \ cos \ theta}$${\ displaystyle \ sin \ theta}$${\ displaystyle \ cos (\ theta - \ pi / 2).}$${\ displaystyle \ tan \ theta,}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ cos ^ {n} \ theta}$${\ displaystyle \ tan \ theta.}$

Veja também

• Constantes trigonométricas expressas em radicais reais
• Trigonometria

Referências