Fase mínima - Minimum phase

Na teoria do controle e no processamento de sinais , um sistema linear invariante no tempo é considerado de fase mínima se o sistema e seu inverso forem causais e estáveis .

A função de transferência de LTI causal mais geral pode ser fatorada exclusivamente em uma série de um sistema de passagem total e um sistema de fase mínima. A função do sistema é então o produto das duas partes e, no domínio do tempo, a resposta do sistema é a convolução das respostas das duas partes. A diferença entre uma fase mínima e uma função de transferência geral é que um sistema de fase mínima tem todos os pólos e zeros de sua função de transferência na metade esquerda da representação do plano s (em tempo discreto, respectivamente, dentro do círculo unitário de o plano z). Uma vez que a inversão de uma função do sistema leva aos pólos que se transformam em zeros e vice-versa, e os pólos do lado direito ( linha imaginária do plano s ) ou fora ( círculo unitário do plano z ) do plano complexo levam a sistemas instáveis , apenas a classe de os sistemas de fase mínima são fechados em inversão. Intuitivamente, a parte de fase mínima de um sistema causal geral implementa sua resposta de amplitude com atraso de grupo mínimo , enquanto sua parte de passagem corrige apenas sua resposta de fase para corresponder à função original do sistema.

A análise em termos de pólos e zeros é exata apenas no caso de funções de transferência que podem ser expressas como razões de polinômios. No caso de tempo contínuo, tais sistemas se traduzem em redes convencionais de redes LCR idealizadas . Em tempo discreto, eles se traduzem convenientemente em suas aproximações, usando adição, multiplicação e retardo de unidade. Pode ser mostrado que, em ambos os casos, as funções do sistema de forma racional com ordem crescente podem ser usadas para aproximar eficientemente qualquer outra função do sistema; assim, mesmo as funções do sistema sem uma forma racional e, portanto, possuindo uma infinidade de pólos e / ou zeros, podem na prática ser implementadas tão eficientemente quanto qualquer outra.

No contexto de sistemas causais estáveis, em teoria seríamos livres para escolher se os zeros da função do sistema estão fora da faixa estável (para a direita ou fora) se a condição de fechamento não fosse um problema. No entanto, a inversão é de grande importância prática, assim como as fatorações teoricamente perfeitas são válidas por si mesmas. (Cf. a decomposição espectral simétrica / antissimétrica como outro exemplo importante, levando, por exemplo, às técnicas de transformação de Hilbert .) Muitos sistemas físicos também tendem naturalmente para a resposta de fase mínima e às vezes têm que ser invertidos usando outros sistemas físicos obedecendo à mesma restrição.

A seguir, é dado um insight de por que esse sistema é chamado de fase mínima e por que a ideia básica se aplica mesmo quando a função do sistema não pode ser convertida em uma forma racional que possa ser implementada.

Sistema inverso

Um sistema é invertível se pudermos determinar exclusivamente sua entrada a partir de sua saída. Ou seja, podemos encontrar um sistema tal que, se aplicarmos seguido de , obteremos o sistema de identidade . (Consulte Matriz inversa para um análogo de dimensão finita). Ou seja, ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv}}$${\ displaystyle \ mathbb {I}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv} \, \ mathbb {H} = \ mathbb {I}}$

Suponha que seja uma entrada para o sistema e forneça uma saída . ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} = {\ tilde {y}}}$

Aplicando o sistema inverso para obter o seguinte. ${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv}}$${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$

${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv} \, {\ tilde {y}} = \ mathbb {H} _ {inv} \, \ mathbb {H} \, {\ tilde {x}} = \ mathbb {I} \, {\ tilde {x}} = {\ tilde {x}}}$

Portanto, vemos que o sistema inverso nos permite determinar exclusivamente a entrada da saída . ${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv}}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle {\ tilde {y}}}$

Exemplo de tempo discreto

Suponha-se que o sistema é, em tempo discreto linear e invariante no tempo do sistema (LTI) descrito pela resposta ao impulso para n em Z . Além disso, suponha que haja uma resposta ao impulso . A cascata de dois sistemas LTI é uma convolução . Nesse caso, a relação acima é a seguinte: ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle h (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv}}$${\ displaystyle h_ {inv} (n)}$

${\ displaystyle (h_ {inv} * h) (n) = (h * h_ {inv}) (n) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h (k) \, h_ { inv} (nk) = \ delta (n)}$

onde está o delta de Kronecker ou o sistema de identidade no caso de tempo discreto. (Alterar a ordem de e é permitido devido à comutatividade da operação de convolução.) Observe que este sistema inverso não precisa ser único. ${\ displaystyle \ delta (n)}$${\ displaystyle h_ {inv}}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv}}$

Sistema de fase mínima

Quando impomos as restrições de causalidade e estabilidade , o sistema inverso é único; e o sistema e seu inverso são chamados de fase mínima . As restrições de causalidade e estabilidade no caso de tempo discreto são as seguintes (para sistemas invariantes no tempo, onde h é a resposta ao impulso do sistema): ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle \ mathbb {H} _ {inv}}$

Causalidade

${\ displaystyle h (n) = 0 \, \, \ forall \, n <0}$

e

${\ displaystyle h_ {inv} (n) = 0 \, \, \ forall \, n <0}$

Estabilidade

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h (n) \ right |} = \ | h \ | _ {1} <\ infty}$

e

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h_ {inv} (n) \ right |} = \ | h_ {inv} \ | _ {1} <\ infty}$

Consulte o artigo sobre estabilidade para as condições análogas para o caso de tempo contínuo.

Análise de frequência

Análise de frequência em tempo discreto

A realização de análise de frequência para o caso de tempo discreto fornecerá alguns insights. A equação no domínio do tempo é a seguinte.

${\ displaystyle (h * h_ {inv}) (n) = \, \! \ delta (n)}$

A aplicação da transformada Z dá a seguinte relação no domínio z.

${\ displaystyle H (z) \, H_ {inv} (z) = 1}$

A partir dessa relação, percebemos que

${\ displaystyle H_ {inv} (z) = {\ frac {1} {H (z)}}}$

Para simplificar, consideramos apenas o caso de uma função de transferência racional H ( z ). Causalidade e estabilidade implicam que todos os pólos de H ( z ) devem estar estritamente dentro do círculo unitário (ver estabilidade ). Suponha

${\ displaystyle H (z) = {\ frac {A (z)} {D (z)}}}$

onde A ( z ) e D ( z ) são polinômios em z . Causalidade e estabilidade implicam que os pólos - as raízes de D ( z ) - devem estar estritamente dentro do círculo unitário . Nós também sabemos que

${\ displaystyle H_ {inv} (z) = {\ frac {D (z)} {A (z)}}}$

Assim, causalidade e estabilidade para implicam que seus pólos - as raízes de A ( z ) - devem estar dentro do círculo unitário . Essas duas restrições implicam que tanto os zeros quanto os pólos de um sistema de fase mínimo devem estar estritamente dentro do círculo unitário. ${\ displaystyle H_ {inv} (z)}$

Análise de frequência de tempo contínuo

A análise para o caso do tempo contínuo procede de maneira semelhante, exceto que usamos a transformada de Laplace para análise de frequência. A equação no domínio do tempo é a seguinte.

${\ displaystyle (h * h_ {inv}) (t) = \, \! \ delta (t)}$

onde está a função delta de Dirac . A função delta de Dirac é o operador de identidade no caso de tempo contínuo por causa da propriedade de peneiramento com qualquer sinal x ( t ). ${\ displaystyle \ delta (t)}$

${\ displaystyle (\ delta * x) (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t- \ tau) x (\ tau) d \ tau = x (t)}$

A aplicação da transformada de Laplace fornece a seguinte relação no plano s .

${\ displaystyle H (s) \, H_ {inv} (s) = 1}$

A partir dessa relação, percebemos que

${\ displaystyle H_ {inv} (s) = {\ frac {1} {H (s)}}}$

Novamente, para simplificar, consideramos apenas o caso de uma função de transferência racional H ( s ). Causalidade e estabilidade implicam que todos os pólos de H ( s ) devem estar estritamente dentro da metade esquerda do plano s (ver estabilidade ). Suponha

${\ displaystyle H (s) = {\ frac {A (s)} {D (s)}}}$

onde A ( s ) e D ( s ) são polinomiais em s . Causalidade e estabilidade implicam que os pólos - as raízes de D ( s ) - devem estar dentro da metade esquerda do plano s . Nós também sabemos que

${\ displaystyle H_ {inv} (s) = {\ frac {D (s)} {A (s)}}}$

Assim, causalidade e estabilidade para implicam que seus pólos - as raízes de A ( s ) - devem estar estritamente dentro da metade esquerda do plano s . Essas duas restrições implicam que tanto os zeros quanto os pólos de um sistema de fase mínima devem estar estritamente dentro da metade esquerda do plano s . ${\ displaystyle H_ {inv} (s)}$

Relação de resposta de magnitude para resposta de fase

Um sistema de fase mínima, seja de tempo discreto ou contínuo, tem uma propriedade útil adicional de que o logaritmo natural da magnitude da resposta de frequência (o "ganho" medido em nepers que é proporcional a dB ) está relacionado à fase ângulo da resposta de frequência (medida em radianos ) pela transformada de Hilbert . Ou seja, no caso de tempo contínuo, vamos

${\ displaystyle H (j \ omega) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ H (s) {\ Big |} _ {s = j \ omega} \}$

ser a resposta de frequência complexa do sistema H ( s ). Então, apenas para um sistema de fase mínima, a resposta de fase de H ( s ) está relacionada ao ganho por

${\ displaystyle \ arg \ left [H (j \ omega) \ right] = - {\ mathcal {H}} \ lbrace \ log \ left (| H (j \ omega) | \ right) \ rbrace \}$

onde denota a transformação de Hilbert, e, inversamente, ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

${\ displaystyle \ log \ left (| H (j \ omega) | \ right) = \ log \ left (| H (j \ infty) | \ right) + {\ mathcal {H}} \ lbrace \ arg \ left [H (j \ omega) \ right] \ rbrace \}$ .

Dito de forma mais compacta, deixe

${\ displaystyle H (j \ omega) = | H (j \ omega) | e ^ {j \ arg \ left [H (j \ omega) \ right]} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {= }} \ e ^ {\ alpha (\ omega)} e ^ {j \ phi (\ omega)} = e ^ {\ alpha (\ omega) + j \ phi (\ omega)} \}$

onde e são funções reais de uma variável real. Então ${\ displaystyle \ alpha (\ omega)}$${\ displaystyle \ phi (\ omega)}$

${\ displaystyle \ phi (\ omega) = - {\ mathcal {H}} \ lbrace \ alpha (\ omega) \ rbrace \}$

e

${\ displaystyle \ alpha (\ omega) = \ alpha (\ infty) + {\ mathcal {H}} \ lbrace \ phi (\ omega) \ rbrace \}$ .

O operador de transformação de Hilbert é definido para ser

${\ displaystyle {\ mathcal {H}} \ lbrace x (t) \ rbrace \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ widehat {x}} (t) = {\ frac {1 } {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {x (\ tau)} {t- \ tau}} \, d \ tau \}$ .

Uma relação correspondente equivalente também é verdadeira para sistemas de fase mínima de tempo discreto.

Fase mínima no domínio do tempo

Para todos os sistemas causais e estáveis que têm a mesma resposta de magnitude , o sistema de fase mínima tem sua energia concentrada perto do início da resposta ao impulso . isto é, ele minimiza a função seguinte, que podemos pensar como o atraso de energia na resposta ao impulso .

${\ displaystyle \ sum _ {n = m} ^ {\ infty} \ left | h (n) \ right | ^ {2} \, \, \, \, \, \, \, \ forall \, m \ em \ mathbb {Z} ^ {+}}$

Fase mínima como atraso mínimo do grupo

Para todos os sistemas causais e estáveis que têm a mesma resposta de magnitude , o sistema de fase mínima tem o atraso de grupo mínimo . A prova a seguir ilustra essa ideia de atraso mínimo do grupo .

Suponha que consideremos um zero da função de transferência . Vamos colocar esse zero dentro do círculo unitário ( ) e ver como o atraso do grupo é afetado. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle H (z)}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ left | a \ right | <1}$

${\ displaystyle a = \ left | a \ right | e ^ {i \ theta _ {a}} \, {\ mbox {onde}} \, \ theta _ {a} = {\ mbox {Arg}} (a )}$

Uma vez que o zero contribui com o fator para a função de transferência , a fase contribuída por esse termo é a seguinte. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 1-az ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ phi _ {a} \ left (\ omega \ right) = {\ mbox {Arg}} \ left (1-ae ^ {- i \ omega} \ right)}$

${\ displaystyle = {\ mbox {Arg}} \ left (1- \ left | a \ right | e ^ {i \ theta _ {a}} e ^ {- i \ omega} \ right)}$

${\ displaystyle = {\ mbox {Arg}} \ left (1- \ left | a \ right | e ^ {- i (\ omega - \ theta _ {a})} \ right)}$

${\ displaystyle = {\ mbox {Arg}} \ left (\ left \ {1- \ left | a \ right | cos (\ omega - \ theta _ {a}) \ right \} + i \ left \ {\ esquerda | a \ direita | sin (\ omega - \ theta _ {a}) \ direita \} \ direita)}$

${\ displaystyle = {\ mbox {Arg}} \ left (\ left \ {\ left | a \ right | ^ {- 1} - \ cos (\ omega - \ theta _ {a}) \ right \} + i \ left \ {\ sin (\ omega - \ theta _ {a}) \ right \} \ right)}$

${\ displaystyle \ phi _ {a} (\ omega)}$ contribui com o seguinte para o atraso do grupo .

${\ displaystyle - {\ frac {d \ phi _ {a} (\ omega)} {d \ omega}} = {\ frac {\ sin ^ {2} (\ omega - \ theta _ {a}) + \ cos ^ {2} (\ omega - \ theta _ {a}) - \ left | a \ right | ^ {- 1} \ cos (\ omega - \ theta _ {a})} {\ sin ^ {2} (\ omega - \ theta _ {a}) + \ cos ^ {2} (\ omega - \ theta _ {a}) + \ left | a \ right | ^ {- 2} -2 \ left | a \ right | ^ {- 1} \ cos (\ omega - \ theta _ {a})}}}$

${\ displaystyle - {\ frac {d \ phi _ {a} (\ omega)} {d \ omega}} = {\ frac {\ left | a \ right | - \ cos (\ omega - \ theta _ {a })} {\ left | a \ right | + \ left | a \ right | ^ {- 1} -2 \ cos (\ omega - \ theta _ {a})}}}$

O denominador e são invariantes para refletir o zero fora do círculo unitário , ou seja, substituindo com . No entanto, refletindo fora do círculo unitário, aumentamos a magnitude de no numerador. Assim, estar dentro do círculo unitário minimiza o atraso do grupo contribuído pelo fator . Podemos estender esse resultado ao caso geral de mais de um zero, pois a fase dos fatores multiplicativos da forma é aditiva. Ou seja, para uma função de transferência com zeros , ${\ displaystyle \ theta _ {a}}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle (a ^ {- 1}) ^ {*}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ left | a \ right |}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle 1-az ^ {- 1}}$${\ displaystyle 1-a_ {i} z ^ {- 1}}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle {\ mbox {Arg}} \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {N} \ left (1-a_ {i} z ^ {- 1} \ right) \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {N} {\ mbox {Arg}} \ left (1-a_ {i} z ^ {- 1} \ right)}$

Portanto, um sistema de fase mínima com todos os zeros dentro do círculo unitário minimiza o atraso do grupo, uma vez que o atraso do grupo de cada zero individual é minimizado.

Ilustração do cálculo acima. Superior e inferior são filtros com a mesma resposta de ganho (à esquerda: os diagramas de Nyquist , à direita: respostas de fase), mas o filtro na parte superior com tem a menor amplitude na resposta de fase. ${\ displaystyle a = 0,8 <1}$

Fase não mínima

Os sistemas causais e estáveis ​​cujos inversos são causais e instáveis ​​são conhecidos como sistemas de fase não mínima . Um determinado sistema de fase não mínima terá uma contribuição de fase maior do que o sistema de fase mínima com a resposta de magnitude equivalente.

Fase máxima

Um sistema de fase máxima é o oposto de um sistema de fase mínima. Um sistema LTI causal e estável é um sistema de fase máxima se seu inverso for causal e instável. Isso é,

• Os zeros do sistema de tempo discreto estão fora do círculo unitário .
• Os zeros do sistema de tempo contínuo estão no lado direito do plano complexo .

Tal sistema é chamado de sistema de fase máxima porque tem o atraso máximo de grupo do conjunto de sistemas que têm a mesma magnitude de resposta. Neste conjunto de sistemas de resposta de magnitude igual, o sistema de fase máxima terá atraso de energia máximo.

Por exemplo, os dois sistemas LTI de tempo contínuo descritos pelas funções de transferência

${\ displaystyle {\ frac {s + 10} {s + 5}} \ qquad {\ text {e}} \ qquad {\ frac {s-10} {s + 5}}}$

têm respostas de magnitude equivalente; entretanto, o segundo sistema tem uma contribuição muito maior para a mudança de fase. Portanto, neste conjunto, o segundo sistema é o sistema de fase máxima e o primeiro sistema é o sistema de fase mínima. Esses sistemas também são conhecidos como sistemas de fase não mínima que levantam muitas questões de estabilidade no controle. Uma solução recente para esses sistemas é mover os zeros RHP para o LHP usando o método PFCD.

Fase mista

Um sistema de fase mista tem alguns de seus zeros dentro do círculo unitário e outros fora do círculo unitário . Assim, seu atraso de grupo não é mínimo ou máximo, mas em algum lugar entre o atraso de grupo do sistema equivalente de fase mínimo e máximo.

Por exemplo, o sistema LTI de tempo contínuo descrito pela função de transferência

${\ displaystyle {\ frac {(s + 1) (s-5) (s + 10)} {(s + 2) (s + 4) (s + 6)}}}$

é estável e causal; no entanto, ele tem zeros nos lados esquerdo e direito do plano complexo . Portanto, é um sistema de fase mista . Para controlar as funções de transferência que incluem esses sistemas, alguns métodos como controlador de modelo interno (IMC), preditor de Smith generalizado (GSP) e controle feedforward paralelo com derivada (PFCD) são propostos.

Fase linear

Um sistema de fase linear tem atraso de grupo constante . Fase linear não trivial ou sistemas de fase quase linear também são fases mistas.

Veja também

• Filtro passa-tudo  - Um caso especial de fase não mínima.
• Relação Kramers-Kronig  - Sistema de fase mínima em física

Referências

Leitura adicional