Limite unilateral - One-sided limit
No cálculo , um limite unilateral é um dos dois limites de uma função f ( x ) de uma variável real x quando x se aproxima de um ponto especificado da esquerda ou da direita.
O limite como x diminui em valor que se aproxima um ( x se aproxima de um "da direita" ou "de cima") pode ser indicado:
- ou ou ou
O limite como x aumentos no valor aproximando de um ( x se aproxima de um "da esquerda" ou "de baixo") pode ser indicado:
- ou ou ou
Na teoria da probabilidade , é comum usar a notação curta:
- para o limite esquerdo e para o limite direito.
Os dois limites unilaterais existem e são iguais se o limite de f ( x ) quando x se aproxima de a existe. Em alguns casos em que o limite
não existe, os dois limites unilaterais, no entanto, existem. Conseqüentemente, o limite quando x se aproxima de a às vezes é chamado de "limite bilateral".
Em alguns casos, um dos dois limites unilaterais existe e o outro não e, em alguns casos, nem existe.
O limite do lado direito pode ser rigorosamente definido como
e o limite do lado esquerdo pode ser rigorosamente definido como
onde I representa algum intervalo que está dentro do domínio de f .
Exemplos
Um exemplo de uma função com diferentes limites unilaterais é o seguinte (cf. imagem):
enquanto
Relação com a definição topológica de limite
O limite unilateral a um ponto p corresponde à definição geral de limite , com o domínio da função restrito a um lado, seja por permitir que o domínio da função seja um subconjunto do espaço topológico, seja por considerar um espaço unilateral subespaço, incluindo p . Alternativamente, pode-se considerar o domínio com uma topologia de intervalo semiaberto .
Teorema de Abel
Um teorema digno de nota que trata dos limites unilaterais de certas séries de potências nos limites de seus intervalos de convergência é o teorema de Abel .