Sistema não holonômico - Nonholonomic system

Um sistema não holonômico em física e matemática é um sistema físico cujo estado depende do caminho percorrido para alcançá-lo. Tal sistema é descrito por um conjunto de parâmetros sujeitos a restrições diferenciais , de modo que quando o sistema evolui ao longo de um caminho em seu espaço de parâmetros (os parâmetros variando continuamente em valores), mas finalmente retorna ao conjunto original de valores de parâmetros no início de o caminho, o próprio sistema pode não ter retornado ao seu estado original.

Detalhes

Mais precisamente, um sistema não holonômico, também chamado de sistema anholonômico , é aquele em que existe um circuito fechado contínuo dos parâmetros governantes, pelo qual o sistema pode ser transformado de qualquer estado dado para qualquer outro estado. Como o estado final do sistema depende dos valores intermediários de sua trajetória através do espaço de parâmetros, o sistema não pode ser representado por uma função potencial conservadora como pode, por exemplo, a lei do quadrado inverso da força gravitacional. Este último é um exemplo de um sistema holonômico: integrais de caminho no sistema dependem apenas dos estados inicial e final do sistema (posições no potencial), completamente independentes da trajetória de transição entre esses estados. O sistema é, portanto, considerado integrável , enquanto o sistema não holonômico é considerado não integrável . Quando uma integral de caminho é calculada em um sistema não holonômico, o valor representa um desvio dentro de alguma faixa de valores admissíveis e esse desvio é considerado uma anolonomia produzida pelo caminho específico em consideração. Este termo foi introduzido por Heinrich Hertz em 1894.

O caráter geral dos sistemas anholonômicos é o de parâmetros implicitamente dependentes. Se a dependência implícita pode ser removida, por exemplo, aumentando a dimensão do espaço, adicionando assim pelo menos um parâmetro adicional, o sistema não é verdadeiramente não holonômico, mas é simplesmente modelado de forma incompleta pelo espaço de dimensão inferior. Em contraste, se o sistema intrinsecamente não pode ser representado por coordenadas independentes (parâmetros), então é realmente um sistema anholonômico. Alguns autores fazem muito disso criando uma distinção entre os chamados estados internos e externos do sistema, mas na verdade, todos os parâmetros são necessários para caracterizar o sistema, sejam eles representativos de processos "internos" ou "externos", portanto, o a distinção é de fato artificial. No entanto, há uma diferença muito real e irreconciliável entre os sistemas físicos que obedecem aos princípios de conservação e aqueles que não obedecem. No caso do transporte paralelo em uma esfera, a distinção é clara: uma variedade Riemanniana tem uma métrica fundamentalmente distinta daquela de um espaço euclidiano . Para o transporte paralelo em uma esfera, a dependência implícita é intrínseca à métrica não euclidiana. A superfície de uma esfera é um espaço bidimensional. Ao aumentar a dimensão, podemos ver mais claramente a natureza da métrica, mas ainda é fundamentalmente um espaço bidimensional com parâmetros irremediavelmente entrelaçados na dependência pela métrica Riemanniana .

Em contraste, pode-se considerar uma plotadora XY como um exemplo de sistema holonômico onde o estado dos componentes mecânicos do sistema terá uma única configuração fixa para qualquer posição da caneta plotter. Se a caneta se deslocar entre as posições 0,0 e 3,3, as engrenagens do mecanismo terão as mesmas posições finais, independentemente de a realocação acontecer pelo mecanismo primeiro incrementar 3 unidades no eixo x e, em seguida, 3 unidades no eixo y , incrementando a posição do eixo Y primeiro, ou operando qualquer outra sequência de mudanças de posição que resultem em uma posição final de 3,3. Como o estado final da máquina é o mesmo, independentemente do caminho percorrido pela caneta-plotter para chegar à sua nova posição, pode-se dizer que o resultado final não depende do caminho . Se substituirmos um plotter tartaruga , o processo de mover a caneta de 0,0 a 3,3 pode fazer com que as engrenagens do mecanismo do robô acabem em posições diferentes dependendo do caminho percorrido para se mover entre as duas posições. Veja este exemplo de guindaste de pórtico muito semelhante para uma explicação matemática de por que tal sistema é holonômico.

História

NM Ferrers sugeriu pela primeira vez estender as equações de movimento com restrições não holonômicas em 1871. Ele introduziu as expressões para velocidades cartesianas em termos de velocidades generalizadas. Em 1877, E. Routh escreveu as equações com os multiplicadores de Lagrange. Na terceira edição de seu livro para restrições não holonômicas lineares de corpos rígidos, ele introduziu a forma com multiplicadores, que agora é chamada de equações de Lagrange do segundo tipo com multiplicadores. Os termos sistemas holonômicos e não holonômicos foram introduzidos por Heinrich Hertz em 1894. Em 1897, SA Chaplygin sugeriu pela primeira vez formar as equações de movimento sem multiplicadores de Lagrange. Sob certas restrições lineares, ele introduziu no lado esquerdo das equações de movimento um grupo de termos extras do tipo operador de Lagrange. Os termos extras restantes caracterizam a não-holonomicidade do sistema e tornam-se zero quando as restrições fornecidas são integráveis. Em 1901, PVVoronets generalizou o trabalho de Chaplygin para os casos de coordenadas holonômicas não cíclicas e de restrições não estacionárias.

Restrições

Considere um sistema de partículas com posições em relação a um dado referencial. Na mecânica clássica, qualquer restrição que não seja expressável como ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$${\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, N \}}$

${\ displaystyle f (\ mathbf {r} _ {1}, \ mathbf {r} _ {2}, \ mathbf {r} _ {3}, \ ldots, t) = 0,}$

é uma restrição não holonômica . Em outras palavras, uma restrição não holonômica é não integrável e na forma Pfaffiana :

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {s, i} \, dq_ {i} + a_ {s, t} \, dt = 0 ~~~~ (s = 1,2, \ ldots, k)}$

${\ displaystyle n}$ é o número de coordenadas.

${\ displaystyle k}$ é o número de equações de restrição.

${\ displaystyle q_ {i}}$ são coordenadas.

${\ displaystyle a_ {s, i}}$ são coeficientes.

Para que a forma acima seja não holonômica, também é necessário que o lado esquerdo não seja um diferencial total nem possa ser convertido em um, talvez por meio de um fator de integração .

Apenas para deslocamentos virtuais , a forma diferencial da restrição é

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {s, i} \ delta q_ {i} = 0 ~~~~ (s = 1,2, \ ldots, k).}$

Não é necessário que todas as restrições não holonômicas assumam essa forma; na verdade, pode envolver derivadas ou desigualdades mais altas. Um exemplo clássico de restrição de desigualdade é o de uma partícula colocada na superfície de uma esfera, mas pode cair dela:

${\ displaystyle r ^ {2} -a ^ {2} \ geq 0.}$

${\ displaystyle r}$ é a distância da partícula ao centro da esfera.

${\ displaystyle a}$ é o raio da esfera.

Exemplos

Roda giratória

Uma roda (às vezes visualizada como um monociclo ou uma moeda rolante) é um sistema não holonômico.

Explicação do Layman

Considere a roda de uma bicicleta que está estacionada em um determinado lugar (no solo). Inicialmente, a válvula de enchimento está em uma determinada posição na roda. Se a bicicleta for conduzida e estacionada exatamente no mesmo lugar, a válvula quase certamente não estará na mesma posição de antes. Sua nova posição depende do caminho percorrido. Se a roda fosse holonômica, a haste da válvula sempre terminaria na mesma posição, contanto que a roda fosse sempre girada de volta para o mesmo local na Terra. Claramente, no entanto, esse não é o caso, então o sistema não é holonômico.

Explicação matemática

Um indivíduo andando em um monociclo motorizado. O espaço de configuração do monociclo e o raio da roda são marcados. As linhas vermelhas e azuis estavam no chão. ${\ displaystyle r}$

É possível modelar a roda matematicamente com um sistema de equações de restrição e então provar que esse sistema não é holonômico.

Primeiro, definimos o espaço de configuração. A roda pode mudar seu estado de três maneiras: tendo uma rotação diferente em torno do eixo, tendo um ângulo de direção diferente e estando em um local diferente. Podemos dizer que é a rotação em torno do eixo, é o ângulo de direção em relação ao eixo e define a posição espacial. Assim, o espaço de configuração é: ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} = {\ begin {bmatrix} x & y & \ theta & \ phi \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}}$

Devemos agora relacionar essas variáveis ​​entre si. Notamos que conforme a roda muda sua rotação, ela muda sua posição. A mudança na rotação e na posição que implica velocidades deve estar presente, tentamos relacionar a velocidade angular e o ângulo de direção às velocidades lineares tomando derivadas de tempo simples dos termos apropriados:

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} r {\ dot {\ phi}} \ cos \ theta \\ r {\ dot {\ phi}} \ sin \ theta \ end {array}} \ right)}$

A velocidade na direção é igual à velocidade angular vezes o raio vezes o cosseno do ângulo de direção e a velocidade é semelhante. Agora faremos alguma manipulação algébrica para transformar a equação para a forma Pfaffiana, de forma que seja possível testar se ela é holonômica, começando com: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} {\ dot {x}} - r {\ dot {\ phi}} \ cos \ theta \\ {\ dot {y}} - r {\ dot {\ phi}} \ sin \ theta \ end {array}} \ right) = {\ overrightarrow {0}}}$

Então, vamos separar as variáveis ​​de seus coeficientes (lado esquerdo da equação, derivado de cima). Também percebemos que podemos multiplicar todos os termos por, portanto, acabamos apenas com os diferenciais (lado direito da equação): ${\ displaystyle {\ text {d}} t}$

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} 1 & 0 & 0 & -r \ cos \ theta \\ 0 & 1 & 0 & -r \ sin \ theta \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} { c} {\ dot {x}} \\ {\ dot {y}} \\ {\ dot {\ theta}} \\ {\ dot {\ phi}} \ end {array}} \ right) = {\ overrightarrow {0}} = \ left ({\ begin {array} {c} 1 & 0 & 0 & -r \ cos \ theta \\ 0 & 1 & 0 & -r \ sin \ theta \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin { matriz} {c} {\ text {d}} x \\ {\ text {d}} y \\ {\ text {d}} \ theta \\ {\ text {d}} \ phi \ end {array} }\direito)}$

O lado direito da equação agora está na forma Pfaffiana :

${\ displaystyle \ sum _ {s = 1} ^ {n} A_ {rs} du_ {s} = 0; \; r = 1,2}$

Agora usamos o teste universal para restrições holonômicas . Se este sistema fosse holonômico, poderíamos ter que fazer até oito testes. No entanto, podemos usar a intuição matemática para tentar o nosso melhor para provar que o sistema não é holonômico no primeiro teste. Considerando que a equação de teste é:

${\ displaystyle A _ {\ gamma} {\ bigg (} {\ frac {\ partial A _ {\ beta}} {\ partial u _ {\ alpha}}} - {\ frac {\ partial A _ {\ alpha}} {\ parcial u _ {\ beta}}} {\ bigg)} + A _ {\ beta} {\ bigg (} {\ frac {\ parcial A _ {\ alpha}} {\ parcial u _ {\ gamma}}} - {\ frac {\ partial A _ {\ gamma}} {\ partial u _ {\ alpha}}} {\ bigg)} + A _ {\ alpha} {\ bigg (} {\ frac {\ partial A _ {\ gamma}} {\ partial u _ {\ beta}}} - {\ frac {\ partial A _ {\ beta}} {\ partial u _ {\ gamma}}} {\ bigg)} = 0}$

podemos ver que se algum dos termos , ou fosse zero, essa parte da equação de teste seria trivial de resolver e seria igual a zero. Portanto, geralmente é a melhor prática fazer com que a primeira equação de teste tenha tantos termos diferentes de zero quanto possível para maximizar a chance de a soma deles não ser igual a zero. Portanto, escolhemos: ${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$${\ displaystyle A _ {\ beta}}$${\ displaystyle A _ {\ gamma}}$

${\ displaystyle A _ {\ alpha} = 1}$

${\ displaystyle A _ {\ beta} = 0}$

${\ displaystyle A _ {\ gamma} = - r \ cos \ theta}$

${\ displaystyle u _ {\ alpha} = dx}$

${\ displaystyle u _ {\ beta} = d \ theta}$

${\ displaystyle u _ {\ gamma} = d \ phi}$

Substituímos em nossa equação de teste:

${\ displaystyle (-r \ cos \ theta) {\ bigg (} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (0) - {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} (1) {\ bigg)} + (0) {\ bigg (} {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} (1) - {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (- r \ cos \ theta) {\ bigg)} + (1) {\ bigg (} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} (- r \ cos \ theta) - {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ phi}} (0) {\ bigg)} = 0}$

e simplificar:

${\ displaystyle r \ sin \ theta = 0}$

Podemos ver facilmente que este sistema, conforme descrito, é não holonômico, pois nem sempre é igual a zero. ${\ displaystyle \ sin \ theta}$

Conclusões adicionais

Concluímos nossa prova de que o sistema não é holonômico, mas nossa equação de teste nos deu alguns insights sobre se o sistema, se mais restrito, poderia ser holonômico. Muitas vezes as equações de teste retornarão um resultado como implicar que o sistema nunca poderia ser restrito a ser holonômico sem alterar radicalmente o sistema, mas em nosso resultado podemos ver que pode ser igual a zero, de duas maneiras diferentes: ${\ displaystyle -1 = 0}$${\ displaystyle r \ sin \ theta}$

• ${\ displaystyle r}$ , o raio da roda pode ser zero. Isso não é útil porque o sistema na prática perderia todos os seus graus de liberdade.
• ${\ displaystyle \ sin \ theta}$ pode ser zero configurando-se igual a zero. Isso implica que, se a roda não pudesse girar e tivesse que se mover apenas em linha reta o tempo todo, seria um sistema holonômico. ${\ displaystyle \ theta}$

Há uma coisa que ainda não consideramos, no entanto, que para encontrar todas essas modificações para um sistema, deve-se realizar todas as oito equações de teste (quatro de cada equação de restrição) e coletar todas as falhas para reunir todos os requisitos para tornar o sistema holonômico , se possível. Neste sistema, das sete equações de teste adicionais, um caso adicional se apresenta:

${\ displaystyle -r \ cos \ theta = 0}$

Isso não representa muita dificuldade, no entanto, como adicionar as equações e dividir por resultados em: ${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ sin \ theta - \ cos \ theta = 0}$

que com alguma manipulação algébrica simples se torna:

${\ displaystyle \ tan \ theta = 1}$

que tem a solução (de ). ${\ displaystyle \ theta = {\ frac {\ pi} {4}} + n \ pi; \; n \ in \ mathbb {Z} \;}$${\ displaystyle \ theta = \ arctan (1)}$

Consulte a explicação do leigo acima, onde é dito: "A nova posição [da haste da válvula] depende do caminho percorrido. Se a roda fosse holonômica, a haste da válvula sempre terminaria na mesma posição enquanto a roda estivesse sempre retrocedendo para o mesmo local na Terra. Claramente, no entanto, esse não é o caso, então o sistema não é holonômico. " No entanto, é fácil visualizar que, se a roda só foram autorizados a rolo em uma perfeita linha reta e para trás, a haste da válvula iria acabar na mesma posição! Na verdade, mover-se paralelamente ao ângulo dado de / não é realmente necessário no mundo real, pois a orientação do próprio sistema de coordenadas é arbitrária. O sistema pode se tornar holonômico se a roda se mover apenas em linha reta em qualquer ângulo fixo em relação a uma determinada referência. Assim, não apenas provamos que o sistema original não é holonômico, mas também encontramos uma restrição que pode ser adicionada ao sistema para torná-lo holonômico. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 4}$

No entanto, há algo matematicamente especial na restrição de para o sistema torná-lo holonômico, como em uma grade cartesiana. Combinando as duas equações e eliminando , vemos de fato isso e, portanto, uma dessas duas coordenadas é completamente redundante. Já sabemos que o ângulo de direção é uma constante, o que significa que o sistema holonômico aqui precisa ter apenas um espaço de configuração de . Conforme discutido aqui , um sistema que é modelável por uma restrição Pfaffiana deve ser holonômico se o espaço de configuração consiste em duas ou menos variáveis. Ao modificar nosso sistema original para restringi-lo a ter apenas dois graus de liberdade e, portanto, exigir que apenas duas variáveis ​​sejam descritas, e assumindo que pode ser descrito na forma Pfaffiana (que neste exemplo já sabemos ser verdade), estamos certos de que é holonômico. ${\ displaystyle \ theta = \ arctan (1)}$${\ displaystyle \ theta = \ arctan (y / x)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle y = x}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {u}} = {\ begin {bmatrix} x & \ phi \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}}$

Esfera rolante

Este exemplo é uma extensão do problema da 'roda giratória' considerado acima.

Considere um ortogonal tridimensional de coordenadas cartesianas quadro, por exemplo, um tampo de mesa nível com um ponto marcado sobre ele para a origem, e a x e y eixos definidos com linhas de lápis. Pegue uma esfera de raio unitário, por exemplo, uma bola de pingue-pongue, e marque um ponto B em azul. Correspondente a este ponto é um diâmetro da esfera, e o plano perpendicular a este diâmetro posicionado no centro C da esfera define um grande círculo chamado o equador associado com o ponto B . Neste equador, selecione outro ponto R e marque-o em vermelho. Posicione a esfera no plano z  = 0 de modo que o ponto B coincida com a origem, C esteja localizado em x  = 0, y  = 0, z  = 1 e R esteja localizado em x  = 1, y  = 0 e z  = 1, ou seja, R se estende na direção do eixo x positivo . Esta é a orientação inicial ou de referência da esfera.

A esfera pode agora ser rolada ao longo de qualquer caminho fechado contínuo no plano z  = 0, não necessariamente um caminho simplesmente conectado, de forma que não escorregue nem torça, de modo que C retorna para x  = 0, y  = 0, z  = 1. Em geral, o ponto B não é mais coincidente com a origem e o ponto R não se estende mais ao longo do eixo x positivo . Na verdade, pela seleção de um caminho adequado, a esfera pode ser reorientada da orientação inicial para qualquer orientação possível da esfera com C localizado em x  = 0, y  = 0, z  = 1. O sistema é, portanto, não holonômico. A anolonomia pode ser representada pelo quatérnio duplamente único ( q e - q ) que, quando aplicado aos pontos que representam a esfera, carrega os pontos B e R para suas novas posições.

Pêndulo de Foucault

Um exemplo adicional de sistema não holonômico é o pêndulo de Foucault . No referencial de coordenadas locais, o pêndulo está oscilando em um plano vertical com uma orientação particular em relação ao norte geográfico no início do caminho. A trajetória implícita do sistema é a linha de latitude na Terra onde o pêndulo está localizado. Mesmo que o pêndulo esteja estacionário no referencial da Terra, ele está se movendo em um quadro referido ao Sol e girando em sincronia com a taxa de revolução da Terra, de modo que o único movimento aparente do plano do pêndulo é aquele causado pela rotação do Terra. Este último referencial é considerado um referencial inercial, embora também seja não inercial de maneiras mais sutis. A estrutura da Terra é bem conhecida por ser não inercial, um fato que se torna perceptível pela aparente presença de forças centrífugas e forças de Coriolis .

O movimento ao longo da linha de latitude é parametrizado pela passagem do tempo, e o plano de oscilação do pêndulo de Foucault parece girar em torno do eixo vertical local com o passar do tempo. O ângulo de rotação deste plano em um momento t em relação à orientação inicial é a anolonomia do sistema. A anolonomia induzida por um circuito completo de latitude é proporcional ao ângulo sólido subtendido por esse círculo de latitude. O caminho não precisa ser restrito a círculos de latitude. Por exemplo, o pêndulo pode ser montado em um avião. A anolonomia ainda é proporcional ao ângulo sólido subtendido pelo caminho, que agora pode ser bastante irregular. O pêndulo de Foucault é um exemplo físico de transporte paralelo .

Luz polarizada linear em uma fibra óptica

Pegue um pedaço de fibra óptica, digamos três metros, e coloque-o em uma linha absolutamente reta. Quando um feixe polarizado verticalmente é introduzido em uma extremidade, ele emerge da outra extremidade, ainda polarizado na direção vertical. Marque o topo da fibra com uma faixa, correspondendo à orientação da polarização vertical.

Agora, enrole a fibra firmemente em torno de um cilindro de dez centímetros de diâmetro. O caminho da fibra agora descreve uma hélice que, como o círculo, tem curvatura constante . A hélice também tem a propriedade interessante de ter torção constante . Como tal, o resultado é uma rotação gradual da fibra em torno do eixo da fibra à medida que a linha central da fibra progride ao longo da hélice. Correspondentemente, a faixa também gira em torno do eixo da hélice.

Quando a luz polarizada linearmente é novamente introduzida em uma extremidade, com a orientação da polarização alinhada com a faixa, ela irá, em geral, emergir como luz polarizada linear alinhada não com a faixa, mas em algum ângulo fixo com a faixa, dependendo de o comprimento da fibra e o passo e o raio da hélice. Este sistema também não é holonômico, pois podemos facilmente enrolar a fibra em uma segunda hélice e alinhar as pontas, devolvendo a luz ao seu ponto de origem. A anolonomia é, portanto, representada pelo desvio do ângulo de polarização com cada circuito da fibra. Por meio do ajuste adequado dos parâmetros, é claro que qualquer estado angular possível pode ser produzido.

Robótica

Na robótica , o não holonômico tem sido particularmente estudado no escopo do planejamento de movimento e linearização por feedback para robôs móveis .

Veja também

• Restrição holonômica
• Dinâmica de bicicleta e motocicleta
• Problema de gato caindo
• Goryachev – Chaplygin topo
• Problema de estacionamento paralelo
• Restrição Pfaffiana
• Equação Udwadia-Kalaba
• Integrador de grupo de Lie

Referências