Parte primitiva e conteúdo - Primitive part and content

Em álgebra , o conteúdo de um polinômio com coeficientes inteiros (ou, mais geralmente, com coeficientes em um domínio de fatoração único ) é o maior divisor comum de seus coeficientes. A parte primitiva de tal polinômio é o quociente do polinômio por seu conteúdo. Assim, um polinômio é o produto de sua parte primitiva e seu conteúdo, e essa fatoração é única até a multiplicação do conteúdo por uma unidade do anel dos coeficientes (e a multiplicação da parte primitiva pelo inverso da unidade) .

Um polinômio é primitivo se seu conteúdo é igual a 1. Assim, a parte primitiva de um polinômio é um polinômio primitivo.

O lema de Gauss para polinômios afirma que o produto de polinômios primitivos (com coeficientes no mesmo domínio de fatoração único) também é primitivo. Isso implica que o conteúdo e a parte primitiva do produto de dois polinômios são, respectivamente, o produto do conteúdo e o produto das partes primitivas.

Como o cálculo dos maiores divisores comuns é geralmente muito mais fácil do que a fatoração polinomial , a primeira etapa de um algoritmo de fatoração polinomial é geralmente o cálculo de sua fatoração de conteúdo de parte primitiva (consulte Fatoração de polinômios § Fatorização de conteúdo de parte primitiva ). Então, o problema de fatoração é reduzido para fatorar separadamente o conteúdo e a parte primitiva.

O conteúdo e a parte primitiva podem ser generalizados para polinômios sobre os números racionais e, mais geralmente, para polinômios sobre o campo de frações de um domínio de fatoração único. Isso torna essencialmente equivalentes os problemas de computação dos maiores divisores comuns e fatoração de polinômios sobre os inteiros e de polinômios sobre os números racionais.

Sobre os inteiros

Para um polinômio com coeficientes inteiros, o conteúdo pode ser o maior divisor comum dos coeficientes ou seu inverso aditivo . A escolha é arbitrária e pode depender de outra convenção, que normalmente é a de que o coeficiente líder da parte primitiva seja positivo.

Por exemplo, o conteúdo de pode ser 2 ou –2, já que 2 é o maior divisor comum de –12, 30 e -20. Se alguém escolher 2 como o conteúdo, a parte primitiva deste polinômio é ${\ displaystyle -12x ^ {3} + 30x-20}$

${\ displaystyle -6x ^ {3} + 15x-10 = {\ frac {-12x ^ {3} + 30x-20} {2}},}$

- e, portanto, a fatoração do conteúdo da parte primitiva é

${\ displaystyle -12x ^ {3} + 30x-20 = 2 (-6x ^ {3} + 15x-10).}$

Por razões estéticas, muitas vezes prefere-se escolher um conteúdo negativo, aqui –2, dando a fatoração do conteúdo da parte primitiva

${\ displaystyle -12x ^ {3} + 30x-20 = -2 (6x ^ {3} -15x + 10).}$

Propriedades

No restante deste artigo, consideramos polinômios sobre um domínio de fatoração único R , que pode ser tipicamente o anel de inteiros ou um anel polinomial sobre um campo . Em R , maiores divisores comuns são bem definidos, e são únicos até a multiplicação por uma unidade de R .

O conteúdo c ( P ) de um polinômio P com coeficientes em R é o maior divisor comum de seus coeficientes e, como tal, é definido até a multiplicação por uma unidade. A parte primitiva pp ( P ) de P é o quociente P / c ( P ) de P por seu conteúdo; é um polinômio com coeficientes em R , que é único até a multiplicação por uma unidade. Se o conteúdo é alterado pela multiplicação por uma unidade u , então a parte primitiva deve ser alterada dividindo-a pela mesma unidade, a fim de manter a igualdade

${\ displaystyle P = c (P) \ operatorname {pp} (P),}$

que é chamado Fatorização-primitivo-parte do conteúdo de P .

As propriedades principais do conteúdo e da parte primitiva são resultados do lema de Gauss , que afirma que o produto de dois polinômios primitivos é primitivo, onde um polinômio é primitivo se 1 é o maior divisor comum de seus coeficientes. Isso implica:

• O conteúdo de um produto de polinômios é o produto de seus conteúdos:

${\ displaystyle c (P_ {1} P_ {2}) = c (P_ {1}) c (P_ {2}).}$

• A parte primitiva de um produto de polinômios é o produto de suas partes primitivas:

${\ displaystyle \ operatorname {pp} (P_ {1} P_ {2}) = \ operatorname {pp} (P_ {1}) \ operatorname {pp} (P_ {2}).}$

• O conteúdo de um maior divisor comum de polinômios é o maior divisor comum (em R ) de seus conteúdos:

${\ displaystyle c (\ operatorname {gcd} (P_ {1}, P_ {2})) = \ operatorname {gcd} (c (P_ {1}), c (P_ {2})).}$

• A parte primitiva de um maior divisor comum de polinômios é o maior divisor comum (em R ) de suas partes primitivas:

${\ displaystyle \ operatorname {pp} (\ operatorname {gcd} (P_ {1}, P_ {2})) = \ operatorname {gcd} (\ operatorname {pp} (P_ {1}), \ operatorname {pp} (P_ {2})).}$

• A fatoração completa de um polinômio sobre R é o produto da fatoração (em R ) do conteúdo e da fatoração (no anel do polinômio) da parte primitiva.

A última propriedade implica que o cálculo da fatoração de conteúdo da parte primitiva de um polinômio reduz o cálculo de sua fatoração completa à fatoração separada do conteúdo e da parte primitiva. Isso é geralmente interessante, porque o cálculo da fatoração do conteúdo da parte principal envolve apenas o cálculo do maior divisor comum em R , que geralmente é muito mais fácil do que a fatoração.

Sobre os racionais

A fatoração de conteúdo de parte primitiva pode ser estendida a polinômios com coeficientes racionais como segue.

Dado um polinômio P com coeficientes racionais, ao reescrever seus coeficientes com o mesmo denominador comum d , pode-se reescrever P como

${\ displaystyle P = {\ frac {Q} {d}},}$

onde Q é um polinômio com coeficientes inteiros. O conteúdo de P é o quociente por d do conteúdo de Q , ou seja

${\ displaystyle c (P) = {\ frac {c (Q)} {d}},}$

e a parte primitiva de P é a parte primitiva de Q :

${\ displaystyle \ operatorname {pp} (P) = \ operatorname {pp} (Q).}$

É fácil mostrar que esta definição não depende da escolha do denominador comum, e que a fatoração do conteúdo da parte primitiva permanece válida:

${\ displaystyle P = c (P) \ operatorname {pp} (P).}$

Isso mostra que todo polinômio sobre os racionais está associado a um polinômio primitivo único sobre os inteiros, e que o algoritmo euclidiano permite o cálculo desse polinômio primitivo.

Uma consequência é que fatorar polinômios sobre os racionais é equivalente a fatorar polinômios primitivos sobre inteiros. Como polinômios com coeficientes em um campo são mais comuns do que polinômios com coeficientes inteiros, pode parecer que essa equivalência pode ser usada para fatorar polinômios com coeficientes inteiros. Na verdade, a verdade é exatamente o oposto: todo algoritmo eficiente conhecido para fatorar polinômios com coeficiente racional usa essa equivalência para reduzir o módulo do problema de algum número primo p (consulte Fatoração de polinômios ).

Essa equivalência também é usada para calcular os maiores divisores comuns de polinômios, embora o algoritmo euclidiano seja definido para polinômios com coeficientes racionais. Na verdade, neste caso, o algoritmo euclidiano requer que se calcule a forma reduzida de muitas frações, e isso torna o algoritmo euclidiano menos eficiente do que algoritmos que funcionam apenas com polinômios sobre inteiros (ver maior divisor comum polinomial ).

Sobre um campo de frações

Os resultados da secção anterior permanecem válidas se o anel de números inteiros e o campo de racionais são respectivamente substituídos por qualquer único domínio fatoração R e o seu campo de fracções K .

Isso é normalmente usado para fatorar polinômios multivariados e para provar que um anel polinomial sobre um domínio de fatoração único também é um domínio de fatoração único.

Propriedade única de fatoração de anéis polinomiais

Um anel polinomial sobre um campo é um domínio de fatoração único. O mesmo é verdade para um anel polinomial sobre um domínio de fatoração único. Para prová-lo, basta considerar o caso univariado , pois o caso geral pode ser deduzido por uma recorrência sobre o número de indeterminados.

A propriedade de fatoração única é uma consequência direta do lema de Euclides : se um elemento irredutível divide um produto, então ele divide um dos fatores. Para polinômios univariados sobre um campo, isso resulta da identidade de Bézout , que por sua vez resulta do algoritmo euclidiano .

Então, deixe- R ser um domínio fatorial, que não é um campo, e R [ X ] a uni anel de polinômios sobre R . Um elemento irredutível r em R [ X ] é um elemento irredutível em R ou um polinômio primitivo irredutível.

Se r está em R e divide um produto de dois polinômios, então ele divide o conteúdo. Assim, pelo lema de Euclides em R , ele divide um dos conteúdos e, portanto, um dos polinômios. ${\ displaystyle P_ {1} P_ {2}}$${\ displaystyle c (P_ {1} P_ {2}) = c (P_ {1}) c (P_ {2}).}$

Se r não for R , é um polinômio primitivo (porque é irredutível). Então lema de Euclides em R [ X ] resultados imediatamente do Lema de Euclides em K [ X ] , em que K é o domínio das fracções de R .

Fatoração de polinômios multivariados

Para fatorar um polinômio multivariado sobre um campo ou sobre os inteiros, pode-se considerá-lo como um polinômio univariado com coeficientes em um anel polinomial com um menos indeterminado. Então, a fatoração é reduzida a fatorar separadamente a parte primitiva e o conteúdo. Como o conteúdo tem um indeterminado a menos, ele pode ser fatorado aplicando o método recursivamente . Para fatorar a parte primitiva, o método padrão consiste em substituir inteiros pelos indeterminados dos coeficientes de uma forma que não altere o grau na variável remanescente, fatorar o polinômio univariado resultante e elevar o resultado para uma fatoração da parte primitiva .

Veja também

• Teorema da raiz racional

Referências

• B. Hartley ; PARA Hawkes (1970). Anéis, módulos e álgebra linear . Chapman e Hall. ISBN 0-412-09810-5.
• Página 181 de Lang, Serge (1993), Algebra (Terceira ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• David Sharpe (1987). Anéis e fatoração . Cambridge University Press . pp.  68–69 . ISBN 0-521-33718-6.