Medida singular - Singular measure

Em matemática , duas medidas positivas (ou sinalizadas ou complexas ) e definidas em um espaço mensurável são chamadas de singulares se existirem dois conjuntos disjuntos cuja união seja igual a zero em todos os subconjuntos mensuráveis ​​de enquanto é zero em todos os subconjuntos mensuráveis ​​de Isto é denotado por${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle (\ Omega, \ Sigma)}$${\ displaystyle A, B \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle \ mu \ perp \ nu.}$

Uma forma refinada do teorema da decomposição de Lebesgue decompõe uma medida singular em uma medida contínua singular e uma medida discreta . Veja abaixo os exemplos.

Exemplos em R ⁿ

Como um caso particular, uma medida definida no espaço euclidiano é chamada de singular , se for singular em relação à medida de Lebesgue neste espaço. Por exemplo, a função delta de Dirac é uma medida singular. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Exemplo. Uma medida discreta .

A função de etapa de Heaviside na linha real ,

$${\ displaystyle H (x) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} {\ begin {cases} 0, & x <0; \\ 1, & x \ geq 0; \ end {cases}}}$$

não contendo 0, mas${\ displaystyle \ delta _ {0}}$${\ displaystyle 0.}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0}}$${\ displaystyle \ lambda,}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ delta _ {0}:}$ ${\ displaystyle \ lambda (\ {0 \}) = 0}$${\ displaystyle \ delta _ {0} (\ {0 \}) = 1;}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ lambda (U)> 0}$${\ displaystyle \ delta _ {0} (U) = 0.}$

Exemplo. Uma medida contínua singular.

A distribuição de Cantor tem uma função de distribuição cumulativa que é contínua, mas não absolutamente contínua , e de fato sua parte absolutamente contínua é zero: ela é contínua singular.

Exemplo. Uma medida contínua singular em${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Os limites superior e inferior de