Fluxo de canal aberto - Open-channel flow

O escoamento em canal aberto , um ramo da hidráulica e da mecânica dos fluidos , é um tipo de escoamento de líquido dentro de um conduíte ou em canal com superfície livre, conhecido como canal . O outro tipo de fluxo dentro de um conduíte é o fluxo de tubo . Esses dois tipos de fluxo são semelhantes em muitos aspectos, mas diferem em um aspecto importante: a superfície livre. O fluxo em canal aberto tem uma superfície livre , enquanto o fluxo em tubo não tem.

Classificações de fluxo

O fluxo de canal aberto pode ser classificado e descrito de várias maneiras com base na mudança na profundidade do fluxo em relação ao tempo e ao espaço. Os tipos fundamentais de fluxo tratados na hidráulica de canal aberto são:

• Tempo como critério
  • Fluxo constante
    • A profundidade do fluxo não muda com o tempo, ou se pode ser considerada constante durante o intervalo de tempo em consideração.
  • Fluxo instável
    • A profundidade do fluxo muda com o tempo.
• O espaço como critério
  • Fluxo uniforme
    • A profundidade do fluxo é a mesma em todas as seções do canal. O fluxo uniforme pode ser constante ou instável, dependendo se a profundidade muda ou não com o tempo (embora o fluxo uniforme instável seja raro).
  • Fluxo variado
    • A profundidade do fluxo muda ao longo do comprimento do canal. O fluxo variado tecnicamente pode ser estável ou instável. O fluxo variado pode ainda ser classificado como de variação rápida ou gradual:
      • Fluxo rapidamente variado
        • A profundidade muda abruptamente em uma distância comparativamente curta. O fluxo rapidamente variado é conhecido como um fenômeno local. Exemplos são o salto hidráulico e a queda hidráulica .
      • Fluxo gradualmente variado
        • A profundidade muda ao longo de uma longa distância.
  • Fluxo contínuo
    • A descarga é constante em todo o alcance do canal em consideração. Isso geralmente acontece com um fluxo constante. Este fluxo é considerado contínuo e, portanto, pode ser descrito usando a equação de continuidade para fluxo estável contínuo.
  • Fluxo espacialmente variado
    • A descarga de um fluxo constante não é uniforme ao longo de um canal. Isso acontece quando a água entra e / ou sai do canal ao longo do curso do fluxo. Um exemplo de fluxo entrando em um canal seria uma sarjeta ao lado da estrada. Um exemplo de fluxo que sai de um canal seria um canal de irrigação. Este fluxo pode ser descrito usando a equação de continuidade para fluxo contínuo instável requer a consideração do efeito do tempo e inclui um elemento de tempo como uma variável.

Estados de fluxo

O comportamento do escoamento em canal aberto é governado pelos efeitos da viscosidade e da gravidade em relação às forças inerciais do escoamento. A tensão superficial tem uma contribuição menor, mas não desempenha um papel significativo o suficiente na maioria das circunstâncias para ser um fator determinante. Devido à presença de uma superfície livre, a gravidade é geralmente o impulsionador mais significativo do fluxo em canal aberto; portanto, a proporção das forças inerciais para a gravidade é o parâmetro adimensional mais importante. O parâmetro é conhecido como número de Froude e é definido como:

onde é a velocidade média, é a escala de comprimento característica para a profundidade de um canal e é a aceleração gravitacional . Dependendo do efeito da viscosidade em relação à inércia, conforme representado pelo número de Reynolds , o fluxo pode ser laminar , turbulento ou transicional . No entanto, é geralmente aceitável assumir que o número de Reynolds é suficientemente grande para que as forças viscosas possam ser desprezadas. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle g}$

Equações centrais

É possível formular equações que descrevem três leis de conservação para quantidades que são úteis no fluxo de canal aberto: massa, momento e energia. As equações governantes resultam da consideração da dinâmica do

campo vetorial de velocidade de fluxo com componentes . Nas coordenadas cartesianas , esses componentes correspondem à velocidade do fluxo nos eixos x, y e z, respectivamente. ${\ displaystyle {\ bf {v}}}$${\ displaystyle {\ bf {v}} = {\ begin {pmatrix} u & v & w \ end {pmatrix}} ^ {T}}$

Para simplificar a forma final das equações, é aceitável fazer várias suposições:

1. O fluxo é incompressível (esta não é uma boa suposição para fluxo variado rapidamente)
2. O número de Reynolds é suficientemente grande para que a difusão viscosa possa ser desprezada
3. O fluxo é unidimensional no eixo x

Equação de continuidade

A equação geral de

continuidade , que descreve a conservação da massa, assume a forma:

$${\ displaystyle {\ partial \ rho \ over {\ partial t}} + \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) = 0}$$

onde é a densidade do fluido e é o operador de divergência . Partindo do pressuposto de um fluxo incompressível, com um volume de controle constante , esta equação tem a expressão simples . No entanto, é possível que a área da seção transversal possa mudar com o tempo e o espaço no canal. Se começarmos da forma integral da equação de continuidade:${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ nabla \ cdot ()}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ bf {v}} = 0}$ ${\ displaystyle A}$

$${\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {V} \ rho \; dV = - \ int _ {V} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dV}$$

é possível decompor o volume integral em uma seção transversal e comprimento, o que leva à forma:

$${\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} \ rho \; dA \ right) dx = - \ int _ {x} \ left [\ int _ { A} \ nabla \ cdot (\ rho {\ bf {v}}) \; dA \ right] dx}$$

Partindo do pressuposto de fluxo 1D incompressível, esta equação torna-se:

$${\ displaystyle {d \ over {dt}} \ int _ {x} \ left (\ int _ {A} dA \ right) dx = - \ int _ {x} {\ partial \ over {\ partial x}} \ left (\ int _ {A} u \; dA \ right) dx}$$

Ao observar isso e definir a taxa de fluxo volumétrico , a equação é reduzida a:${\ displaystyle \ int _ {A} dA = A}$ ${\ displaystyle Q = \ int _ {A} u \; dA}$

$${\ displaystyle \ int _ {x} {\ partial A \ over {\ partial t}} \; dx = - \ int _ {x} {\ parcial Q \ over {\ partial x}} dx}$$

Finalmente, isso leva à equação de continuidade para fluxo de canal aberto 1D incompressível:

$${\ displaystyle {\ parcial A \ over {\ parcial t}} + {\ parcial Q \ over {\ parcial x}} = 0}$$

Equação de momentum

A equação de momento para o fluxo de canal aberto pode ser encontrada a partir das equações incompressíveis de Navier-Stokes  :

$${\ displaystyle \ overbrace {\ underbrace {\ parcial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Local}} \\ {\ text {Change}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {{\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}} _ {\ text {Advection}}} ^ {\ text {Inertial Acceleration}} = - \ underbrace {{1 \ over {\ rho}} \ nabla p} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Pressure}} \\ {\ text {Gradiente}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ nu \ Delta {\ bf {v}}} _ {\ text {Difusão}} - \ underbrace {\ nabla \ Phi} _ {\ text {Gravidade}} + \ underbrace {\ bf {F}} _ {\ begin {smallmatrix } {\ text {Externo}} \\ {\ text {Forças}} \ end {smallmatrix}}}$$

onde é a pressão , é a viscosidade cinemática , é o operador de Laplace e é o potencial gravitacional . Invocando o alto número de Reynolds e as suposições de fluxo 1D, temos as equações:${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Phi = gz}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {\ parcial u \ over {\ parcial t}} + u {\ parcial u \ over {\ parcial x}} & = - {1 \ over {\ rho}} {\ parcial p \ over {\ partial x}} + F_ {x} \\ - {1 \ over {\ rho}} {\ partial p \ over {\ partial z}} - g & = 0 \ end {alinhados}}}$$

A segunda equação implica uma pressão hidrostática , onde a profundidade do canal é a diferença entre a elevação da superfície livre e o fundo do canal . A substituição na primeira equação dá:${\ displaystyle p = \ rho g \ zeta}$${\ displaystyle \ eta (t, x) = \ zeta (t, x) -z_ {b} (x)}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle z_ {b}}$

$${\ displaystyle {\ parcial u \ over {\ partial t}} + u {\ parcial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ zeta \ over {\ partial x}} = F_ {x} \ implica {\ parcial u \ sobre {\ parcial t}} + u {\ parcial u \ sobre {\ parcial x}} + g {\ parcial \ eta \ sobre {\ parcial x}} - gS = F_ {x}}$$

onde a inclinação do leito do canal . Para contabilizar a tensão de cisalhamento ao longo das margens do canal, podemos definir o termo de força como:${\ displaystyle S = -dz_ {b} / dx}$

$${\ displaystyle F_ {x} = - {1 \ over {\ rho}} {\ tau \ over {R}}}$$

onde está a tensão de cisalhamento e é o raio hidráulico . Definir a inclinação do atrito , uma forma de quantificar as perdas por atrito, leva à forma final da equação de momento:${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S_ {f} = \ tau / \ rho gR}$

$${\ displaystyle {\ parcial u \ over {\ partial t}} + u {\ parcial u \ over {\ partial x}} + g {\ partial \ eta \ over {\ partial x}} + g (S_ {f } -S) = 0}$$

Equação de energia

Para derivar uma equação de energia , observe que o termo de aceleração advectiva pode ser decomposto como:${\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}}}$

$${\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot \ nabla {\ bf {v}} = \ omega \ times {\ bf {v}} + {1 \ over {2}} \ nabla \ | {\ bf { v}} \ | ^ {2}}$$

onde está a vorticidade do fluxo e é a norma euclidiana . Isso leva a uma forma de equação de momento, ignorando o termo de forças externas, dado por:${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

$${\ displaystyle {\ partial {\ bf {v}} \ over {\ partial t}} + \ omega \ times {\ bf {v}} = - \ nabla \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right)}$$

Tirar o produto escalar de com esta equação leva a:${\ displaystyle {\ bf {v}}}$

$${\ displaystyle {\ partial \ over {\ partial t}} \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} \ right) + {\ bf {v} } \ cdot \ nabla \ left ({1 \ over {2}} \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2} + {p \ over {\ rho}} + \ Phi \ right) = 0}$$

Esta equação foi obtida usando o produto escalar triplo . Defina como a densidade de energia :${\ displaystyle {\ bf {v}} \ cdot (\ omega \ times {\ bf {v}}) = 0}$${\ displaystyle E}$

$${\ displaystyle E = \ underbrace {{1 \ over {2}} \ rho \ | {\ bf {v}} \ | ^ {2}} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Kinetic}} \\ {\ text {Energia}} \ end {smallmatrix}} + \ underbrace {\ rho \ Phi} _ {\ begin {smallmatrix} {\ text {Potencial}} \\ {\ text {Energia}} \ end {smallmatrix} }}$$

Observando que é independente do tempo, chegamos à equação:${\ displaystyle \ Phi}$

$${\ displaystyle {\ partial E \ over {\ partial t}} + {\ bf {v}} \ cdot \ nabla (E + p) = 0}$$

Assumindo que a densidade de energia é independente do tempo e o fluxo é unidimensional leva à simplificação:

$${\ displaystyle E + p = C}$$

com ser uma constante; isso é equivalente ao princípio de Bernoulli . De particular interesse no fluxo de canal aberto é a energia específica , que é usada para calcular a carga hidráulica que é definida como:${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle e = E / \ rho g}$ ${\ displaystyle h}$

$${\ displaystyle {\ begin {alinhados} h & = e + {p \ over {\ rho g}} \\ & = {u ^ {2} \ over {2g}} + z + {p \ over {\ gamma}} \ fim {alinhado}}}$$

com sendo o peso específico . No entanto, os sistemas realistas requerem a adição de um termo de perda de carga para contabilizar a dissipação de energia devido ao atrito e turbulência que foi ignorado descontando o termo de forças externas na equação de momento.${\ displaystyle \ gamma = \ rho g}$${\ displaystyle h_ {f}}$

Veja também

• HEC-RAS
• Streamflow
• Campos de estudo
  • Dinâmica de fluidos computacional
  • Dinâmica de fluidos
  • Hidráulica
  • Hidrologia
• Tipos de fluxo de fluido
  • Fluxo laminar
  • Fluxo de tubulação
  • Fluxo de transição
  • Fluxo turbulento
• Propriedades do fluido
  • Número Froude
  • Número de Reynolds
  • Viscosidade
• Outros artigos relacionados
  • Fórmula chézy
  • Equação de Darcy-Weisbach
  • Salto hidráulico
  • Fórmula de Manning
  • Equações de Saint-Venant
  • Método de passo padrão

Referências

1. ^ Comida, Ven Te (2008). Hidráulica de canal aberto (PDF) . Caldwell, NJ: The Blackburn Press. ISBN 978-1932846188.
2. ^ Battjes, Jurjen A .; Labeur, Robert Jan (2017). Fluxo instável em canais abertos . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 9781316576878.
3. ^ Jobson, Harvey E .; Froehlich, David C. (1988). Princípios Hidráulicos Básicos de Fluxo de Canal Aberto (PDF) . Reston, VA: US Geological Survey.
4. ^ ^{a b} Sturm, Terry W. (2001). Hidráulica de canal aberto (PDF) . New York, NY: McGraw-Hill. p. 2. ISBN 9780073397870.

Leitura adicional

• Nezu, Iehisa; Nakagawa, Hiroji (1993). Turbulência em fluxos de canal aberto . Monografia IAHR. Rotterdam, NL: AA Balkema. ISBN  9789054101185 .
• Syzmkiewicz, Romuald (2010). Modelagem Numérica em Hidráulica de Canal Aberto . Biblioteca de Ciência e Tecnologia da Água. New York, NY: Springer. ISBN  9789048136735 .

links externos

• Notas de aula do

Caltech :

• Derivação das Equações de Fluxo de Canal Aberto
• Perfis de superfície para fluxo de canal estável

Fluxo de canal aberto

Conceitos de fluxo de canal aberto

O que é um salto hidráulico?

Exemplo de fluxo de canal aberto

Simulação de fluxos turbulentos (p. 26-38)