Curvatura média - Mean curvature

Em matemática , a curvatura média de uma superfície é uma medida extrínseca da curvatura que vem da geometria diferencial e que descreve localmente a curvatura de uma superfície embutida em algum espaço ambiente, como o espaço euclidiano . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle S}$

O conceito foi usado por Sophie Germain em seu trabalho sobre a teoria da elasticidade . Jean Baptiste Marie Meusnier usou-o em 1776, em seus estudos de superfícies mínimas . É importante na análise de superfícies mínimas , que possuem curvatura média zero, e na análise de interfaces físicas entre fluidos (como filmes de sabão ) que, por exemplo, possuem curvatura média constante em escoamentos estáticos, pela equação de Young-Laplace. .

Definição

Deixe ser um ponto na superfície . Cada plano contém a linha normal para cortes em uma curva (plano). Fixar uma escolha de normal de unidade dá uma curvatura sinalizada para essa curva. Como o plano é girado por um ângulo (sempre contendo a linha normal), essa curvatura pode variar. A curvatura máxima e a curvatura mínima são conhecidas como as curvaturas principais de . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ kappa _ {1}}$${\ displaystyle \ kappa _ {2}}$${\ displaystyle S}$

A curvatura média no é, então, a média da curvatura assinado sobre todos os ângulos : ${\ displaystyle p \ in S}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ kappa (\ theta) \; d \ theta}$.

Ao aplicar o teorema de Euler , isso é igual à média das curvaturas principais ( Spivak 1999 , Volume 3, Capítulo 2):

${\ displaystyle H = {1 \ over 2} (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}).}$

De forma mais geral ( Spivak 1999 , Volume 4, Capítulo 7), para uma hipersuperfície, a curvatura média é dada como ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle H = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ kappa _ {i}.}$

Mais abstratamente, a curvatura média é o traço da segunda forma fundamental dividido por n (ou equivalentemente, o operador de forma ).

Além disso, a curvatura média pode ser escrita em termos da derivada covariante como ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle H {\ vec {n}} = g ^ {ij} \ nabla _ {i} \ nabla _ {j} X,}$

usando as relações de Gauss-Weingarten, onde é uma hipersuperfície suavemente embutida, um vetor normal unitário e o tensor métrico . ${\ displaystyle X (x)}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle g_ {ij}}$

Uma superfície é uma superfície mínima se e somente se a curvatura média for zero. Além disso, uma superfície que evolui sob a curvatura média da superfície obedece a uma equação do tipo calor chamada equação de fluxo da curvatura média . ${\ displaystyle S}$

A esfera é a única superfície embutida de curvatura média positiva constante, sem limite ou singularidades. No entanto, o resultado não é verdadeiro quando a condição "superfície embutida" é enfraquecida para "superfície imersa".

Superfícies no espaço 3D

Para uma superfície definida no espaço 3D, a curvatura média está relacionada a uma unidade normal da superfície:

${\ displaystyle 2H = - \ nabla \ cdot {\ hat {n}}}$

onde o normal escolhido afeta o sinal da curvatura. O sinal da curvatura depende da escolha do normal: a curvatura é positiva se a superfície se curva "para" o normal. A fórmula acima é válida para superfícies no espaço 3D definidas de qualquer maneira, desde que a divergência da normal da unidade possa ser calculada. A curvatura média também pode ser calculada

${\ displaystyle 2H = {\ text {Trace}} ((\ mathrm {II}) (\ mathrm {I} ^ {- 1}))}$

onde I e II denotam matrizes de primeira e segunda forma quadrática, respectivamente.

Se for uma parametrização da superfície e forem dois vetores linearmente independentes no espaço de parâmetros, a curvatura média pode ser escrita em termos da primeira e segunda formas fundamentais como ${\ displaystyle S (x, y)}$${\ displaystyle u, v}$

onde . ${\ displaystyle E = \ mathrm {I} (u, u), F = \ mathrm {I} (u, v), G = \ mathrm {I} (v, v), l = \ mathrm {II} ( u, u), m = \ mathrm {II} (u, v), n = \ mathrm {II} (v, v)}$

Para o caso especial de uma superfície definida como uma função de duas coordenadas, por exemplo , e usando a normal apontando para cima, a expressão de curvatura média (dobrada) é ${\ displaystyle z = S (x, y)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} 2H & = - \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla (zS)} {| \ nabla (zS) |}} \ right) \\ & = \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla S- \ nabla z} {\ sqrt {1+ | \ nabla S | ^ {2}}}} \ right) \\ & = {\ frac {\ left (1+ \ esquerda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial x}} \ direita) ^ {2} \ direita) {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial y ^ {2}}} - 2 {\ frac {\ parcial S} {\ parcial x}} {\ frac {\ parcial S} {\ parcial y}} {\ frac {\ parcial ^ {2} S} {\ parcial x \ parcial y}} + \ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right) {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial x ^ { 2}}}} {\ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial x}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial y}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}}. \ end {alinhado}}}$

Em particular em um ponto onde , a curvatura média é metade do traço da matriz de Hessian de . ${\ displaystyle \ nabla S = 0}$${\ displaystyle S}$

Se a superfície for adicionalmente conhecida por ser axissimétrica com , ${\ displaystyle z = S (r)}$

${\ displaystyle 2H = {\ frac {\ frac {\ partial ^ {2} S} {\ partial r ^ {2}}} {\ left (1+ \ left ({\ frac {\ partial S} {\ partial r}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} + {\ frac {\ partial S} {\ partial r}} {\ frac {1} {r \ left (1+ \ esquerda ({\ frac {\ parcial S} {\ parcial r}} \ direita) ^ {2} \ direita) ^ {1/2}}},}$

de onde vem a derivada de . ${\ displaystyle {\ frac {\ partial S} {\ partial r}} {\ frac {1} {r}}}$${\ displaystyle z = S (r) = S \ left (\ scriptstyle {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}$

Forma implícita de curvatura média

A curvatura média de uma superfície especificada por uma equação pode ser calculada usando o gradiente e a matriz Hessiana${\ displaystyle F (x, y, z) = 0}$${\ displaystyle \ nabla F = \ left ({\ frac {\ parcial F} {\ parcial x}}, {\ frac {\ parcial F} {\ parcial y}}, {\ frac {\ parcial F} {\ z parcial}} \ direita)}$

${\ displaystyle \ textstyle {\ mbox {Hess}} (F) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial x ^ {2}}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial y}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial x \ parcial z}} \\ {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y \ parcial x}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y ^ {2}}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial y \ parcial z}} \\ {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial z \ parcial x}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} F} {\ parcial z \ parcial y} } & {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial z ^ {2}}} \ end {pmatrix}}.}$

A curvatura média é dada por:

${\ displaystyle H = {\ frac {\ nabla F \ {\ mbox {Hess}} (F) \ \ nabla F ^ {\ mathsf {T}} - | \ nabla F | ^ {2} \, {\ text {Trace}} ({\ mbox {Hess}} (F))} {2 | \ nabla F | ^ {3}}}}$

Outra forma é como a divergência da unidade normal. Uma unidade normal é dada por e a curvatura média é ${\ displaystyle {\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}}}$

${\ displaystyle H = - {\ frac {1} {2}} \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ nabla F} {| \ nabla F |}} \ right).}$

Curvatura média na mecânica dos fluidos

Uma definição alternativa é ocasionalmente usada em mecânica dos fluidos para evitar fatores de dois:

${\ displaystyle H_ {f} = (\ kappa _ {1} + \ kappa _ {2}) \,}$.

Isso resulta na pressão de acordo com a equação de Young-Laplace dentro de uma gota esférica de equilíbrio sendo tempos de tensão superficial ; as duas curvaturas são iguais ao recíproco do raio da gota ${\ displaystyle H_ {f}}$

${\ displaystyle \ kappa _ {1} = \ kappa _ {2} = r ^ {- 1} \,}$.

Superfícies mínimas

Uma superfície mínima é uma superfície que tem curvatura média zero em todos os pontos. Exemplos clássicos incluem a catenóide , helicoidal e superfície Enneper . Descobertas recentes incluem a superfície mínima de Costa e o giroide .

Superfícies CMC

Uma extensão da ideia de uma superfície mínima são as superfícies de curvatura média constante. As superfícies da curvatura média da constante unitária no espaço hiperbólico são chamadas de superfícies de Bryant .

Veja também

• Curvatura gaussiana
• Fluxo de curvatura média
• Fluxo de curvatura média inversa
• Primeira variação da fórmula de área
• Método de grade esticada

Notas

Referências

• Spivak, Michael (1999), Uma introdução abrangente à geometria diferencial (Volumes 3-4) (3ª ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Volume 3), (Volume 4).
• P.Grinfeld (2014). Introdução à análise de tensores e ao cálculo de superfícies móveis . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.