O valor decimal do logaritmo natural de 2 (sequência A002162 no OEIS ) é de aproximadamente
em
2
≈
0,693
147
180
559
945
309
417
232
121
458.
{\ displaystyle \ ln 2 \ aproximadamente 0,693 \, 147 \, 180 \, 559 \, 945 \, 309 \, 417 \, 232 \, 121 \, 458.}
O logaritmo de 2 em outras bases é obtido com a fórmula
registro
b
2
=
em
2
em
b
.
{\ displaystyle \ log _ {b} 2 = {\ frac {\ ln 2} {\ ln b}}.}
O logaritmo comum em particular é ( OEIS : A007524 )
registro
10
2
≈
0,301
029
995
663
981
195.
{\ displaystyle \ log _ {10} 2 \ aproximadamente 0,301 \, 029 \, 995 \, 663 \, 981 \, 195.}
O inverso desse número é o logaritmo binário de 10:
registro
2
10
=
1
registro
10
2
≈
3.321
928
095
{\ displaystyle \ log _ {2} 10 = {\ frac {1} {\ log _ {10} 2}} \ aprox. 3.321 \, 928 \, 095}
( OEIS : A020862 ).
Pelo teorema de Lindemann-Weierstrass , o logaritmo natural de qualquer número natural diferente de 0 e 1 (mais geralmente, de qualquer número algébrico positivo diferente de 1) é um número transcendental .
Representações de série
Fatorial alternativo crescente
em
2
=
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
+
1
n
=
1
-
1
2
+
1
3
-
1
4
+
1
5
-
1
6
+
⋯
.
{\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {6}} + \ cdots. }
Esta é a conhecida " série harmônica alternada ".
em
2
=
1
2
+
1
2
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1)}}.}
em
2
=
5
8
+
1
2
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {5} {8}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2)}}.}
em
2
=
2
3
+
3
4
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {3} {4}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}
em
2
=
131
192
+
3
2
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {131} {192}} + {\ frac {3} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}
em
2
=
661
960
+
15
4
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {661} {960}} + {\ frac {15} {4}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}
Fatorial da constante ascendente binária
em
2
=
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n}}.}
em
2
=
1
-
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = 1- \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1)}}.}
em
2
=
1
2
+
2
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}} + 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2)}}.}
em
2
=
5
6
-
6
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {5} {6}} - 6 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}
em
2
=
7
12
+
24
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {7} {12}} + 24 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}
em
2
=
47
60
-
120
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {47} {60}} - 120 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}
Outras representações de série
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
2
)
=
em
2
{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) (2n + 2)}} = \ ln 2.}
∑
n
=
1
∞
1
n
(
4
n
2
-
1
)
=
2
em
2
-
1
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (4n ^ {2} -1)}} = 2 \ ln 2-1.}
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
n
(
4
n
2
-
1
)
=
em
2
-
1
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n (4n ^ {2} -1)}} = \ ln 2-1.}
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
n
(
9
n
2
-
1
)
=
2
em
2
-
3
2
.
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n (9n ^ {2} -1)}} = 2 \ ln 2 - {\ frac {3} {2}}.}
∑
n
=
1
∞
1
4
n
2
-
2
n
=
em
2
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {4n ^ {2} -2n}} = \ ln 2.}
∑
n
=
1
∞
2
(
-
1
)
n
+
1
(
2
n
-
1
)
+
1
8
n
2
-
4
n
=
em
2
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 (-1) ^ {n + 1} (2n-1) +1} {8n ^ {2} -4n}} = \ ln 2.}
∑
n
=
0
∞
(
-
1
)
n
3
n
+
1
=
em
2
3
+
π
3
3
.
{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {3n + 1}} = {\ frac {\ ln 2} {3}} + { \ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}.}
∑
n
=
0
∞
(
-
1
)
n
3
n
+
2
=
-
em
2
3
+
π
3
3
.
{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {3n + 2}} = - {\ frac {\ ln 2} {3}} + {\ frac {\ pi} {3 {\ sqrt {3}}}}.}
∑
n
=
0
∞
(
-
1
)
n
(
3
n
+
1
)
(
3
n
+
2
)
=
2
em
2
3
.
{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(3n + 1) (3n + 2)}} = {\ frac {2 \ ln 2} {3}}.}
∑
n
=
1
∞
1
∑
k
=
1
n
k
2
=
18
-
24
em
2
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2}}} = 18-24 \ ln 2}
usando
lim
N
→
∞
∑
n
=
N
2
N
1
n
=
em
2
{\ displaystyle \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ sum _ {n = N} ^ {2N} {\ frac {1} {n}} = \ ln 2}
∑
n
=
1
∞
1
4
n
2
-
3
n
=
em
2
+
π
6
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {4n ^ {2} -3n}} = \ ln 2 + {\ frac {\ pi} {6}}}
(somas dos recíprocos dos números decagonais )
Envolvendo a função Riemann Zeta
∑
n
=
2
∞
1
2
n
[
ζ
(
n
)
-
1
]
=
em
2
-
1
2
.
{\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} [\ zeta (n) -1] = \ ln 2 - {\ frac {1} {2}}.}
∑
n
=
2
∞
1
2
n
+
1
[
ζ
(
n
)
-
1
]
=
1
-
γ
-
em
2
2
.
{\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2n + 1}} [\ zeta (n) -1] = 1- \ gamma - {\ frac {\ ln 2 } {2}}.}
∑
n
=
1
∞
1
2
2
n
-
1
(
2
n
+
1
)
ζ
(
2
n
)
=
1
-
em
2
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {2n-1} (2n + 1)}} \ zeta (2n) = 1- \ ln 2.}
( γ é a constante de Euler-Mascheroni e ζ função zeta de Riemann .)
Representações do tipo BBP
em
2
=
2
3
+
1
2
∑
k
=
1
∞
(
1
2
k
+
1
4
k
+
1
+
1
8
k
+
4
+
1
16
k
+
12
)
1
16
k
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {2k}} + {\ frac {1} {4k + 1}} + {\ frac {1} {8k + 4}} + {\ frac {1} {16k + 12}} \ right) {\ frac { 1} {16 ^ {k}}}.}
(Veja mais sobre representações do tipo Bailey – Borwein – Plouffe (BBP) .)
A aplicação das três séries gerais para o logaritmo natural a 2 dá diretamente:
em
2
=
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n}}.}
em
2
=
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n} n}}.}
em
2
=
2
3
∑
k
=
0
∞
1
9
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {3}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {9 ^ {k} (2k + 1)}}. }
Aplicando-os para dar:
2
=
3
2
⋅
4
3
{\ displaystyle \ textstyle 2 = {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {4} {3}}}
em
2
=
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
2
n
n
+
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
3
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {2 ^ {n} n}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {3 ^ {n} n}}.}
em
2
=
∑
n
=
1
∞
1
3
n
n
+
∑
n
=
1
∞
1
4
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {3 ^ {n} n}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {1} {4 ^ {n} n}}.}
em
2
=
2
5
∑
k
=
0
∞
1
25
k
(
2
k
+
1
)
+
2
7
∑
k
=
0
∞
1
49
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {2} {5}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {25 ^ {k} (2k + 1)}} + {\ frac {2} {7}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {49 ^ {k} (2k + 1)}}.}
Aplicando-os para dar:
2
=
(
2
)
2
{\ displaystyle \ textstyle 2 = ({\ sqrt {2}}) ^ {2}}
em
2
=
2
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
(
2
+
1
)
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {({\ sqrt {2}} + 1) ^ { n} n}}.}
em
2
=
2
∑
n
=
1
∞
1
(
2
+
2
)
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2 + {\ sqrt {2}}) ^ {n} n}}.}
em
2
=
4
3
+
2
2
∑
k
=
0
∞
1
(
17
+
12
2
)
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {4} {3 + 2 {\ sqrt {2}}}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(17 + 12 {\ sqrt {2}}) ^ {k} (2k + 1)}}.}
Aplicando-os para dar:
2
=
(
16
15
)
7
⋅
(
81
80
)
3
⋅
(
25
24
)
5
{\ displaystyle \ textstyle 2 = {\ left ({\ frac {16} {15}} \ right)} ^ {7} \ cdot {\ left ({\ frac {81} {80}} \ right)} ^ {3} \ cdot {\ left ({\ frac {25} {24}} \ right)} ^ {5}}
em
2
=
7
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
15
n
n
+
3
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
80
n
n
+
5
∑
n
=
1
∞
(
-
1
)
n
-
1
24
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = 7 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {15 ^ {n} n}} + 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {80 ^ {n} n}} + 5 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} { \ frac {(-1) ^ {n-1}} {24 ^ {n} n}}.}
em
2
=
7
∑
n
=
1
∞
1
16
n
n
+
3
∑
n
=
1
∞
1
81
n
n
+
5
∑
n
=
1
∞
1
25
n
n
.
{\ displaystyle \ ln 2 = 7 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {n} n}} + 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {\ frac {1} {81 ^ {n} n}} + 5 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {25 ^ {n} n}}.}
em
2
=
14
31
∑
k
=
0
∞
1
961
k
(
2
k
+
1
)
+
6
161
∑
k
=
0
∞
1
25921
k
(
2
k
+
1
)
+
10
49
∑
k
=
0
∞
1
2401
k
(
2
k
+
1
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {14} {31}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {961 ^ {k} (2k + 1)}} + {\ frac {6} {161}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {25921 ^ {k} (2k + 1)}} + {\ frac {10} { 49}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2401 ^ {k} (2k + 1)}}.}
Representação como integrais
O logaritmo natural de 2 ocorre frequentemente como resultado da integração. Algumas fórmulas explícitas para isso incluem:
∫
0
1
d
x
1
+
x
=
∫
1
2
d
x
x
=
em
2
{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {1 + x}} = \ int _ {1} ^ {2} {\ frac {dx} {x}} = \ ln 2 }
∫
0
∞
e
-
x
1
-
e
-
x
x
d
x
=
em
2
{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- x} {\ frac {1-e ^ {- x}} {x}} \, dx = \ ln 2}
∫
0
π
3
bronzeado
x
d
x
=
2
∫
0
π
4
bronzeado
x
d
x
=
em
2
{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {3}} \ tan x \, dx = 2 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {4}} \ tan x \, dx = \ ln 2}
-
1
π
eu
∫
0
∞
em
x
em
em
x
(
x
+
1
)
2
d
x
=
em
2
{\ displaystyle - {\ frac {1} {\ pi i}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ ln x \ ln \ ln x} {(x + 1) ^ {2} }} \, dx = \ ln 2}
Outras representações
A expansão Pierce é OEIS : A091846
em
2
=
1
-
1
1
⋅
3
+
1
1
⋅
3
⋅
12
-
⋯
.
{\ displaystyle \ ln 2 = 1 - {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 12}} - \ cdots.}
A expansão Engel é OEIS : A059180
em
2
=
1
2
+
1
2
⋅
3
+
1
2
⋅
3
⋅
7
+
1
2
⋅
3
⋅
7
⋅
9
+
⋯
.
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 7}} + { \ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots.}
A expansão cotangente é OEIS : A081785
em
2
=
berço
(
Arccot
(
0
)
-
Arccot
(
1
)
+
Arccot
(
5
)
-
Arccot
(
55
)
+
Arccot
(
14187
)
-
⋯
)
.
{\ displaystyle \ ln 2 = \ cot ({\ operatorname {arccot} (0) - \ operatorname {arccot} (1) + \ operatorname {arccot} (5) - \ operatorname {arccot} (55) + \ operatorname { arccot} (14187) - \ cdots}).}
A expansão de fração contínua simples é OEIS : A016730
em
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
6
,
3
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
10
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
2
,
3
,
1
,
.
.
.
]
{\ displaystyle \ ln 2 = \ left [0; 1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2, 1,1,1,1,3,2,3,1, ... \ right]}
,
que produz aproximações racionais, as primeiras das quais são 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 e 61/88.
Esta fração contínua generalizada :
em
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
5
,
2
3
,
7
,
1
2
,
9
,
2
5
,
.
.
.
,
2
k
-
1
,
2
k
,
.
.
.
]
{\ displaystyle \ ln 2 = \ left [0; 1,2,3,1,5, {\ tfrac {2} {3}}, 7, {\ tfrac {1} {2}}, 9, {\ tfrac {2} {5}}, ..., 2k-1, {\ frac {2} {k}}, ... \ right]}
,
também expressável como
em
2
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
2
2
+
2
5
+
3
2
+
3
7
+
4
2
+
⋱
=
2
3
-
1
2
9
-
2
2
15
-
3
2
21
-
⋱
{\ displaystyle \ ln 2 = {\ cfrac {1} {1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {3 + {\ cfrac {2} {2 + {\ cfrac {2} { 5 + {\ cfrac {3} {2 + {\ cfrac {3} {7 + {\ cfrac {4} {2+ \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}}} = {\ cfrac {2} {3 - {\ cfrac {1 ^ {2}} {9 - {\ cfrac {2 ^ {2}} {15 - {\ cfrac {3 ^ {2}} {21- \ ddots}} }}}}}}}
Bootstrapping outros logaritmos
Dado um valor de ln 2 , um esquema de cálculo dos logaritmos de outros inteiros é tabular os logaritmos dos números primos e na próxima camada os logaritmos dos números compostos c com base em suas fatorações
c
=
2
eu
3
j
5
k
7
eu
⋯
→
em
(
c
)
=
eu
em
(
2
)
+
j
em
(
3
)
+
k
em
(
5
)
+
eu
em
(
7
)
+
⋯
{\ displaystyle c = 2 ^ {i} 3 ^ {j} 5 ^ {k} 7 ^ {l} \ cdots \ rightarrow \ ln (c) = i \ ln (2) + j \ ln (3) + k \ ln (5) + l \ ln (7) + \ cdots}
Isso emprega
melhor
logaritmo natural aproximado
OEIS
2
0,693 147 180 559 945 309 417 232 121 458
A002162
3
1.098 612 288 668 109 691 395 245 236 92
A002391
5
1.609 437 912 434 100 374 600 759 333 23
A016628
7
1,945 910 149 055 313 305 105 352 743 44
A016630
11
2,397 895 272 798 370 544 061 943 577 97
A016634
13
2,564 949 357 461 536 736 053 487 441 57
A016636
17
2.833 213 344 056 216 080 249 534 617 87
A016640
19
2,944 438 979 166 440 460 009 027 431 89
A016642
23
3,135 494 215 929 149 690 806 752 831 81
A016646
29
3,367 295 829 986 474 027 183 272 032 36
A016652
31
3,433 987 204 485 146 245 929 164 324 54
A016654
37
3,610 917 912 644 224 444 368 095 671 03
A016660
41
3,713 572 066 704 307 803 866 763 373 04
A016664
43
3,761 200 115 693 562 423 472 842 513 35
A016666
47
3.850 147 601 710 058 586 820 950 669 77
A016670
53
3,970 291 913 552 121 834 144 469 139 03
A016676
59
4.077 537 443 905 719 450 616 050 373 72
A016682
61
4.110 873 864 173 311 248 751 389 103 43
A016684
67
4,204 692 619 390 966 059 670 071 996 36
A016690
71
4,262 679 877 041 315 421 329 454 532 51
A016694
73
4,290 459 441 148 391 129 092 108 857 44
A016696
79
4.369 447 852 467 021 494 172 945 541 48
A016702
83
4,418 840 607 796 597 923 475 472 223 29
A016706
89
4,488 636 369 732 139 838 317 815 540 67
A016712
97
4.574 710 978 503 382 822 116 721 621 70
A016720
Em uma terceira camada, os logaritmos dos números racionais r =
uma / b são calculados com ln ( r ) = ln ( a ) - ln ( b ) , e logaritmos das raízes via ln n √ c =1 / n ln ( c ) .
O logaritmo de 2 é útil no sentido de que as potências de 2 são densamente distribuídas; encontrar potências 2 i perto de potências b j de outros números b é comparativamente fácil, e as representações em série de ln ( b ) são encontradas acoplando 2 a b com conversões logarítmicas .
Exemplo
Se p s = q t + d com algum d pequeno , entãop s / q t = 1 + d / q t e portanto
s
em
p
-
t
em
q
=
em
(
1
+
d
q
t
)
=
∑
m
=
1
∞
(
-
1
)
m
+
1
(
d
q
t
)
m
m
=
∑
n
=
0
∞
2
2
n
+
1
(
d
2
q
t
+
d
)
2
n
+
1
.
{\ displaystyle s \ ln pt \ ln q = \ ln \ left (1 + {\ frac {d} {q ^ {t}}} \ right) = \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} ( -1) ^ {m + 1} {\ frac {({\ frac {d} {q ^ {t}}}) ^ {m}} {m}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2} {2n + 1}} {\ left ({\ frac {d} {2q ^ {t} + d}} \ right)} ^ {2n + 1}.}
Selecionar q = 2 representa ln p por ln 2 e uma série de um parâmetrod / q t que se deseja manter pequeno para uma convergência rápida. Tomando 3 2 = 2 3 + 1 , por exemplo, gera
2
em
3
=
3
em
2
-
∑
k
≥
1
(
-
1
)
k
8
k
k
=
3
em
2
+
∑
n
=
0
∞
2
2
n
+
1
(
1
2
⋅
8
+
1
)
2
n
+
1
.
{\ displaystyle 2 \ ln 3 = 3 \ ln 2- \ sum _ {k \ geq 1} {\ frac {(-1) ^ {k}} {8 ^ {k} k}} = 3 \ ln 2+ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2} {2n + 1}} {\ left ({\ frac {1} {2 \ cdot 8 + 1}} \ right)} ^ { 2n + 1}.}
Esta é na verdade a terceira linha na seguinte tabela de expansões deste tipo:
s
p
t
q
d / q t
1
3
1
2
1 / 2 = - 0,500 000 00 …
1
3
2
2
-1 / 4 = - 0,250 000 00 …
2
3
3
2
1 / 8 = - 0,125 000 00 …
5
3
8
2
-13 / 256 = - 0,050 781 25 …
12
3
19
2
7153 / 524 288 = - 0,013 643 26 …
1
5
2
2
1 / 4 = - 0,250 000 00 …
3
5
7
2
-3 / 128 = - 0,023 437 50 …
1
7
2
2
3 / 4 = - 0,750 000 00 …
1
7
3
2
-1 / 8 = - 0,125 000 00 …
5
7
14
2
423 / 16 384 = - 0,025 817 87 …
1
11
3
2
3 / 8 = - 0,375 000 00 …
2
11
7
2
-7 / 128 = - 0,054 687 50 …
11
11
38
2
10 433 763 667 / 274 877 906 944 = - 0,037 957 81 …
1
13
3
2
5 / 8 = - 0,625 000 00 …
1
13
4
2
-3 / 16 = - 0,187 500 00 …
3
13
11
2
149 / 2048 = - 0,072 753 91 …
7
13
26
2
- 4 360 347 / 67 108 864 = - 0,064 974 23 …
10
13
37
2
419 538 377 / 137 438 953 472 = - 0,003 052 54 …
1
17
4
2
1 / 16 = - 0,062 500 00 …
1
19
4
2
3 / 16 = - 0,187 500 00 …
4
19
17
2
-751 / 131 072 = - 0,005 729 68 …
1
23
4
2
7 / 16 = - 0,437 500 00 …
1
23
5
2
-9 / 32 = - 0,281 250 00 …
2
23
9
2
17 / 512 = - 0,033 203 12 …
1
29
4
2
13 / 16 = - 0,812 500 00 …
1
29
5
2
-3 / 32 = - 0,093 750 00 …
7
29
34
2
70 007 125 / 17 179 869 184 = - 0,004 074 95 …
1
31
5
2
-1 / 32 = - 0,031 250 00 …
1
37
5
2
5 / 32 = - 0,156 250 00 …
4
37
21
2
- 222 991 / 2 097 152 = - 0,106 330 39 …
5
37
26
2
2 235 093 / 67 108 864 = - 0,033 305 48 …
1
41
5
2
9 / 32 = - 0,281 250 00 …
2
41
11
2
-367 / 2048 = - 0,179 199 22 …
3
41
16
2
3385 / 65 536 = - 0,051 651 00 …
1
43
5
2
11 / 32 = - 0,343 750 00 …
2
43
11
2
-199 / 2048 = - 0,097 167 97 …
5
43
27
2
12 790 715 / 134 217 728 = - 0,095 298 25 …
7
43
38
2
- 3 059 295 837 / 274 877 906 944 = - 0,011 129 65 …
A partir do logaritmo natural de q = 10, pode-se usar estes parâmetros:
s
p
t
q
d / q t
10
2
3
10
3 / 125 = - 0,024 000 00 …
21
3
10
10
460 353 203 / 10 000 000 000 = - 0,046 035 32 …
3
5
2
10
1 / 4 = - 0,250 000 00 …
10
5
7
10
-3 / 128 = - 0,023 437 50 …
6
7
5
10
17 649 / 100 000 = - 0,176 490 00 …
13
7
11
10
- 3 110 989 593 / 100 000 000 000 = - 0,031 109 90 …
1
11
1
10
1 / 10 = - 0,100 000 00 …
1
13
1
10
3 / 10 = - 0,300 000 00 …
8
13
9
10
- 184 269 279 / 1 000 000 000 = - 0,184 269 28 …
9
13
10
10
604 499 373 / 10 000 000 000 = - 0,060 449 94 …
1
17
1
10
7 / 10 = - 0,700 000 00 …
4
17
5
10
- 16 479 / 100 000 = - 0,164 790 00 …
9
17
11
10
18 587 876 497 / 100 000 000 000 = - 0,185 878 76 …
3
19
4
10
-3141 / 10 000 = - 0,314 100 00 …
4
19
5
10
30 321 / 100 000 = - 0,303 210 00 …
7
19
9
10
- 106 128 261 / 1 000 000 000 = - 0,106 128 26 …
2
23
3
10
-471 / 1000 = - 0,471 000 00 …
3
23
4
10
2167 / 10 000 = - 0,216 700 00 …
2
29
3
10
-159 / 1000 = - 0,159 000 00 …
2
31
3
10
-39 / 1000 = - 0,039 000 00 …
Dígitos conhecidos
Esta é uma tabela de registros recentes no cálculo de dígitos de ln 2 . Em dezembro de 2018, ele foi calculado com mais dígitos do que qualquer outro logaritmo natural de um número natural, exceto o de 1.
Encontro
Nome
Número de dígitos
7 de janeiro de 2009
A.Yee & R.Chan
15.500.000.000
4 de fevereiro de 2009
A.Yee & R.Chan
31.026.000.000
21 de fevereiro de 2011
Alexander Yee
50.000.000.050
14 de maio de 2011
Shigeru Kondo
100.000.000.000
28 de fevereiro de 2014
Shigeru Kondo
200.000.000.050
12 de julho de 2015
Ron Watkins
250.000.000.000
30 de janeiro de 2016
Ron Watkins
350.000.000.000
18 de abril de 2016
Ron Watkins
500.000.000.000
10 de dezembro de 2018
Michael Kwok
600.000.000.000
26 de abril de 2019
Jacob Riffee
1.000.000.000.000
19 de agosto de 2020
Seungmin Kim
1.200.000.000.100
Veja também
Referências
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Uhler, Horace S. (1940). “Recálculo e extensão do módulo e dos logaritmos de 2, 3, 5, 7 e 17” . Proc. Natl. Acad. Sci. EUA . 26 (3): 205–212. doi : 10.1073 / pnas.26.3.205 . MR 0001523 . PMC 1078033 . PMID 16588339 .
Sweeney, Dura W. (1963). "No cálculo da constante de Euler" . Matemática da Computação . 17 (82): 170–178. doi : 10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X . MR 0160308 .
Chamberland, Marc (2003). "Fórmulas BBP binárias para logaritmos e primos de Gaussian-Mersenne generalizados" (PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 : 03.3.7. MR 2046407 . Arquivado do original (PDF) em 06/06/2011 . Página visitada em 29-04-2010 .
Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Construção de somas binomiais para π e constantes polilogarítmicas inspiradas em fórmulas BBP" (PDF) . Matemática Aplicada. E-Notes . 7 : 237–246. MR 2346048 .
Wu, Qiang (2003). "Sobre a medida de independência linear de logaritmos de números racionais" . Matemática da Computação . 72 (242): 901–911. doi : 10.1090 / S0025-5718-02-01442-4 .
links externos
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