Curvatura escalar - Scalar curvature

Na geometria Riemanniana , a curvatura escalar (ou escalar de Ricci ) é a invariante de curvatura mais simples de uma variedade Riemanniana . A cada ponto em uma variedade Riemanniana, ele atribui um único número real determinado pela geometria intrínseca da variedade próxima a esse ponto. Especificamente, a curvatura escalar representa a quantidade pela qual o volume de uma pequena bola geodésica em uma variedade Riemanniana se desvia daquele da bola padrão no espaço euclidiano . Em duas dimensões, a curvatura escalar é duas vezes a curvatura gaussiana, e caracteriza completamente a curvatura de uma superfície. Em mais de duas dimensões, entretanto, a curvatura das variedades Riemannianas envolve mais de uma quantidade funcionalmente independente.

Na relatividade geral , a curvatura escalar é a densidade Lagrangiana para a ação de Einstein-Hilbert . As equações de Euler-Lagrange para este Lagrange sob variações na métrica constituem as equações de campo de Einstein do vácuo , e as métricas estacionárias são conhecidas como métricas de Einstein . A curvatura escalar de uma variedade n é definida como o traço do tensor de Ricci e pode ser definida como n ( n  - 1) vezes a média das curvaturas seccionais em um ponto.

À primeira vista, a curvatura escalar na dimensão pelo menos 3 parece ser um invariante fraco com pouca influência na geometria global de uma variedade, mas na verdade alguns teoremas profundos mostram o poder da curvatura escalar. Um desses resultados é o teorema da massa positiva de Schoen , Yau e Witten . Os resultados relacionados fornecem uma compreensão quase completa de quais variedades têm uma métrica Riemanniana com curvatura escalar positiva.

Definição

A curvatura escalar S (comumente também R ou Sc ) é definida como o traço do tensor de curvatura de Ricci em relação à métrica :

${\ displaystyle S = \ operatorname {tr} _ {g} \ operatorname {Ric}.}$

O traço depende da métrica, pois o tensor de Ricci é um tensor valente de (0,2); deve-se primeiro elevar um índice para obter um tensor (1,1) -valente para obter o traço. Em termos de coordenadas locais, pode-se escrever

${\ displaystyle S = g ^ {ij} R_ {ij} = R_ {j} ^ {j}}$

onde R _ij são os componentes do tensor de Ricci na base de coordenadas:

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} = R_ {ij} \, dx ^ {i} \ otimes dx ^ {j}.}$

Dado um sistema de coordenadas e um tensor métrico, a curvatura escalar pode ser expressa da seguinte forma:

${\ displaystyle S = g ^ {ab} \ left ({\ Gamma ^ {c}} _ {ab, c} - {\ Gamma ^ {c}} _ {ac, b} + {\ Gamma ^ {d} } _ {ab} {\ Gamma ^ {c}} _ {cd} - {\ Gamma ^ {d}} _ {ac} {\ Gamma ^ {c}} _ {bd} \ right) = 2g ^ {ab } \ left ({\ Gamma ^ {c}} _ {a [b, c]} + {\ Gamma ^ {d}} _ {a [b} {\ Gamma ^ {c}} _ {c] d} \direito)}$

onde estão os símbolos de Christoffel da métrica e é a derivada parcial de na i- ésima direção da coordenada. ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {a}} _ {bc}}$${\ displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk, i}}$${\ displaystyle {\ Gamma ^ {l}} _ {jk}}$

Ao contrário do tensor de curvatura de Riemann ou do tensor de Ricci, ambos os quais podem ser definidos para qualquer conexão afim , a curvatura escalar requer uma métrica de algum tipo. A métrica pode ser pseudo-Riemanniana em vez de Riemanniana. Na verdade, tal generalização é vital para a teoria da relatividade. De forma mais geral, o tensor de Ricci pode ser definido em uma classe mais ampla de geometrias métricas (por meio da interpretação geométrica direta, abaixo) que inclui a geometria de Finsler .

Interpretação geométrica direta

Quando a curvatura escalar é positiva em um ponto, o volume de uma pequena bola em torno do ponto tem menor volume do que uma bola de mesmo raio no espaço euclidiano. Por outro lado, quando a curvatura escalar é negativa em um ponto, o volume de uma pequena bola é maior do que seria no espaço euclidiano.

Isso pode ser mais quantitativo, a fim de caracterizar o valor preciso da curvatura escalar S em um ponto p de uma variedade n Riemanniana . A saber, a razão do volume n- dimensional de uma bola de raio ε na variedade para aquela de uma bola correspondente no espaço euclidiano é dada, para ε pequeno, por ${\ displaystyle (M, g)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Vol} (B _ {\ varepsilon} (p) \ subconjunto M)} {\ operatorname {Vol} \ left (B _ {\ varejpsilon} (0) \ subset {\ mathbb {R }} ^ {n} \ right)}} = 1 - {\ frac {S} {6 (n + 2)}} \ varepsilon ^ {2} + O \ left (\ varepsilon ^ {4} \ right). }$

Assim, a segunda derivada dessa razão, avaliada no raio ε  = 0, é exatamente menos a curvatura escalar dividida por 3 ( n  + 2).

Os limites dessas bolas são esferas de raio com ( n  - 1) dimensões ; suas medidas de hipersuperfície ("áreas") satisfazem a seguinte equação: ${\ displaystyle \ varepsilon}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {Área} (\ parcial B _ {\ varepsilon} (p) \ subconjunto M)} {\ operatorname {Área} (\ parcial B _ {\ varejpsilon} (0) \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n})}} = 1 - {\ frac {S} {6n}} \ varepsilon ^ {2} + O \ left (\ varejpsilon ^ {4} \ right).}$

Casos especiais

Superfícies

Em duas dimensões, a curvatura escalar é exatamente o dobro da curvatura gaussiana. Para uma superfície embutida no espaço euclidiano R ³ , isso significa que

${\ displaystyle S = {\ frac {2} {\ rho _ {1} \ rho _ {2}}} \,}$

onde estão os principais raios da superfície. Por exemplo, a curvatura escalar da esfera 2 de raio r é igual a 2 / r ² . ${\ displaystyle \ rho _ {1}, \, \ rho _ {2}}$

O tensor de curvatura de Riemann bidimensional possui apenas um componente independente e pode ser expresso em termos da curvatura escalar e forma da área métrica. Ou seja, em qualquer sistema de coordenadas, um tem

${\ displaystyle 2R_ {1212} \, = S \ det (g_ {ij}) = S \ left [g_ {11} g_ {22} - (g_ {12}) ^ {2} \ right].}$

Formas espaciais

Uma forma espacial é, por definição, uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante. As formas espaciais são localmente isométricas para um dos seguintes tipos:

Espaço euclidiano

O tensor de Riemann de um espaço euclidiano n- dimensional desaparece de forma idêntica, então a curvatura escalar também.

n -esferas

A curvatura seccional de uma esfera n de raio r é K  = 1 / r ² . Logo, a curvatura escalar é S  =  n ( n  - 1) / r ² .

Espaço hiperbólico

Pelo modelo hiperbolóide , um espaço hiperbólico n- dimensional pode ser identificado com o subconjunto do espaço de Minkowski ( n  + 1) -dimensional

${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} -x_ {1} ^ {2} - \ cdots -x_ {n} ^ {2} = r ^ {2}, \ quad x_ {0}> 0.}$

O parâmetro r é uma invariante geométrica do espaço hiperbólico e a curvatura seccional é K  = −1 / r ² . A curvatura escalar é, portanto, S  = - n ( n  - 1) / r ² .

Produtos

A curvatura escalar de um produto M × N de variedades Riemannianas é a soma das curvaturas escalares de M e N . Por exemplo, para qualquer variedade fechada suave M , M × S ² tem uma métrica de curvatura escalar positiva, simplesmente tomando a 2-esfera como pequena em comparação com M (de modo que sua curvatura seja grande). Este exemplo pode sugerir que a curvatura escalar tem pouca relação com a geometria global de uma variedade. Na verdade, ele tem algum significado global, conforme discutido abaixo .

Notação tradicional

Entre aqueles que usam notação de índice para tensores, é comum usar a letra R para representar três coisas diferentes:

1. o tensor de curvatura de Riemann: ou${\ displaystyle R_ {ijk} ^ {l}}$${\ displaystyle R_ {abcd}}$
2. o tensor de Ricci: ${\ displaystyle R_ {ij}}$
3. a curvatura escalar: ${\ displaystyle R}$

Esses três são então diferenciados uns dos outros por seu número de índices: o tensor de Riemann tem quatro índices, o tensor de Ricci tem dois índices e o escalar de Ricci tem índices zero. Aqueles que não usam uma notação de índice geralmente reservam R para todo o tensor de curvatura de Riemann. Alternativamente, em uma notação livre de coordenadas, pode-se usar Riem para o tensor de Riemann, Ric para o tensor de Ricci e R para o escalar de curvatura.

Problema de Yamabe

O problema de Yamabe foi resolvido por Trudinger , Aubin e Schoen. Ou seja, cada métrica Riemanniana em uma variedade fechada pode ser multiplicada por alguma função positiva suave para obter uma métrica com curvatura escalar constante. Em outras palavras, toda métrica em uma variedade fechada é conforme a uma com curvatura escalar constante.

Curvatura escalar positiva

Para um Riemannianos 2-colector fechado M , a curvatura escalar tem uma relação clara com a topologia de H , expressa pela Gauss-Bonnet : a curvatura total escalar de M é igual a 4 pi vezes a característica de Euler de M . Por exemplo, as únicas superfícies fechadas com métricas de curvatura escalar positiva são aquelas com característica de Euler positiva: a esfera S ² e RP ² . Além disso, essas duas superfícies não têm métricas com curvatura escalar ≤ 0.

O sinal da curvatura escalar tem uma relação mais fraca com a topologia em dimensões superiores. Dada uma variedade fechada liso M de dimensão, pelo menos 3, Kazdan e Warner resolveu o problema curvatura escalar prescrito , descrevendo quais funções suaves sobre M surgir como a curvatura escalar de alguns métrica Riemannianos em H . Ou seja, M deve ser exatamente um dos três tipos a seguir:

1. Cada função em M é a curvatura escalar de alguma métrica M .
2. Uma função em M é a curvatura escalar de alguma métrica em M se e somente se for idêntica a zero ou negativa em algum lugar.
3. Uma função em M é a curvatura escalar de alguma métrica em M se e somente se for negativa em algum lugar.

Assim, toda variedade de dimensão de pelo menos 3 tem uma métrica com curvatura escalar negativa, na verdade, curvatura escalar negativa constante. O resultado de Kazdan-Warner concentra a atenção na questão de quais variedades têm uma métrica com curvatura escalar positiva, que é equivalente à propriedade (1). O caso limítrofe (2) pode ser descrito como a classe de variedades com uma métrica escalar-plana fortemente , ou seja, uma métrica com curvatura escalar zero, de modo que M não tem métrica com curvatura escalar positiva.

Muito se sabe sobre quais variedades fechadas suaves têm métricas com curvatura escalar positiva. Em particular, por Gromov e Lawson , cada variedade simplesmente conectada de dimensão pelo menos 5 que não é spin tem uma métrica com curvatura escalar positiva. Em contraste, Lichnerowicz mostrou que uma variedade de spin com curvatura escalar positiva deve ter  gênero igual a zero. Hitchin mostrou que uma versão mais refinada do gênero Â, o invariante α , também desaparece para variedades de spin com curvatura escalar positiva. Isso só é não trivial em algumas dimensões, porque o α-invariante de uma n- variedade assume valores no grupo KO _n , listados aqui:

n (mod 8)	0	1	2	3	4	5	6	7
KO n	Z	Z / 2	Z / 2	0	Z	0	0	0

Por outro lado, Stolz mostrou que toda variedade de spin simplesmente conectada de dimensão pelo menos 5 com zero invariante α tem uma métrica com curvatura escalar positiva.

O argumento de Lichnerowicz usando o operador de Dirac foi estendido para fornecer muitas restrições sobre variedades não simplesmente conectadas com curvatura escalar positiva, por meio da teoria K das álgebras C * . Por exemplo, Gromov e Lawson mostraram que uma variedade fechada que admite uma métrica com curvatura seccional ≤ 0, como um toro , não possui métrica com curvatura escalar positiva. Mais geralmente, a parte da injetividade da conjectura de Baum-Connes para um grupo G , que é conhecida em muitos casos, implicaria que uma variedade asférica fechada com grupo fundamental G não tem métrica com curvatura escalar positiva.

Existem resultados especiais nas dimensões 3 e 4. Após o trabalho de Schoen, Yau, Gromov e Lawson, a prova de Perelman do teorema da geometrização levou a uma resposta completa na dimensão 3: uma variedade 3 orientável fechada tem uma métrica com positivo curvatura escalar se e somente se for uma soma conectada de 3-variedades esféricas e cópias de S ²  ×  S ¹ . Na dimensão 4, a curvatura escalar positiva tem implicações mais fortes do que em dimensões mais altas (mesmo para variedades simplesmente conectadas), usando os invariantes de Seiberg-Witten . Por exemplo, se X é uma variedade Kähler compacta de dimensão complexa 2 que não é racional ou governada , então X (como uma variedade 4 lisa) não tem nenhuma métrica Riemanniana com curvatura escalar positiva.

Finalmente, Akito Futaki mostrou que métricas fortemente escalares planas (conforme definido acima) são extremamente especiais. Para uma variedade Riemanniana simplesmente conectada M de dimensão pelo menos 5 que é fortemente escalar-plana, M deve ser um produto de variedades Riemannianas com grupo de holonomia SU ( n ) ( variedades Calabi – Yau ), Sp ( n ) ( variedades hyperkähler ), ou Spin (7). Em particular, essas métricas são planas de Ricci, não apenas planas escalares. Por outro lado, existem exemplos de variedades com esses grupos de holonomia, como a superfície K3 , que são spin e têm invariante α diferente de zero, portanto, são fortemente escalares planas.

Veja também

• Introdução básica à matemática do espaço-tempo curvo
• Invariante de yamabe
• Escalar de Kretschmann
• Teorema de Vermeil

Notas

Referências

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein Manifolds , Springer , ISBN 3-540-15279-2, MR  0867684
• Jost, Jürgen (2011) [1995], Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Springer , ISBN 978-3-642-21297-0, MR  2829653
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5, MR  1031992
• LeBrun, Claude (1999), "Kodaira dimension and the Yamabe problem", Communications in Analysis and Geometry , 7 : 133-156, arXiv : dg-ga / 9702012 , doi : 10.4310 / CAG.1999.v7.n1.a5 , MR  1674105 , S2CID  7223836
• Marques, Fernando Codá (2012), "Deforming three-manifolds with positive escalar curvature", Annals of Mathematics , 176 (2): 815-863, arXiv : 0907.2444 , doi : 10.4007 / annals.2012.176.2.3 , MR  2950765 , S2CID  16528231
• Petersen, Peter (2016) [1998], Riemannian Geometry , Springer , ISBN 978-3-319-26652-7, MR  3469435
• Ricci, G. (1903–1904), "Direzioni e invarianti principali em una varietà qualunque" , Atti R. Inst. Veneto , 63 (2): 1233–1239, JFM  35.0145.01
• Stolz, Stephen (2002), "Manifolds of positive escalar curvature" (PDF) , Topology of High-Dimensional Manifolds , Trieste: ICTP , pp. 661-709, MR  1937026