Cardeal grande - Large cardinal

No campo matemático da teoria dos conjuntos , uma grande propriedade cardinal é um certo tipo de propriedade dos números cardinais transfinitos . Cardeais com tais propriedades são, como o nome sugere, geralmente muito "grandes" (por exemplo, maiores do que o menor α tal que α = ω α ). A proposição de que tais cardeais existem não pode ser provada na axiomatização mais comum da teoria dos conjuntos, a saber, ZFC , e tais proposições podem ser vistas como formas de medir quanto, além de ZFC, é necessário supor para ser capaz de provar certos itens desejados resultados. Ou seja, podem ser vistos, na frase de Dana Scott , como quantificando o fato “que se você quer mais tem que assumir mais”.

Há uma convenção grosseira de que os resultados prováveis ​​apenas de ZFC podem ser declarados sem hipóteses, mas se a prova exigir outras suposições (como a existência de cardinais grandes), essas devem ser declaradas. Se isso é simplesmente uma convenção linguística, ou algo mais, é um ponto controverso entre escolas filosóficas distintas (veja Motivações e status epistêmico abaixo).

Um grande axioma cardinal é um axioma que afirma que existe um cardeal (ou talvez muitos deles) com alguma propriedade cardinal grande especificada.

A maioria dos teóricos do conjunto de trabalho acredita que os grandes axiomas cardinais que estão sendo considerados atualmente são consistentes com ZFC. Esses axiomas são fortes o suficiente para sugerir a consistência de ZFC. Isso tem a consequência (através do segundo teorema da incompletude de Gödel ) que sua consistência com ZFC não pode ser provada em ZFC (assumindo que ZFC é consistente).

Não há uma definição precisa geralmente aceita do que é uma grande propriedade cardinal, embora essencialmente todos concordem que aqueles na lista de grandes propriedades cardinais são grandes propriedades cardeais.

Definição parcial

Uma condição necessária para uma propriedade de números cardinais ser uma grande propriedade cardinal é que a existência de tal cardeal não seja inconsistente com ZFC e foi provado que se ZFC for consistente , então ZFC é consistente com a declaração de que "tal cardeal não existe."

Hierarquia de força de consistência

Uma observação notável sobre os grandes axiomas cardinais é que eles parecem ocorrer em ordem linear estrita por força de consistência . Ou seja, nenhuma exceção é conhecida para o seguinte: Dados dois grandes axiomas cardinais A 1 e A 2 , exatamente uma das três coisas acontece:

  1. A menos que ZFC seja inconsistente, ZFC + A 1 é consistente se e somente se ZFC + A 2 for consistente;
  2. ZFC + A 1 prova que ZFC + A 2 é consistente; ou
  3. ZFC + A 2 prova que ZFC + A 1 é consistente.

Elas são mutuamente exclusivas, a menos que uma das teorias em questão seja realmente inconsistente.

No caso 1, dizemos que A 1 e A 2 são equiconsistentes . No caso 2, dizemos que A 1 é consistentemente mais forte do que A 2 (vice-versa para o caso 3). Se A 2 for mais forte do que A 1 , então ZFC + A 1 não pode provar que ZFC + A 2 é consistente, mesmo com a hipótese adicional de que ZFC + A 1 é em si consistente (contanto que realmente seja). Isso segue do segundo teorema da incompletude de Gödel .

A observação de que grandes axiomas cardinais são ordenados linearmente pela força de consistência é apenas isso, uma observação, não um teorema. (Sem uma definição aceita de grande propriedade cardinal, não está sujeita a prova no sentido comum). Além disso, não se sabe em todos os casos qual dos três casos é válido. Saharon Shelah perguntou: "Existe algum teorema explicando isso, ou nossa visão é apenas mais uniforme do que imaginamos?" Woodin , no entanto, deduz isso da conjectura Ω , o principal problema não resolvido de sua lógica . Também é digno de nota que muitas declarações combinatórias são exatamente equiconsistentes com algum cardeal grande em vez de, digamos, serem intermediários entre eles.

A ordem de força de consistência não é necessariamente a mesma que a ordem do tamanho da menor testemunha de um grande axioma cardinal. Por exemplo, a existência de um cardeal enorme é muito mais forte, em termos de força de consistência, do que a existência de um cardeal supercompacto , mas assumindo que ambos existam, o primeiro enorme é menor que o primeiro supercompacto.

Motivações e status epistêmico

Os cardeais grandes são entendidos no contexto do universo de von Neumann V, que é construído pela iteração transfinita da operação do conjunto de potência , que reúne todos os subconjuntos de um determinado conjunto. Normalmente, os modelos nos quais grandes axiomas cardinais falham podem ser vistos de alguma forma natural como submodelos daqueles em que os axiomas são válidos. Por exemplo, se houver um cardeal inacessível , então "cortar o universo" no auge do primeiro desses cardeais resulta em um universo no qual não há cardeal inacessível. Ou se houver um cardinal mensurável , a iteração da operação de conjunto de poderes definível em vez do completo produz o universo construtível de Gödel , L, que não satisfaz a afirmação "há um cardinal mensurável" (embora contenha o cardinal mensurável como um ordinal )

Assim, de um certo ponto de vista sustentado por muitos teóricos de conjuntos (especialmente aqueles inspirados pela tradição da Cabala ), grandes axiomas cardinais "dizem" que estamos considerando todos os conjuntos que "supostamente" consideramos, enquanto seus as negações são "restritivas" e dizem que estamos considerando apenas alguns desses conjuntos. Além disso, as consequências de grandes axiomas cardinais parecem cair em padrões naturais (ver Maddy, "Believing the Axioms, II"). Por essas razões, tais teóricos de conjuntos tendem a considerar grandes axiomas cardinais como tendo um status preferencial entre as extensões de ZFC, um não compartilhado por axiomas de motivação menos clara (como o axioma de Martin ) ou outros que eles consideram intuitivamente improváveis ​​(como V = L ). Os realistas radicais neste grupo afirmariam, de forma mais simples, que grandes axiomas cardinais são verdadeiros .

Este ponto de vista não é universal entre os teóricos dos conjuntos. Alguns formalistas afirmariam que a teoria dos conjuntos padrão é, por definição, o estudo das consequências da ZFC e, embora possam não se opor, em princípio, ao estudo das consequências de outros sistemas, eles não veem razão para destacar os grandes cardeais como preferidos. Existem também realistas que negam que o maximalismo ontológico seja uma motivação adequada e até acreditam que grandes axiomas cardinais são falsos. E, finalmente, há alguns que negam que as negações de grandes axiomas cardinais sejam restritivas, apontando que (por exemplo) pode haver um modelo de conjunto transitivo em L que acredita que existe um cardinal mensurável, embora L em si não satisfaça isso proposição.

Veja também

Notas

Referências

links externos