Modelo Markowitz - Markowitz model

Em finanças , o modelo de Markowitz ─ proposto por Harry Markowitz em 1952 ─ é um modelo de otimização de portfólio ; auxilia na seleção da carteira mais eficiente, analisando várias carteiras possíveis dos títulos em questão. Aqui, ao escolher títulos que não 'se movem' exatamente juntos, o modelo HM mostra aos investidores como reduzir seu risco. O modelo HM também é denominado modelo de média - variância pelo fato de se basear nos retornos esperados (média) e no desvio padrão (variância) das diversas carteiras. É fundamental para a teoria moderna de portfólio .

Premissas

Markowitz fez as seguintes suposições ao desenvolver o modelo HM:

  1. O risco de uma carteira é baseado na variabilidade dos retornos dessa carteira.
  2. Um investidor é avesso ao risco .
  3. Um investidor prefere aumentar o consumo .
  4. A função de utilidade do investidor é côncava e crescente, devido à sua aversão ao risco e preferência de consumo.
  5. A análise é baseada no modelo de investimento de um único período .
  6. Um investidor maximiza o retorno de seu portfólio para um determinado nível de risco ou minimiza seu risco para um determinado retorno.
  7. Um investidor é racional por natureza .

Para escolher a melhor carteira de uma série de carteiras possíveis, cada uma com retorno e risco diferentes, duas decisões distintas devem ser tomadas, detalhadas nas seções abaixo:

  1. Determinação de um conjunto de carteiras eficientes.
  2. Seleção do melhor portfólio do conjunto eficiente.

Metodologia

Determinando o conjunto eficiente

Uma carteira que dá retorno máximo para um determinado risco, ou risco mínimo para determinado retorno, é uma carteira eficiente. Assim, as carteiras são selecionadas da seguinte forma:

(a) Das carteiras que possuem o mesmo retorno, o investidor irá preferir a carteira com menor risco, e

(b) Das carteiras que possuem o mesmo nível de risco, o investidor irá preferir a carteira com maior taxa de retorno.

Figura 1: Risco-retorno de carteiras possíveis

Como o investidor é racional, ele gostaria de ter um retorno maior. E, como são avessos ao risco, desejam ter um risco menor. Na Figura 1, a área sombreada PVWP inclui todos os títulos possíveis em que um investidor pode investir. As carteiras eficientes são aquelas que se encontram no limite de PQVW. Por exemplo, no nível de risco x 2 , existem três carteiras S, T, U. Mas a carteira S é chamada de carteira eficiente porque tem o maior retorno, y 2 , em comparação com T e U [precisa ponto]. Todas as carteiras que se encontram no limite de PQVW são carteiras eficientes para um determinado nível de risco.

O limite PQVW é chamado de Fronteira Eficiente . Todas as carteiras que estão abaixo da Fronteira Eficiente não são boas o suficiente porque o retorno seria menor para o risco dado. As carteiras que ficam à direita da Fronteira Eficiente não seriam boas o suficiente, pois há um risco maior para uma determinada taxa de retorno. Todas as carteiras situadas no limite de PQVW são chamadas de carteiras eficientes. A Efficient Frontier é a mesma para todos os investidores, já que todos desejam o máximo retorno com o menor risco possível e são avessos ao risco.

Escolhendo o melhor portfólio

Para a seleção do portfólio ideal ou do melhor portfólio, as preferências de risco-retorno são analisadas. Um investidor que é altamente avesso ao risco manterá uma carteira na parte inferior esquerda da fronteira, e um investidor que não seja muito avesso ao risco escolherá uma carteira na parte superior da fronteira.

Figura 2: Curvas de indiferença de risco-retorno

A Figura 2 mostra a curva de indiferença risco-retorno para os investidores. As curvas de indiferença C 1 , C 2 e C 3 são mostradas. Cada um dos diferentes pontos de uma determinada curva de indiferença apresenta uma combinação diferente de risco e retorno, que proporciona a mesma satisfação aos investidores. Cada curva à esquerda representa maior utilidade ou satisfação. O objetivo do investidor seria maximizar sua satisfação movendo-se para uma curva mais alta. Um investidor pode ter a satisfação representada por C 2 , mas se sua satisfação / utilidade aumentar, o investidor então se move para a curva C 3. Assim, em qualquer ponto do tempo, um investidor será indiferente entre as combinações S 1 e S 2 , ou S 5 e S 6 .

Figura 3: O portfólio eficiente

A carteira ótima do investidor encontra-se no ponto de tangência da fronteira eficiente com a curva de indiferença . Este ponto marca o maior nível de satisfação que o investidor pode obter. Isso é mostrado na Figura 3. R é o ponto onde a fronteira eficiente é tangente à curva de indiferença C 3 , e também é um portfólio eficiente. Com esta carteira, o investidor obterá a maior satisfação, bem como a melhor combinação de risco-retorno (uma carteira que oferece o maior retorno possível para um determinado montante de risco). Qualquer outro portfólio, digamos X, não é o portfólio ideal, embora esteja na mesma curva de indiferença, pois está fora do portfólio viável disponível no mercado. A carteira Y também não é ótima, pois não se encontra na melhor curva de indiferença viável, embora seja uma carteira de mercado viável. Outro investidor com outros conjuntos de curvas de indiferença pode ter algum portfólio diferente como seu portfólio melhor / ideal.

Todas as carteiras até agora foram avaliadas em termos de títulos de risco apenas, e é possível incluir títulos sem risco em uma carteira também. Uma carteira com títulos livres de risco permitirá ao investidor atingir um nível mais alto de satisfação. Isso foi explicado na Figura 4.

Figura 4: A combinação de títulos livres de risco com a fronteira eficiente e CML

R 1 é o retorno livre de risco, ou o retorno de títulos do governo , uma vez que esses títulos são considerados sem risco para fins de modelagem. R 1 PX é desenhado de forma que seja tangente à fronteira eficiente. Qualquer ponto na linha R 1 PX mostra uma combinação de diferentes proporções de títulos livres de risco e carteiras eficientes. A satisfação que um investidor obtém com as carteiras na linha R 1 PX é mais do que a satisfação obtida com a carteira P. Todas as combinações de carteira à esquerda de P mostram combinações de ativos arriscados e sem risco, e todas aquelas à direita de P representam compras de ativos de risco feitas com fundos emprestados à taxa livre de risco.

No caso de um investidor ter investido todos os seus fundos, fundos adicionais podem ser emprestados a uma taxa livre de risco e uma combinação de portfólio que se encontra em R 1 PX pode ser obtida. R 1 PX é conhecido como Linha do Mercado de Capitais (CML). Esta linha representa a compensação risco-retorno no mercado de capitais . A CML é uma linha com inclinação ascendente, o que significa que o investidor assumirá um risco maior se o retorno da carteira também for maior. A carteira P é a carteira mais eficiente, visto que se encontra tanto na CML quanto na Fronteira Eficiente, e todo investidor prefere atingir essa carteira, P. A carteira P é conhecida como Carteira de Mercado e também é a carteira mais diversificada. É composto por todas as ações e demais valores mobiliários do mercado de capitais.

No mercado de carteiras que consiste em títulos arriscados e livres de risco, a CML representa a condição de equilíbrio. A Linha do Mercado de Capitais diz que o retorno de uma carteira é a taxa livre de risco mais o prêmio de risco. O prêmio de risco é o produto do preço de mercado do risco e a quantidade de risco, e o risco é o desvio padrão da carteira.

A equação CML é:

R P = I RF + (R M - I RF ) σ P / σ M

Onde,

R P = retorno esperado do portfólio
R M = retorno sobre a carteira de mercado
I RF = taxa de juros livre de risco
σ M = desvio padrão da carteira de mercado

σ P = desvio padrão do portfólio

(R M - I RF ) / σ M é a inclinação da CML. (R M - I RF ) é uma medida do prêmio de risco, ou a recompensa por manter uma carteira de risco em vez de uma carteira sem risco. σ M é o risco da carteira de mercado. Portanto, a inclinação mede a recompensa por unidade de risco de mercado.

As características do CML são:

1. No ponto tangente, ou seja, Carteira P , está a combinação ótima de investimentos de risco e a carteira de mercado .

2. Apenas carteiras eficientes que consistem em investimentos livres de risco e a carteira de mercado P se encontram na CML.

3. O CML está sempre inclinado para cima, pois o preço do risco deve ser positivo. Um investidor racional não investirá a menos que saiba que será compensado por esse risco.

Figura 5: CML e empréstimos e empréstimos sem risco

A Figura 5 mostra que um investidor escolherá uma carteira na fronteira eficiente, na ausência de investimentos livres de risco. Mas quando os investimentos sem risco são introduzidos, o investidor pode escolher a carteira na CML (que representa a combinação de investimentos de risco e sem risco). Isso pode ser feito tomando emprestado ou emprestado à taxa de juros livre de risco (I RF ) e com a compra de uma carteira P eficiente. A carteira que um investidor escolherá depende de sua preferência de risco. A parte de I RF a P é o investimento em ativos sem risco e é chamada de carteira de empréstimos . Nessa parcela, o investidor emprestará uma parcela à taxa livre de risco. A porção além de P é chamada de Carteira de Empréstimos , onde o investidor toma emprestado alguns fundos a uma taxa livre de risco para comprar mais da carteira P.

Deméritos do modelo HM

1. A menos que restrições de positividade sejam atribuídas, a solução de Markowitz pode facilmente encontrar carteiras altamente alavancadas (grandes posições compradas em um subconjunto de ativos investíveis financiados por grandes posições vendidas em outro subconjunto de ativos), mas dada sua natureza alavancada, os retornos de tal carteira são extremamente sensíveis a pequenas mudanças nos retornos dos ativos constituintes e, portanto, podem ser extremamente "perigosos". Restrições de positividade são fáceis de impor e corrigir este problema, mas se o usuário quiser 'acreditar' na robustez da abordagem de Markowitz, seria bom se soluções melhor comportadas (pelo menos, pesos positivos) fossem obtidas em um maneira irrestrita quando o conjunto de ativos de investimento está próximo das oportunidades de investimento disponíveis (a carteira de mercado) - mas nem sempre é esse o caso.

2. Praticamente mais incômodo, pequenas mudanças nas entradas podem dar origem a grandes mudanças no portfólio. A otimização da média-variância sofre de 'maximização do erro': 'um algoritmo que toma estimativas pontuais (de retornos e covariâncias) como entradas e as trata como se fossem conhecidas com certeza reagirá a pequenas diferenças de retorno que estão bem dentro do erro de medição'. No mundo real, esse grau de instabilidade levará, inicialmente, a grandes custos de transação, mas também pode abalar a confiança do gerente de portfólio no modelo.

3. A quantidade de informações (a matriz de covariância, especificamente, ou uma distribuição de probabilidade conjunta completa entre ativos na carteira de mercado) necessária para calcular uma carteira ótima de média-variância é muitas vezes intratável e certamente não tem espaço para medições subjetivas ('visualizações' sobre os retornos das carteiras de subconjuntos de ativos investíveis).

Referências

Publicações selecionadas