Medida complexa - Complex measure

Em matemática , especificamente na teoria da medida , uma medida complexa generaliza o conceito de medida , permitindo que ele tenha valores complexos . Em outras palavras, são permitidos conjuntos cujo tamanho (comprimento, área, volume) seja um número complexo.

Definição

Formalmente, uma medida complexa em um espaço mensurável é uma função de valor complexo ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$

${\ displaystyle \ mu: \ Sigma \ to \ mathbb {C}}$

isso é aditivo sigma . Em outras palavras, para qualquer sequência de conjuntos disjuntos pertencentes a , um tem ${\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n}) = \ mu \ left (\ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} \ right) \ in \ mathbb {C}.}$

Quanto a qualquer permutação ( bijeção ) , segue-se que converge incondicionalmente (portanto, absolutamente ). ${\ displaystyle \ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A_ {n} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} A _ {\ sigma (n)}}$${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {N} \ to \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ mu (A_ {n})}$

Integração em relação a uma medida complexa

Pode-se definir a integral de uma função mensurável de valor complexo em relação a uma medida complexa da mesma forma que a integral de Lebesgue de uma função mensurável de valor real em relação a uma medida não negativa , aproximando uma função mensurável com funções simples . Assim como no caso da integração comum, essa integral mais geral pode deixar de existir ou seu valor pode ser infinito (o infinito complexo ).

Outra abordagem é não desenvolver uma teoria de integração do zero, mas sim usar o conceito já disponível de integral de uma função com valor real em relação a uma medida não negativa. Para tanto, é uma verificação rápida se as partes reais e imaginárias μ ₁ e μ ₂ de uma medida complexa μ são medidas sinalizadas de valor finito . Pode-se aplicar a decomposição Hahn-Jordan a essas medidas para dividi-las como

${\ displaystyle \ mu _ {1} = \ mu _ {1} ^ {+} - \ mu _ {1} ^ {-}}$

e

${\ displaystyle \ mu _ {2} = \ mu _ {2} ^ {+} - \ mu _ {2} ^ {-}}$

onde μ ₁ ⁺ , μ ₁ ^- , μ ₂ ⁺ , μ ₂ ^- são medidas não negativas de valor finito (que são únicas em algum sentido). Então, para uma função mensurável f que tem valor real no momento, pode-se definir

${\ displaystyle \ int _ {X} \! f \, d \ mu = \ left (\ int _ {X} \! f \, d \ mu _ {1} ^ {+} - \ int _ {X} \! f \, d \ mu _ {1} ^ {-} \ right) + i \ left (\ int _ {X} \! f \, d \ mu _ {2} ^ {+} - \ int _ {X} \! F \, d \ mu _ {2} ^ {-} \ right)}$

contanto que a expressão do lado direito seja definida, isto é, todas as quatro integrais existem e ao adicioná-las não se encontra o indeterminado ∞ − ∞.

Dada agora uma função mensurável de valor complexo , pode-se integrar seus componentes reais e imaginários separadamente, conforme ilustrado acima e definir, como esperado,

${\ displaystyle \ int _ {X} \! f \, d \ mu = \ int _ {X} \! \ Re (f) \, d \ mu + i \ int _ {X} \! \ Im (f) ) \, d \ mu.}$

Variação de uma medida complexa e decomposição polar

Para uma medida complexa μ, define-se sua variação , ou valor absoluto , | μ | pela fórmula

${\ displaystyle | \ mu | (A) = \ sup \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | \ mu (A_ {n}) |}$

onde A é em Σ e os Supremum corre ao longo de todas as sequências de conjuntos disjuntos ( A _n ) _n cuja união é um . Tomando apenas partições finitas do conjunto A em subconjuntos mensuráveis , obtém-se uma definição equivalente.

Acontece que | μ | é uma medida finita não negativa. Da mesma forma que um número complexo pode ser representado em uma forma polar , tem-se uma decomposição polar para uma medida complexa: Existe uma função mensurável θ com valores reais tais que

${\ displaystyle d \ mu = e ^ {i \ theta} d | \ mu |,}$

significado

${\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu = \ int _ {X} fe ^ {i \ theta} \, d | \ mu |}$

para qualquer função mensurável absolutamente integrável f , ou seja, f satisfazendo

${\ displaystyle \ int _ {X} | f | \, d | \ mu | <\ infty.}$

Pode-se usar o teorema Radon-Nikodym para provar que a variação é uma medida e a existência da decomposição polar .

O espaço de medidas complexas

A soma de duas medidas complexas é uma medida complexa, pois é o produto de uma medida complexa por um número complexo. Ou seja, o conjunto de todas as medidas complexas em um espaço de medida ( X , Σ) forma um espaço vetorial sobre os números complexos. Além disso, a variação total definida como ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

${\ displaystyle \ | \ mu \ | = | \ mu | (X) \,}$

é uma norma , com respeito à qual o espaço de medidas complexas é um espaço de Banach .

Veja também

• Teorema de representação de Riesz
• Medida assinada
• Medida vetorial

links externos

• Medida complexa no MathWorld