Topologia natural - Natural topology
Em qualquer domínio da matemática , um espaço tem uma topologia natural se houver uma topologia no espaço que seja "melhor adaptada" ao seu estudo dentro do domínio em questão. Em muitos casos, essa definição imprecisa significa pouco mais do que a afirmação de que a topologia em questão surge natural ou canonicamente (ver jargão matemático ) em um determinado contexto.
Observe que, em alguns casos, várias topologias parecem "naturais". Por exemplo, se Y é um subconjunto de um conjunto totalmente ordenado X , então a topologia de ordem induzida , ou seja, a topologia de ordem de Y totalmente ordenado , onde esta ordem é herdada de X , é mais grosseira do que a topologia de subespaço da topologia de ordem de X .
"Topologia natural" freqüentemente tem um significado mais específico, pelo menos dada alguma informação contextual anterior: a topologia natural é uma topologia que torna um mapa natural ou coleção de mapas contínua . Isso ainda é impreciso, mesmo depois de especificar o que são os mapas naturais, porque pode haver muitas topologias com a propriedade necessária. No entanto, geralmente há uma topologia mais refinada ou mais grosseira que torna os mapas fornecidos contínuos, caso em que esses são candidatos óbvios para a topologia natural.
Os casos mais simples (que, no entanto, cobrem muitos exemplos) são a topologia inicial e a topologia final (Willard (1970)). A topologia inicial é a topologia mais grosseira em um espaço X que torna uma determinada coleção de mapas de X para espaços topológicos X i contínua. A topologia final é a melhor topologia em um espaço X que torna uma determinada coleção de mapas de espaços topológicos X i a X contínua.
Dois dos exemplos mais simples são as topologias naturais de subespaços e espaços quocientes.
- A topologia natural em um subconjunto de um espaço topológico é a topologia de subespaço . Esta é a topologia mais grosseira que torna o mapa de inclusão contínuo.
- A topologia natural em um quociente de um espaço topológico é a topologia de quociente . Esta é a melhor topologia que torna o mapa de quociente contínuo.
Outro exemplo é que qualquer espaço métrico tem uma topologia natural induzida por sua métrica .
Referências
- Willard, Stephen (1970). Topologia geral . Addison-Wesley, Massachusetts.(Edição recente publicada por Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6 .)
Veja também
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